会质疑·重实证·讲逻辑

晁丰成

摘  要：在中学数学教学中，要努力地将批判性思维的生长渗透到学生的学习活动之中. 高中数学概念教学对发展学生思维有着非常重要的作用，是培养学生批判性思维的基本着力点. 概念教学应当聚焦“会质疑”“重实证”“讲逻辑”三个环节，培养学生提出问题、寻找证据、合理论证的能力，进而提升他们的批判性思维能力水平.

关键词：批判性思维;生长途径;概念教学;实践反思

批判性思维是创新思维的基础，是一种通过理解、质疑、逻辑地考察论据和合理论证，决定应当相信什么或不应当相信什么的思维能力，是高阶思维的代表形式. 中小学阶段没有开设批判性思维课程，批判性思维的训练只能融入具体的学科学习中. 数学学科独有的抽象性、严密性、系统化的特点决定了数学课堂是培养学生批判性思维的主阵地. 数学概念是数学知识的基础，是数学思维存在和产生的基本形式. 如何在概念教学中精心设计问题，带领学生从具体事实出发，通过“批判 + 反思”的方式，辨别出一类数学现象的共同属性或本质特征，提升学生对数学本质的感知能力与批判性思维能力. 因此，非常有必要探索概念教学中批判性思维的生长途径，以期更好地完成中学数学教育承载的“形成正确的价值观念、必备品格和关键能力”的基本任务.

一、有关批判性思维教学

1. 批判性思维

批判性思维的代表人物约翰·杜威在著作《我们怎样思维·经验与教育》中，提出了“反省性思维”（Reflective Thinking）——批判性思维的模型. 在20世纪20年代到50年代，反省性思维被批判性思维取代. 20世紀90年代至今，批判性思维作为教育理念已经贯穿在国际教育的各个方面. 1990年，一个由46名批判性思维专家组成的国际小组发表了《批判性思维：一份专家一致同意的关于教育评估目标和指示的声明》（以下简称《声明》）.《声明》指出，批判性思维是有目的的. 通过自我校准的思维判断，它的技能核心包括六个维度：解释、分析、评价、推论、说明和自我调节. 一个完整的批判性思维的过程包括理解主题论点、分析论证结构、澄清观念意义、审察理由质量、评价推理关系、挖掘隐含假设、考察替代论证、综合组织论证八个步骤. 随着时代的发展，对批判性思维教学的研究逐渐深入，批判性思维的教学也逐步加强. 因为批判性思维是理性思维的高度体现，批判性思维的培养对于培养学生优良的思维品质与创造力具有重要意义，所以《普通高中课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）、高考、课堂改革都对学生批判性思维的培养提出了较高的要求.

2. 批判性思维教学现状

长期以来，我国的主要教育模式是以知识传授为核心的教学模式及与其配套的评价机制，学生只需“带着眼睛、耳朵欣赏就够了”，他们参与课堂的方式主要是记课堂笔记. 很多数学课堂最终异化为教师展示解题技术的舞台，台上教师滔滔不绝，台下学生瞠目结舌，教师“唯我独尊”、不容置疑的现象沉疴难愈. 这显然与《标准》提出的通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力;树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神;不断提高实践能力，提升创新意识的要求不相匹配.

要培养具有批判性思维的学生，教师应该先成为一名真正的具有批判性思维的教师. 教师需要告别传统的教学方式，让课堂没有标准答案，只有更好的答案. 通过教学让学生不再迷信权威，敢于合理质疑;教会学生摒弃固有思维，学会包容接纳. 教学设计要体现对学生批判性思维的培养，所设计的数学问题或者数学活动要突出引导作用，不仅要引导学生对数学问题进行思考辨析，提出疑问，尝试给出解决方案，更要引导学生对问题的解决方案进行分析、比较，并尝试解释和证明. 只有这样，批判性思维才能真正在高中数学教学中生根发芽，学生敢于批判、勤于动手、善于反思的关键能力才能得以发展. 中国科学院院士杨叔子认为，批判性思维能力是关于理性思考和创造性的核心能力，批判性思维教育是培养领军人才的必要手段，没有批判性思维教育就没有真正的素质教育. 因此，我们需要加强批判性思维教学，以期满足社会需要和个人发展需求，呼应时代的要求.

二、概念教学中批判性思维的生长途径

1. 概念教学与批判性思维教学

数学课堂上，概念教学需要被摆在最重要的位置. 李邦河院士认为，数学的根本在于概念，而不在于技巧，一定程度上，数学技巧也是数学概念的一部分. 在概念教学中，教师要努力引导学生真实地参与到概念的形成过程中，带领学生谨慎反思、辩证认知，在质疑、实证的过程中发现研究对象的本质属性，从事物的具体背景中批判地抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学语言予以表征.

