“最佳口感泡茶时长”建模之探索

杨沛娟

摘  要：利用TI图形计算器，实现教材中的建模计算，利用计算工具的便利性，对教材解法进行挖掘，并探索更好、更多的函数模型，意在引导如何有效利用建模工具，突破教材中建模问题的计算，探讨如何利用多种方法建立函数模型.

关键词：数学建模;数据拟合;TI教育技术;图形计算器

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，对数学建模提出了明确的要求，强调数学建模过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题. 在新版教材的建模教学实践中，如何建立模型、确定参数、计算求解、检验模型等，由于建模计算工具的选用问题，成为数学建模教学不能落地的一个瓶颈. 笔者结合人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）中的一个建模实例，利用TI图形计算器，抛砖引玉，较为彻底地研究如何建立函数模型.

一、问题提出

教材第四章“指数函数与对数函数”之后的数学建模部分，给出了如下一个建模实例.

实例  中国茶文化博大精深. 茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关. 经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感. 那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

茶水温度是关于时间的函数，但是没有现成的函数模型. 为此，先进行建模实验，利用秒表、温度计或传感器等工具，收集茶水温度随时间变化的数据.

某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到下表的一组数据.

根据建模实验测量的数据，如何确定适合的函数模型？

二、教材解法

要确定适合的函数模型，一般需要先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型.

由散点图，考虑到茶水降到室温不能再降的事实，确定选用函数[fx=kax+25]刻画. 由表中第一组数据求得[k]值为60，再由表中数据计算出温度衰减比例a的平均值为0.922 7，从而求得一个函数模型[y=60×][0.922 7x+][25 x≥0，] 再由图象检验模型，进一步求解问题.

以上教材中的解法，可以利用TI图形计算器的电子表格、图象绘制、记事本、CAS运算等功能，轻松、精确地求解，如图1 ～ 5所示.

精准计算之后，发现教材中的a值存在误差，原因是利用普通计算器计算历次温度衰减的比例时，只是精确到0.000 1.

三、深挖教材

在按教材的计算方法进行研究时，我们会存在许多疑问. 例如，代入其他组数据求得k值，是否也可以呢？如何判断相应函数的拟合效果呢？

其实，利用散点图与拟合曲线的对比，不能精准比较相近模型的拟合效果. 我们容易分析得到，判断函数模型的拟合程度，主要是看已知数据与其偏离程度. 已知数据点[xi，yi]与拟合模型[fx]的偏离程度可以用误差[fxi-yi]表示，为了计算方便，用误差平方和[i=1nfxi-yi2]的大小对函数模型的拟合效果进行比较. 如图6，经TI图形计算器的CAS运算，发现代入第五组数据算得k值时的拟合效果更好.

代入各组数据得到不同的k值，取k值的平均值是否拟合效果更好呢？经历如图7所示的CAS运算，得到拟合效果更好的函数模型[y=59.261 2×0.922 636x+25 x≥0.]

在函数内容的学习中，待定系数法的思路非常普遍，我们按图8所示过程进行运算，也轻松求得了拟合效果比较好的函数模型.

比较之下，发现选用函数模型[fx=kax+25，] 先计算温度衰减比例a的平均值，再代入各组数据算得系数k的平均值，这样得到的函数模型拟合效果最好. 此经验告诉我们，除待定系数法外，计算系数平均值的方法，也可以作为探索函数模型的一条途径.

四、更好拟合

设拟合函数[fx=aφx+b，] 更好拟合就是确定[a，b，] 使式子[S=i=1nfxi-yi2]的值最小. 具體步骤为：化简S，整理为关于a的二次三项式，a取相应二次函数对称轴a0（含b）时，S最小. 代入a0到S，整理为关于b的二次三项式，b取相应二次函数对称轴，S最小.

按以上更好拟合的思路，用TI图形计算器的CAS运算功能，如图9 ～ 11所示，得到了比两次平均值的模型更精准的函数模型，但拟合效果的差异不是太大.

五、冷却模型

英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型：[θ=θ0+θ1-θ0e-kt，] 其中t表示经过的时间，[θ1]表示物体的初始温度，[θ0]表示环境温度，k为正的常数.

教材中的泡茶建模实例也适合冷却模型，经TI图形计算器的CAS运算，如图12，得到比教材拟合效果略好的函数模型[y=60×0.921 103x+25 x≥0.]

如图13，笔者再次尝试将冷却模型中的系数取平均值，发现平均值的拟合效果不如代入第5组数据的拟合效果，笔者猜测可能是由采集数据的误差所致.

六、结束语

借助TI图形计算器，可以更好地探索与研究教材中的数学建模问题，探索高中阶段如何开展数学建模教学. 高中数学建模教学困难重重，我们要积极行动起来，从透彻研究教材中的每个实例开始.

参考文献：

[1]徐勇，高建彪. 一例教材中的函数模型拟合之路的探索[J]. 中国数学教育（高中版），2014（11）：56-58.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.