数学学科素养视角下的预习作业设计与思考

薛莺 陈锋

【摘 要】 预习是培养学生自主学习能力，促进学生独立思考、学会数学思考的有效途径.在初中数学的新授课、章节起始课、数学活动课、专题复习课等课前分别设计练习性、系统性、操作性、探究性预习作业，驱动学生自主预习，课前做好充分的知识和心理准备，是提高课堂教学效益的重要基础.设计有效的预习作业要遵循激趣释疑、任务驱动和问题导学的设计策略，才能发挥预习作业的应有价值.【关键词】 初中数学;预习作业;设计与思考

1 問题的提出

凡事预则立，不预则废.初中数学教育教学的本质任务是教会学生终生学习必备品格和关键能力，显然这种能力包括自主学习能力.在初中数学教学中，这种自学能力的培养主要通过课前预习和课上自学两种途径来实现.“预习”是“学生预先学习”之意，是课堂教学前的准备，是课外到课内的桥梁和纽带，是培养学生自主学习能力的一种有效途径，也是初步发现问题的阶段，其重要性不言而喻[1].预习是一种良好的学习习惯，预习是培养学生自主学习能力，促进学生独立思考、学会数学思考的有效途径.预习作业是指在课堂教学实施前而布置的一种自学任务，以作业的形式呈现，学生按照作业内容，自主完成阅读、梳理、笔记、思考、练习、反思等学习活动，在课前完成基本的知识准备，使学生的新知识处于有准备的心理状态.那么，如何通过预习作业的设计来培养学生的自主学习能力？下面给出笔者在预习作业设计上的实践与思考，供同行研讨交流.

2 基于数学学科素养的预习作业设计

2.1 数学新授课：设计练习性预习作业，发展自主学习和主动探索素养

练习性作业是指明确练习任务的预习作业，作业指向具体的例习题，以完成练习任务为主要特征，目的是通过练习任务为指向，“逼迫”学生自主完成预习.影响预习作业质量的因素是多方面的，其中最关键的是学生的学习状态.学生在预习时，缺乏教师的监督，学生学习的心理状态影响着预习效果.现实教学中，学生的预习往往流于形式，走走过场，简单的读一读、标一标就算完成预习了，对教材内容的预习不够深入.通过练习性作业设计，以具体的练习任务驱动学生认真自学教材，弄懂弄通基础知识，先模仿练习，再反思归纳，自主检测预习情况，梳理问题，为新授课做好知识和心理的双重准备.

案例1 乘法公式.

作业设置意图

学生在学习多项式乘多项式之后，具备了探究特殊多项式相乘的计算基础，从一般的多项式乘多项式到特殊的多项式乘多项式，给学生造成认知困惑，尤其是结果的特殊性，学生常常出现不该有的错误.比如经常出现（a+b）2=a2+b2、（a-b）2=a2-b2的计算现象，显然学生对特殊多项式乘多项式的认知需要一个完整细致的过程，在计算中有针对性的强化才能解决.因此，以练习性预习作业的形式在课前布置学习任务，帮助学生通过一定数量的计算，发现特征，归纳规律，认识“特殊性”，为理解并掌握乘法公式做好认知准备.

作业设计展示

预习作业要求：

1.在预习前用多项式乘多项式法则完成计算：

（1）（a+b）（c+d）;（2）（a+b）（a+b）;（3）（a-b）（a-b）;（4）（2x-3y）（2x-3y）;

（5）（2x+3y）2;（6）（1/2x-y）2.

2.完成预习后，运用乘法公式完成计算：

（1）（x+2y）2;（2）（x-y）2;

（3）（1/2x-1/3y）2;（4）（-x+2y）2.

作业策略引申

练习性预习作业由两部分内容构成，作业1是基于“先行组织者”策略，将即将学习的知识与已有的知识建立关联，通过具体运算感悟计算对象和结果的特征（特殊性），为预习积累必要的感性经验.作业2呈现具体的计算任务，驱动学生自主完成阅读、思考、归纳、概括等学习活动，最终在完成练习性作业中检验预习成效，明确学习方向，在课前积累一定的理性经验.