概念教学是批判性思维能力发展的重要环节和主要路径，批判性思维教学要借助概念教学. 在概念的建构过程中，教师带领学生提出数学问题，收集整理数学信息，最终形成解决问题的方案. 在解决问题的过程中，引领学生学会主动思考，理性质疑，审慎分析，增强学生的辩证思维能力. 在数学概念的建立过程中，锻炼学生全面收集、系统整理、深入分析及有效整合资源的能力，引导学生逐步感悟、理解和运用批判性思维，并进行批判性思维实践，获得一定的批判性思维成果.

2. 例谈概念教学中批判性思维的生长途径

针对概念教学提出的“创设合适的问题情境，启发学生思考，引导学生把握数学本质”的要求，我们提出，概念教学中批判性思维培养要聚焦三个环节——会质疑、重实证、讲逻辑.

会质疑. 在了解知识的来源与背景的基础上，带领学生进行一系列真实的数学探究活动，引导学生在活动中分析背景材料，观察对象特征，发现矛盾并提出原生态的数学问题，进而体会本节课的数学概念“学什么”.

重实证. 针对目前比较流行的“问题串导学”教学方式，让思维从问题开始，思维活动又形成新的问题. 在解决问题的过程中，带领学生亲身实践、收集信息、追踪前因、评估证据，并有效地运用证据. 课堂上要求学生既有独立的思考，又有相互协作，既有恰当的方法，又有合理的质疑. 概念在对话中因思考而深入，思维在思辨中因锤炼而升华. 在重实证的过程中培养学生求实与负责的态度，理解数学概念应该“怎样学”.

讲逻辑. 概念推广有其内在思维逻辑（可以不言明，但需渗透），教学中需要准确把握教学中的知识逻辑和思维逻辑，并据此确立教学逻辑，从而在教学活动中揭示出所教授知识的本质，实现知识教学的教育价值. 概念教学的最终目的是带领学生在思维上能够理解概念，把握命题，进行归纳，展开推理并完整地构建论证，最终用图形语言、文字语言或者符号语言合理表达论证结果. 本环节的最终目标是让学生知道本节课的数学概念“学了有什么用”.

案例： 苏教版《普通高中教科书·数学》必修第一册“7.1.1 任意角”教学设计片断.

环节1：会质疑.

问题1：如下图，摩天轮的半径为6 米，转动一圈需6分钟，从水平位置点[A]出发，逆时针转动1分钟，点[A]到达点[P]的位置，求线段[OA]旋转形成的角度.

【设计意图】提出“角”这一刻画圆周运动的模型，引领学生对其概念进行了回忆和思考，为之后重新定义角给出了模型铺垫. 通过摩天轮提出“点[P]的位置”这个数学问题，潜移默化中培养了学生用数学眼光观察世界的能力. 学生通过亲眼所见与实际分析，初步感受旋转能够产生角，产生认知矛盾，疑问凸显，探求新知的欲望随之产生.

问题2：摩天轮的半径为6米，转动一圈需6分钟，从水平位置点[A]出发，逆时针转动7分钟到达点[P]的位置，求线段[OA]旋转形成的角度.

【设计意图】问题提出，引发学生思考初中所学角的定义的合理性，思考角的推广的必要性. 疑问产生后，认知冲突或数学需求随之出现，触发学生对重新给出角的概念的必要性进行研判，初步理解旋转能产生认识范围之外的角.

问题3：摩天轮的半径为6米，转动一圈需6分钟，从水平位置点[A]出发，已知[∠AOQ=90°]，试在图中作出点[Q]的位置.

【设计意图】在初步感受到“旋转也能够产生角”及“旋转能产生认识范围之外的角”的基础上，带领学生进行反思，不断观察、猜想、验证合理性. 让任意角概念中的两个关键要素——“旋转多少”与“旋转方向”能够自然地浮出水面.

基于对现实对象关系或数学逻辑结构的抽象产生认知冲突或认知需求进而引发质疑，是概念教学的必然要求. 会质疑的学生才能提出原生态的数学问题，这是“会质疑”的精髓所在，也是批判性思维的生长点. 在数学学习过程中，提出问题比解决问题更加重要.

环节2：重实证.

问题4：从上面这些实例中，我们发现原有的角的范围太小，不能很好地区别生活中的一些不同现象，所以需要对角重新定义，扩大范围. 那么，如何重新定义角更加合理呢？

【设计意图】为了解决存在的冲突和需求，我们推广了角的概念，但是仍需对其进行检验或论证，探索概念生成的合理性，这不仅是数学问题研究的过程，更是一种理性思维精神，是一种敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神.

以下是学生展示.

定义改造1：一个角可以看作平面内一条射线，绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 其中射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置分别称为角的始边和终边.

