“函数”单元的整体思考和教学指导

苗静

摘  要：在分析沪教版《普通高中教科书·数学》函数主题内容架构、呈现顺序和编写思路的基础上，提出在教学中应注重教学情境的有效创设、教学目标的阶段达成、研究过程的一般路径、思想方法的联系统一、数学建模的应用价值等关键问题.

关键词：函数教学;整体性;结构化

沪教版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）基于《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》），在原有二期课改经验的基础上，对教学内容进行了调整，并对高中数学课程框架进行了进一步完善. 对数学教学的关注逐渐从知识的发生、发展，转向问题的解决和方法的习得. 同时，更加强调数学知识的整体性、数学逻辑的连贯性、数学思想的一致性、数学方法的普适性和数学思维的系统性. 文章主要以教材“函数”单元的教学为例，进行系统的分析.

一、函数主线的逻辑结构

王建磐先生以《标准》为纲提出了高中数学四条主线各章节之间的逻辑关系图，如下图所示. 从中可以发现，函数主线分为两个部分：一部分是必修课程中的函数板块，主要涉及幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，以及一般函数的概念和性质;另一部分则是在选择性必修中的数列和导数板块.

1. 结构特征——整体、联系、发展

（1）主线内外的联系性.

由上图可以发现，函数主线内部各章节之间的逻辑关系非常密切，教材注重整体化、结构化的知识建构，必修内容主要落实概念的抽象，通过对函数及其性质的抽象提炼，形成研究函数的一般思路和方法;选择性必修主要落实概念的深化，通过数列研究“序”，通过导数研究“变化”. 同时，函数主线与其他主线之间也存在紧密的联系. 例如，概念的关联（集合与不等式）、运算的关联（幂、指数、对数和三角）、图形的关联（解析几何与概率统计）和应用的关联（数学建模）. 可以说，函数主线贯穿了整个高中数学课程，是具有核心地位的一个主题.

（2）研究主题的发展性.

在沪教版《高级中学课本·数学》（上海二期课改期间使用，以下统称“旧教材”）中没有导数单元. 教材设置“导数及其应用”这一内容是为了帮助学生进一步认识函数的变化，在必修课程中利用单调性定性描述函数变化的基础上，用导数定量反映这种局部变化. 主要目的是将高中知识与大学知识进行衔接，让学生意识到数学研究的发展性，让学生对进一步的学习充满期待.

（3）函数应用的表现性.

教材第5章新增了“5.3 函数的应用”一节. 函数的应用主要体现在两个方面：一方面，用函数的思想方法思考、解决其他数学问题. 例如，用函数的思想方法研究和求解代数方程的根、求解不等式、讨论极值与最值、研究图形等;另一方面，用函数的模型和思想方法分析、解决实际问题，这是提升学生数学建模素养的关键内容，同时也体现了函数这一工具的应用价值.

2. 呈现顺序——从特殊到一般再到特殊

教材函数主线的章节内容与旧教材和人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）有较大的差异，为了叙述方便，将三版教材中函数主线内容按章节进行编号：① 幂、指数与对数;② 幂函数、指数函数与对数函数;③ 函数的概念、性质及应用;④ 三角;⑤ 三角函数;⑥ 数列;⑦ 导数及其应用. 具体比较如表1所示.

從表1中可以发现，旧教材和人教A版教材在逻辑顺序上都是从概念起步，再研究具体对象. 这种安排顺序的优点是有一个一般概念的统领，对展开具体数学对象的研究有统一的指导意义，缺点是缺少一般概念的抽象过程，容易给学生的认知造成障碍，使学生对概念的理解不易达到应有的高度，进而导致一般概念无法起到“统领”的作用.

而教材在函数章节从具体的幂、指数及对数起步，让学生慢慢体会具体函数的概念和性质，不断经历类似的研究过程，形成研究函数的基本方法;再从已有的具体函数模型（幂函数、指数函数和对数函数）中抽象出一般函数的概念和性质，最后回归到具体函数（三角函数）. 这是一个从特殊到一般再回到特殊的过程. 这样能够与初中的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数在处理方法上有一个衔接，既符合学生的认知规律，又能形成数学对象的研究过程，使概念的联系更为紧密，概念组织更具层次性.

