运算发现规律 抽象建立模型

赵海涌 高晨霞 薛红霞

编者按：《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中将“数学建模与数学探究”列为高中数学内容的四条主线之一，各版本新教材中都在落实这一精神，编写了具体的教学内容. 例如，人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册中，一方面，在适合的章节中适时贯彻这一精神，具体而言，有“幂函数”“指数函数的概念”“对数函数的概念”“三角函数的概念”“函数[y=Asinωx+φ]”等;另一方面，有专门的数学建模内容，即“数学建模：建立函数模型解决实际问题”. 函数建模应该怎样去实施？这成为困惑一线教师的难题. 对于前者，关键是理解教材的立意，研读配套的教师用书可以帮助教师很好地把握教学方向. 对于专门的数学建模活动，教师的操作空间则比较大，困难也比较多——如何选题？如何实施？如何写教学设计？等等. 为此，我们进行了探索. 通过遴选，本期刊登4篇专题文章，后续将继续择优刊登，欢迎广大读者踊跃投稿！

摘  要：“指数函数的概念”是一节典型的概念课，是实施数学建模的一个载体. 这节课概念的形成能更好地展示通过运算发现规律、抽象模型，图象的研究展示了丰富的视角. 基于此，在教学实践、反思的基础上，改进完善，形成了新的教学设计，主要环节是：创设情境，分析数据，发现规律，抽象定义;利用模型，回归情境，解决问题.

关键词：数学建模;指数函数;概念课;发现规律;表达规律

函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具. 不同类型函数刻画的变量关系和规律不尽相同：一次函数刻画的是增加量（减少量）不变的规律;指数函数和对数函数刻画的是增长率（衰减率）不变的规律. 人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）中指数函数概念的形成的内容非常完美地体现了这一点. 我们通过同课异构的方式对本节课进行了研讨，并在实践之后修改完善了教学设计.

一、教材分析

“指数函数”是教材第四章第2节的内容，是学习完函数的概念及性质和幂函数之后，又一次完整地用研究函数的一般思路来研究基本初等函数的具体体验，“指数函数的概念”为本节的第1课时，主要通过实际问题建立模型，抽象出指数函数的概念. 结合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）的要求和教学实际，确定本节课有以下几个特点.

第一，概念的引入能更好地说明指数函数源于实践. 考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手. 因此，教材选择从旅游人次变化、碳14衰减两个材料中抽象出指数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受指数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型. 这样处理，可以使指数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了教学的起点.

第二，指数函数图象的生成过程更加合理，给人一种水到渠成的感觉. 旧版教材通过描点、连线直接得到指数函数的图象，这样的处理方式虽然可以帮助学生接受这个事实，但是学生对图象的认知是肤浅的. 这样处理，存在着忽视知识的生成和认知过程而更关注应用的“功利”思想. 而教材则是通过绘制B地景区人数的散点图，让学生直观感知指数函数的图象，然后在练习中配以对应的练习题（课后练习1），再次让学生感受指数函数图象恒在x轴上方的事实，为下一课时的教学奠定了坚实的基础. 这样设计注重引导学生用从特殊到一般的方法探究指数函数图象的形成过程，可以加深学生对指数函数的感性认知. 同时，借助计算机教学的辅助作用，增强学生的直观感受.

第三，例题的设计侧重实际应用. 旧版教材在得出指数函数概念后直接研究指数函数的图象与性质，例题的选择是类似比较大小等技巧性较大的问题，而教材抽象出指数函数的概念后，设计的例题为“如果平均每位游客出游一次可以给当地带来1 000元门票之外的收入，A地景区门票价格为150元，比较这15年间A，B两地收入变化情况”，强调数学建模的思想，并且关注学科之间的联系，这种用意我们应予领会. 当然，这样设计会导致学生在得出两地收入函数解析式后利用数学语言表述实际问题上遇到一些麻烦，教师在教学时要注意引导.

总之，指数函数是继幂函数之后的又一个重要初等函数，我们要以《标准》的基本理念为依据，针对学生的学习背景进行教学设计. 在学习幂函数的基础上再次让学生经历研究一个新函数模型的基本过程：背景—概念—图象和性质—应用.