【评价】将角的定义改造为旋转角（区分始边和终边，引进带箭头的螺旋线）可以解除角的大小范围的限制，改造结果符合概念推广的基本要义，即遵循基础、增加元素、适当扩容. 在合理质疑的基础上，从问题出发，结合之前学习的角的定义，进行合理改造和推理，初步给出角的推广.

定义改造2：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角. 如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角.

【评价】数学概念的建立往往有一个不断深化完善的过程，将角的推广分解为两个步骤就是体现过程意识，在慢中求悟，此时数学概念悄悄地在实证中产生. 为了有效刻画现实中的各种角，数学意义上的角不仅需要区分大小也需要辨明方向.

教学中，将“角的推广”的机会留给学生完成，让他们自己寻找证据，并将发现的证据合理组织、表达，然后将新概念纳入已有的认知系统. 找证据的过程就是批判性思维发生、发展的过程.

环节3：讲逻辑.

问题5：画出下列度数的角：[45°，210°，-450°，]并尝试总结出画一个角所需要关注的要素.

【设计意图】引导学生进一步理解任意角概念中的要素——顶点、始边、旋转方向、旋转量，使学生对角的认知得以重新架构，也为问题6做出铺垫.

问题6：大家在确定角时，如果一个角的顶点、始边确定后，要确定角的终边，只需要确定终边上不同于顶点的另一个点（因为角的终边是一条射线），我们有什么工具来准确定位终边上的“点”？

【设计意图】没有将角放入平面直角坐标系之前，同样度数的角画出后形状各异，相同度数的角区分也十分困难，从而引出在平面直角坐标系中表示角的必要性.

问题7：（1）在平面直角坐标系中表示任意角，角的顶点如何放置更加合理、方便？

（2）角的终边所在位置可能有哪些情况？谈谈你的想法.

（3）在平面直角坐标系中，动手画出下列角，并注明分别是第几象限角：[-50°，210°，450°，-450°].

【设计意图】学生通过探究、讨论、交流得出在平面直角坐标系下表示角带来的方便和优势，并通过具體画图切实感受象限角的概念.

数学概念的学习就是理解概念的内涵与外延（即含义与范围），进而形成自己的观点. 在数学概念学习过程中，需要通过批判性思考来检验自己观点的合理性，进而用数学语言表达出来. 教学时，教师要引导学生在分析、综合、概括等认知活动的基础上，运用证据和逻辑对问题进行思考和论证，养成用辩证的思维思考问题的良好习惯.

三、立足学科教学，让批判性思维自然生长

部分教师认为，考试对“任意角”内容要求不高，这部分内容也没有非常抽象的数学概念和比较困难的数学习题. 因此，在教学时对这部分内容一带而过. 这样做的后果就是学生对“为什么要推广角的概念”“任意角与‘周而复始’现象有着怎样的关联”“任意角为何要放置于平面直角坐标系中研究”等问题都一知半解. 而以上问题恰恰是学生质疑、提问、论证、说明、反思、校正的真实载体. 概念教学必须要解决以下三个问题：会质疑，让学生体会概念产生的必要性，在概念生成的过程中学会数学语言的提炼与表述;重实证，让学生在丰富的感性思维的基础上，去粗取精，积极寻找证据，理解概念的合理性;讲逻辑，提炼建构新概念的一般过程与原则，发展学生的科学精神和创新精神.

“会质疑”是新概念纳入已有认识系统的开始. 正确的质疑是批判性思维的外在表现，学生对教师的某些讲解、教材上某些知识的理性质疑，能够增强他们对数学学科的自信，有利于发挥其主体地位，进行主动思考. 在组织教学时，教师应尽可能为学生提供表达、解释自己观点的机会，允许他们在关键节点上提出自己的问题.

“重实证”是概念学习的重要方法和主要过程. 问题是数学的心脏. 在学生提出原生态的数学问题后，概念教学过程就转变为解决数学问题、形成数学结果的过程，这就需要教师带领学生通过独立或者合作的方式，对已有的知识与方法进行全面收集、系统整理、深入分析及有效整合，让数学概念通过数学证据自然生长出来，而不是凭空产生.

“讲逻辑”是实事求是的科学态度和求真精神. 培养学生在解决问题过程中的自我反思能力，如反省自己对问题的理解是否恰当、对问题的分析是否准确、解题思路是否可行、解决方法是否可靠等，并且在问题解决之后，反思问题的解决过程，汲取教训，总结与积累解决问题的一般方法，最终养成思考问题全面、分析问题审慎、用事实说话的思维习惯，培养学生细心、周密的思维品质.

在概念教学中，批判性思维的生长是一种经历，一种体验，一种感悟，一种升华. 教师应该深挖概念教学的内涵和外延，前后联系，结合《标准》提出的“树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神”的学习要求，根据学生的知识现状、认识水平、心理特征，精心打磨数学问题，设计数学活动，引导学生参与探究，让批判性思维自然生长.

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