3. 研究思路——路归路，桥归桥

旧教材将幂指数运算、实数指数幂、对数运算混在函数章节中进行教学（有理数指数幂在幂函数中提出，实数指数幂在指数函数中提出，对数运算在对数函数之前提出，造成前后内容不连贯），结果导致代数运算的核心与函数性质的核心都被淡化. 而代数运算是初等数学中的重要内容，这些数学对象都有独特的运算方式和运算规则，它们是定量研究相应函数的性质所必备的. 对此，教材做了重新的架构，“路归路，桥归桥”，将运算从函数中剥离，运算先行，再引入函数的观点，不让运算作为函数的依附，体现了从静态到动态的研究过程. 同样的编排思路也体现在“三角”与“三角函数”这两章.

二、教学过程的特别关注

《标准》指出，教师应把函数主题的内容视为一个整体，引导学生从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数概念;……重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养. 从中可以发现，《标准》非常强调数学知识的整体性，因此在教学中也需要秉承这一思想来研究函数主线知识.

1. 教学情境的创设性

数学学科核心素养是在学生与情境、问题的有效互动中得到提升的. 在教学中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养，设计切合学生实际的情境和问题.

函数的概念属于高中数学中的核心概念. 如果只是从形式上强调三要素和唯一性，无法让学生真正理解. 因此，在概念形成中要特别强调情境的作用，要让学生完成“从事实到概念”的认知过程，使他们获得数学研究对象，能在初中“变量说”的基础上，进一步深入和完善对函数的认知.

（1）幂函数、指数函数与对数函数概念的引入，从多个基本初等函数或者实际问题出发，以初中“函数的概念”为起点，完成了从具体情境到一类具体函数的第一次抽象.

（2）教材在“函数的概念”一节中列举了多个函数实例. 首先，让学生感受“[x]的取值范围”“对应”等特点;其次，概括它们的共同特征，完成从多类具体函数到一般函数概念的第二次抽象.

在数学概念的形成过程中，数学抽象发挥了重要的作用. 而数学抽象需要依托“情境”，因此在教学中应注重情境的创设.

2. 教学目标的阶段性

教材特别注重对学生核心素养的培养，在函数主线中，对每个核心素养都有渗透. 以“数学抽象”为例，整个函数主题有诸多发展学生数学抽象素养的内容，如“函数的概念”是“获得数学概念和规则的抽象”;“函数的奇偶性、单调性”是“提出数学命题和模型的抽象”;“用函数观点求方程、不等式”是“形成数学方法与思想的抽象”.

《标准》中对每个核心素养都有三个水平的划分，这是教学目标设定的依据，如之前提到的与数学抽象相关的知识点，具体的水平等级划分如表2所示.

从表2中可以发现，同一素养在不同教学内容中的目标是不一样的. 因此，在确定教学目标时，教师要分析数学抽象素养在主线中的总体要求、阶段要求和具体课时内容的要求，在课程目标体系下整体把握数学抽象素养.

3. 研究过程的连贯性

每一章内容都有特定的研究对象. 在教材的不同章节中，研究对象、研究内容和具体方法都会发生变化，但整体框架和研究路径基本相同，并以此作为教材每章“谋篇布局”的指导思想. 研究路径的统一不仅可以使教材体现数学的整体性，而且能使学生通过一个个具体对象的学习，逐步明确研究一个数学对象的基本框架和路径，这对发展学生的数学思维有至关重要的作用.

函数单元中的每个知识内容基本都可以按照“事实—概念—图象—特征—性质—应用”的路径进行研究. 例如，教材第4章“幂函数、指数函数与对数函数”中三类函数的研究过程具有很强的一致性.

（1）三类函数概念的抽象过程中都提到由幂指数运算为起点的研究方向，这是“事实—概念”的过程.

（2）三类函数的研究顺序都是先图象后性质，在函数图象的研究中，例题的设置呈现一致性，每一节的例2都是作两个图象，目的是将所研究的两个函数图象置于同一坐标系，便于比较，进而形成对图象进行分类的思想. 这是“图象—特征”的过程.

（3）从观察图象发现图象特征，到代数方法加以论证说理. 这是“特征—性质”的过程.