二、教學目标

教学目标1：了解指数函数的实际背景，经历借助信息技术手段研究旅游人次变化和碳14衰减变化的过程，进一步体会指数函数概念的抽象过程，发展学生的数学抽象和数学建模素养.

教学目标2：掌握指数函数的概念，经历用指数函数概念解决简单数学问题和实际问题的过程，提升学生的数学运算、逻辑推理、数学建模素养.

教学目标3：了解增长率、衰减率的概念，进一步理解指数增长或指数衰减的概念.

三、教学重点和难点

由不同情境通过数量和数量关系抽象出指数函数概念，并用数学语言予以表征，是这节课的教学重点，也是教学难点. 以数学运算为抓手，运用数形结合思想，引导学生利用信息技术手段分析，进而突破难点. 在抽象出指数函数的概念后，利用它处理实际问题是本节课的第二个教学重点和难点，应该充分运用数学运算和数形结合的思想方法，并通过信息技术的直观操作来化解.

四、教学过程

1. 创设情境，分析数据，发现规律，抽象定义

情境1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式. 由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，而B地则取消了景区门票. 表1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次.

问题1：比较两地景区游客人数的变化，你发现了怎样的变化规律？

学生直观感知：两地游客人数逐年增加，但A地增加相对缓慢，B地增加要快.

【设计意图】让学生直观感知数据的变化情况.

问题2：能用数学方法描述这种变化规律吗？

师生通过信息技术手段完成两地景区数据散点图的制作. 在条件具备的情况下可以利用图形计算器完成，也可以利用Excel软件快速绘制. 如图1，基于图形学生可以非常直观地发现A地景区数据散点图趋近于一条直线，B地景区数据散点图趋近于一条曲线.

【设计意图】为了方便观察，可以先根据表格中的数据描点. 这个问题是要引导学生作图，然后通过图象感知变化规律. 这是由数到形的一个过程，旨在培养学生基本的数学思想方法.

问题3：A地景区数据散点图散落在一条直线周围，你能用数量关系解释这一直观现象吗？B地景区数据散点图散落在一条曲线周围，它又应该用什么数量关系进行合理的解释？

A地景区数据散点图散落在一条直线周围，即说明每经过一年，A地增加的旅游人次大致相等，也就是说旅游人次的年增加量大致相等. 而B地景区数据散点图散落在一条曲线周围，也就是说B地景区旅游人次的年增加量与A地景区数据将会出现不同的变化规律.

师生活动：（1）借助信息技术手段快速计算A，B两地景区数据的年增加量（如表2），发现A地景区数据的年增加量大致相等（约为10万次）;（2）对于A地景区数据的年增加量大致相等，引导学生用函数解析式表示，并写出经过x年后，A地景区旅游人次y的函数[y=10x+][600]. A地景区数据[→]差[→]增加量[→]一次函数 （线性增长）.

【设计意图】问题2使学生实现了由数到形的转变，问题3希望学生能用数量解释几何图形的直观现象，即由形到数，再次加强学生数形结合的基本思想.

问题4：由问题3的数据处理我们发现，B地景区数据的增加量不像A地景区数据的增加量那样大致相等，而是越变越大，这仍然是定性刻画. 要定量刻画变化规律，就需要找到与A地景区数据中类似的常数（增加量）. 你能找到B地景区数据中这个不变的量吗？

师生活动：做减法可以得到旅游人次的年增加量，做除法可以得出旅游人次的年增长率. 增加量和增长率是刻畫事物变化规律的两个非常重要的量.

如表3，对于B地景区数据，从2002年起将每年的旅游人次除以上一年的旅游人次，可以发现[每年人次上一年人次≈][1.11.] 结果表明B地景区旅游人次的年增长率约为[0.11，] 为常数. 像这样，增长率为常数的变化形式，我们称为指数增长.

预设：可能有学生通过计算[年增长量上一年人次≈0.11，] 直接得出B地景区旅游人次的年增长率约为0.11.

B地景区的旅游人次近似于指数增长，你能模仿A地景区数据，写出B地景区旅游人次y与经过的x年之间的函数关系式吗？

[y=278×1.11x x≥0.] 这是一个函数，其中指数[x]是自变量.