2.2 章节起始课：设计系统性预习作业，发展逻辑推理和数学运算素养

系统性预习作业是指各部分层次分明、相互联系、相互作用的学习任务，系统是指部分组成的有机整体，即通过预习了解章节内容，系统了解整章的知识结构.章节起始课可以让学生管中窥豹理解一章甚至几个章节的框架结构，它强调相关知识的系统性和相应知识形成的关联性的学习，因此，教师可以针对章节起始课，设计章节知识系统性预习作业，帮助学生在课前体会所学知识的广度、关联度和系统性，进而让学生感悟章节核心概念，促进学生学科素养的培养.

案例2 二次函数.

作业设置意图

学生在系统学习了一次函数、反比例函数内容的基础上，掌握了这些函数的基础知识和基本技能，掌握了探索函数的一般方法，积累了丰富的探索经验，对函数研究的“套路”有比较清晰的认识，学生基于这些学习经历对“二次函数”进行系统性的预习探索，是一个很有价值的自主学习.因此，在“二次函数”的的章节起始课教学前，布置系统性的预习作业，以提升学生系统探索新函数的能力，并对此前函数的学习方法进行系统地总结和反思.

作业设计展示

预习作业要求：阅读初三数学教材中二次函数这一章第一节课的内容，然后完成以下问题：

①什么是函数？函数有哪几种表示方法？

②我们已经学过哪些函数？分别是什么？它们的一般式是什么样的？

③从函数y=x2的解析式上看，其图象具有哪些特征？④类比一次函数，你能给函数y=x2下个定义吗？你能试着画出它的图象吗？根据你画的图象，你能列举它的一些特征吗？

设计策略引申

在这一系统性预习作业设计中，必须先要学生明确预习的基本要求，根据教材内容，引导和帮助学生列出章节预习的系统性提纲，而不是简单的布置类似“把第×章第×节内容预习一下”这样预习作业，这是系统性预习作业设计的前提.作业中的问题①②涉及函数的基础知识，意在唤醒学生的认知经验，起到先行组织者的作用;问题③涉及函数的性质，让学生先从“数”的角度感悟二次函数的数量变化特征;问题④类比一次函数的学习“套路”，帮助学生明确二次函数的研究路径和研究方法，为后续学习指明方向.要完成这些问题，学生需经历“读、联、思、疑”的预习过程.“读”是指泛读和精读，了解整个章节中的数学知识;“联”是把相关的知识点联系起来，系统化，网络化;“思”是把本章节的知识与相关章节知识进行比较分析并进行及时内化;“疑”是在预习中从整体的角度来进行自我反思和质疑.

2.3 数学活动课：设计操作性预习作业，培养数学建模和直观想象素养

操作性预习作业是指学生需要经历操作、发现、思考、归纳等活动才能完成的预习作业，在操作中完成思考、学习是其主要特征，适应于数学活动课.苏科版教材不仅安排了数学活动课，而且在每一章节中均设置有“操作”“做一做”和“试一试”等数学活动.教学活动的展开，往往以具体的学习任务为载体，需要学生操作完成，而课堂上的时间是有限的，因此，教师针对数学活动课，设计动手动脑等系列的操作性预习作业，可以帮助学生在课前预先进行相关操作实践以达到熟悉相关操作流程和根据操作进行初步思考的目的.

案例3 怎样走会更近.

作业设置意图

在“怎样走会更近”数学活动课教学时，探索“蚂蚁在圆柱体表面爬行的最短距离”问题，学生可能因为空间想象力不足，会有点不知所措，不知老师设计这样操作的用意，不知道如何去思考，如果课堂上进行开放式的动手操作，必然会占用宝贵的课堂时间，影响到其他教学内容的实施.因此，在“怎样走会更近”数学活动课教学前，布置操作性预习作业，以通过动手操作培养学生数学建模和直观想象素养.