（4）每一节的例4都是关于函数单调性的应用，用函数观点来比较两个数的大小. 这是“性质—应用”的过程.

旧教材对这些内容的呈现方式是不同的. 例如，幂函数是先研究性质再刻画图象，指数函数是先研究图象再归纳性质，最后利用反函数研究对数函数. 由于研究路径的差异较大，学生无法明确何时从图象入手，何时从性质入手. 而教材在这些问题的处理上统一了研究的路径，并且让学生可以不断经历这一过程，继而形成研究函数的基本套路（从图象到性质），为后一章一般函数概念的进一步抽象和函数性质的研究奠定了基础.

这三个函数是并列的，自然有比较一致的研究路径，对于函数板块中的其他内容其实也有一样的研究路径. 例如，从函数的单调性角度来分析：教材先给出了很多实例，用自然语言描述了单调现象，接着回顾了指数函数与对数函数中严格增函数或严格减函数的概念，然后从这两个函数单调性的证明过程中发现了形式上的共同特征，最后抽象出了一般单调性的定义. 其中也体现了“事实—图象—（形式）特征—性质—应用”的过程.

4. 思想方法的一致性

函数主线中蕴涵的思想包括几何思想、运算思想、极限思想.

（1）几何思想.

利用图象研究函数是义务教育阶段学习函数的路径，函数的图象具有直观性，可以反映该函数所有的基本性质，有助于学生理解函数的抽象概念和反映的規律特征. 图象是整合方程、不等式的重要工具. 除了函数图象，还有一些几何载体，如单位圆对理解三角函数的变化规律有非常重要的作用. 因此，把几何思想融入函数主线的学习中，是直观想象素养的体现.

（2）运算思想.

运算是研究代数的基本手段，也是研究函数的重要方法. 函数本身就是一种动态化的运算，如果说几何具有直观性，那么运算就具有严谨性. 高中数学更强调运算和推理，需要对直观的图形进行严谨表述. 例如，对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的研究就基于幂、指数、对数、三角的运算;数列的学习也离不开运算，通项公式、递推公式、前[n]项和都是靠运算来维系的，可以说函数主线的学习是对学生数学运算素养的考验.

（3）极限思想.

在高中数学课程中加入微积分的内容，是一大突破，“导数及其应用”帮助学生进一步精确认识“变化”，从单调性到导数，是从定性到定量描述变化的过程，这个过程体现了极限思想，是直观想象、数学抽象、逻辑推理素养的综合体现.

5. 数学建模的应用性

《标准》对函数主线各章都给出了具体目标，可以发现每章都有数学建模的要求，具体如表3所示.

从表3中可以发现，函数主线与数学建模有着密切的联系，它是提升学生数学建模素养的基本载体. 函数是在运动变化状态下研究两个变量间变化规律的最佳模型，因此在教学中要特别关注这方面内容.

三、结束语

本文综合分析了“函数”主线，旨在从整体上把握这条主线的结构、主线下各主题之间的关系，以及与其他主线的关联. 这种联系性体现了教材知识的结构化，在函数主线内部的关联中又体现了研究方法的结构化. 仔细研读教材，挖掘函数中每个单元的核心概念、理清知识脉络，才能为学生构建起良好的认知结构. 由于函数主线中的每个内容都是渗透核心素养的载体，而教材又很注重“研究过程的体验”和“研究方法的感悟”，为了落实“四基”“四能”，同样需要关注教学结构化. 把具有相似性的研究内容整合在一起，发现研究的规律特点，形成研究的基本路径. 继而从不同类的研究对象中提炼相同的思想方法，比较共性与差异.

着眼单元教学，摒弃知识碎片，培养具有联系性、一致性的整体化思想. 希望能在结构化的视角下，不断体验数学思想、感悟数学方法，将“立德树人”摆在首位，切实贯彻、落实《标准》的理念.

参考文献：

[1]章建跃. 数学学科核心素养导向的“单元—课时”教学设计[J]. 中学数学教学参考（上旬），2020（5）：5-12.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3]章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续4）：《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（10）：7-11.

[4]教育部基础教育课程教材专家工作委员会. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

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