【设计意图】引导学生处理原始数据，分析数据，最终找到B地景区数据中的不变量. 这一过程以数学运算为抓手，充分利用信息技术构建出函数模型.

问题5：变量[y]的增长率为p，经过时间为[x，] 若[y]的原始值为1，你能建立[y]与x之间的函数模型吗？

[y=1+px p>0.]

【设计意图】构建增长率为常数的函数模型.

[B]地景区数据[→]商[→]增长率（常数）[→]新的函数[y=][1+px p>0]（指数函数）.

情境2：下川遗址位于沁水县城西70公里的下川乡，是一处旧石器时代晚期文化遗址，1970年发现，分布于中条山主峰历山及其附近的阳城、沁水、垣曲三县毗邻的山岳地带，纵横二三十公里，以沁水县下川地区保存较好，遗存最为丰富，故称为“下川遗址”. 经碳14测定距今2.3万年 ～ 1.6万年.

【设计意图】通过两个不同的情境促进学生了解中国文化、关心社会问题，结合实际问题渗透爱国主义教育，发挥数学的育人功能，使立德树人的教育理念落在实处.

问题6：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），若衰减率为p，把刚死亡生物体内碳14含量理解为1，你能表示出死亡生物体内碳14含量y与死亡年数x之间的关系吗？

[y=1-px 0

【设计意图】构建衰减率为常数的函数模型.

衰减率（常数）[→]新的函数[y=1-px 0

问题7：科学家发现大约经过5 730年，生物体内的碳14含量为原来的一半，这个时间称为半衰期. 你能求出p吗？

学生活动：根据已知条件[1-p5 730=12，] 得[1-p=][1215 730.] 所以问题6中的函数可以改写成[y=1215 730x.]

【设计意图】给学生提供一个支架，降低学生建立函数模型的难度，提高学生的运算能力.

问题8：增长率为常数p时，我们建立的函数模型是[y=1+px p>0;] 衰减率为常数p时，我们建立的函数模型是[y=1-px 0

学生活动：当增长率为常数p时，[1+p>1，] 即[a>1;] 当衰减率为常数p时，[0<1-p<1，] 即[00]且[a≠1].

指数函数的概念：一般地，函数[y=ax]（[a>0]且[a≠1]）叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R.

教师点拨：（1）一次函数可以刻画增加量（减少量）不变的变化规律，指数函数用来刻画增长率（衰减率）不变的变化规律;（2）指数函数图象一定在x轴上方;（3）增长率不变对应的函数单调递增，衰减率不变对应的函数单调递减.

【设计意图】通过抽象过程帮助学生直观感知指数函数的简单性质，为下一课时的教学进行有效铺垫.

2. 利用模型，回归情境，解决问题

例1  已知指数函数[fx=ax]（[a>0]且[a≠1]），且[f3=π，] 求[f0，f1，f-3]的值.

学生活动：师生合作完成，学生口述解题过程，教师板演.

【设计意图】主要帮助学生处理三个问题：一是让学生熟悉指数函数的解析式和对应关系. 二是让学生学习利用函数解析式列方程求底数a的值. 这里可以引导学生与初中用待定系数法求一次函数和二次函数解析式做类比，也可以和前面情境2中衰减率p的确定做类比. 三是希望通过“学生口述、教师板演”的方法检验学生的掌握情况，同时提高学生答题的规范性.

例2  在情境1中，如果平均每位游客出游一次可以给当地带来1 000元门票之外的收入，A地景区门票价格为150元，比较这15年间A，B两地景区的收入变化情况.

学生活动：（1）建立经过[x]年，游客分别给A，B两地景区带来的收入函数[fx，gx.]

由总收入 = 人均收入 × 人数 = 门票收入 + 其他收入，得[fx=1 15010x+600;gx=1 000×278×1.11x.]

（2）学生借助信息技术手段作出如图2所示的两个函数的图象.

（3）通过图象之间的联系，描述15年间A，B两地景区的收入变化情况.

【设计意图】引入形如[y=kax k∈R，a>0且a≠1]的刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型. 当初始量不为1时，一般就用这种函数刻画具有指数增长或指数衰减变化规律的实际问题. 通过函数图象之间的联系描述两地景区的收入变化情况，可以加强学生用数学知识解决实际问题的能力，进而提高学生用数学语言描述实际问题的素养（数学建模素养），并提升学生的数形结合思想.

3. 限时训练，巩固方法，归纳小结

（1）限时训练（6分钟，根据时间把握训练量）.

练习1：下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ）.

练习2：已知函数[fx=2a-1x]是指数函数，求[a]的取值范围.

练习3：若[fx]是指数函数，[f2=2，] 則[fx=]        .

练习4：已知函数[fx=ax]（[a>0]且[a≠1]），且[f-32=39，] 则[f-2]的值为       .

根据时间安排，练习4可以作为课后作业. 限时训练的前三道题目其实是三个维度的练习，其中练习1是图象，练习2是概念，练习3是应用.

（2）课堂小结.

教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答如下问题.

① 指数函数的概念是什么？

② 指数函数的概念是如何抽象出来的？简单描述抽象过程.

③ 本节课多次用到数形结合思想，你能否举例说明？

④ 本节课在处理情境1时，对原始数据进行了简单的处理，从中你学到了什么？

（3）布置作业.

作业1：阅读思考教材第115页的“放射性物质的衰减”.

作业2：教材第118页习题4.2复习巩固第1题和第2题，综合运用第5题、第7题和第8题第（1）小题.

五、课后反思

1. 运算发现规律，抽象建立模型

本节课紧扣指数函数概念的生成进行设计，展开教学，主线清晰、重点突出，对教材的立意理解到位、把握得当. 主要表现在以下几个方面.

一是在规律的发现过程中，利用了教材中设置的情境精心设计问题，从直观感知到图象表示再到用计算发现规律和用函数关系式表达规律.

二是变式问题，即衰减率不变问题的选择恰当. 其既紧密结合本地资源，又紧扣本节课的主题. 建立模型的过程自然充实，基于增长率和衰减率得到的关系，抽象出不同研究对象之间的相同规律，进而得到指数函数.

三是对于定义的精致，充分利用了实际问题的意义，让学生在具体的情境中理解了指数函数底数的取值范围，发挥了具体实例的作用，使得理论与实例融为一体、相得益彰.

2. 创设合理情境，彰显人文价值

《标准》指出，强调数学与生活及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透;不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值. 本节课教师创设两地利用不同的旅游政策刺激经济发展和下川遗址（该例子可以换为当地的文化遗产）两个实际问题，体现了数学的应用价值，这样不仅有利于学生更好地感受指数函数模型，而且促进了学生了解中国文化、了解国家的经济发展、关心社会问题，使得数学的育人功能落在实处，彰显了数学的人文价值.

3. 采用问题驱动，凸显核心素养

本节课教师采用问题驱动的形式，将教学目标分解成8个小问题，通过设问的形式，为学生提供了思考的支架，降低了教学的难度、突破了教学的难点. 整节课学生经历了“直观感知—发现规律—数学表征—实际应用”的认知过程，不仅注重了新知识的生成过程，更为以后知识的发展做了非常好的铺垫，这样不仅展示了新概念的生成过程，更注重了知识的发展过程. 在此过程中，提升了学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模素养.

4. 重视信息技术，提高教学实效

信息技术的高速发展，不仅深刻影响着人类的生活方式和工作方式，而且深刻改变着人类的教育方式、学习方式，乃至思维方式.《标准》指出，要注重信息技术的运用，实现信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性. 本节课在A，B两地景区采用不同政策后旅游人次的变化上，学生只能直观感知人次在逐渐增多，具体到散点图的绘制，增加量和增长率的计算，旅游人次的变化引起收入的变化等问题都是利用信息技术处理的，这样不仅提高了课堂教学效率，更激发了学生的学习兴趣.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]张巍巍，常青，薛红霞. 经历数学建模过程  积累数学活动经验：“关于介质与距离对WiFi信号强弱的影响”教学设计与实践[J]. 中国数学教育（高中版），2021（3）：36-42.