作业设计展示

预习作业要求：学生利用周末时间在百事可乐罐的表面粘一张白纸，捉一蚂蚁或甲虫，在它的脚上沾上红墨水，在白纸上方一点涂一些蜜糖，观察并思考如下问题：

①观察蚂蚁怎样走？

②思考蚂蚁为什么这样走？

③如何计算蚂蚁走的距离？

④观察蚂蚁走的路径并查阅相关的资料，给你什么启示？

⑤你能设计一个相关的问题吗？

设计策略引申

在这样一个动手操作的预习作业中，学生可以通过自己动手，观察图形，查阅相关课外资料，让他们带着问体验，带着问题和思考进入课堂.通过这个预习作业，培养了学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性，使学生融入了课堂，学会了数学思考.在具体的数学活动中，学生通过动手操作，积累基本活动经验，感受数学化的过程，体会数学建模来源于生活，进而使学科素养得到有效培养.这种操作性预习作业也为后续活动课教学作了铺垫，在后续的课堂教学中，则可以有更多的时间让学生去体悟在求几何体上两点之间的最短距离数学化解决步骤，引导学生去寻找两点在展开后的位置，还可以进行适当的变式，比如把圆柱体改成正方体，求蚂蚁爬行的最短距离，将学生的数学思考引向深入，使其对特征性的类属问题自主匹配策略，建构模型解决问题，习得程序性知识.

2.4 专题复习课：设计探究性预习作业，发展逻辑推理和数学运算素养

探究性预习作業是指设置具有一定挑战性的问题，驱动学生积极参与、反复思考，主动完成探究任务的预习作业，挑战性、探究性和活动性是其主要特征，适用于专题复习课.专题复习课的目的是让学生对某一类问题在解题思路和方法上进行有针对性的训练和提升.让学生经历这类问题的探索过程，使方法条理化、思维清晰化，从而增强学生综合分析问题的能力，提高学生解决问题的能力.因此，教师可以针对专题复习课，设计探究性预习作业，引导学生在课前能主动探索解题思路、总结解题方法，进而生长学科素养.

案例4 动点问题.

作业设置意图

在初三的综合性“动点问题”专题复习课教学中，学生在课上难以即时完成阅读、分析、建模等问题解决的过程，若能在课前布置预习性作业，让学生提前进行探究性学习，尝试阅读理解、分析探究、建构数学模型，有利于课堂教学的顺利实施，提高课堂教学效益.

作业设计展示

预习作业要求：1.已知：矩形ABCD，AB=3，BC=4，如图1，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿A→B→C方向运动;同时，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿B→C→D方向运动，时间为t，请画出三角形APQ的不同情况，并写出时间t的取值范围.

2.如图2，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（O→A→B）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位.

（1）在前7秒内，求P，Q两点之间的最小距离，并求此时时间t的值;

（2）在前12秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时时间t的值.

3.如图3，直线y=-43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）.

（1）求该二次函数的关系式;

（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积;

（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒1.5个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OAC按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S.

①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值;若不存在，请说明理由;

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.

设计策略引申

这一预习作业设计了具有梯度性的三道探究性题目，实际上都是驱动学生从动态的角度来思考分析问题，通过分析、比较、归纳，从而找出解决动点问题的一般方法.教师在课堂上把这三道题目讲透并引导学生归纳整理出这类动点问题的常用求解方法尤为重要.例如：第一题P从A→B→C方向运动，对应的时间t为0→3→7;同时，点Q从B→C→D，对应的时间t为0→4→7，于是结合两种运动，归纳出本题可以从时间t上进行分类考虑：当t是0→3时点P在AB上，点Q在BC上;当t是3→4时点P在BC上，点Q在BC上;当t是4→7时点P在BC上，点Q在CD上，通过分析画图解题.学生在预习时对题目有了一定的认识，课上通过第二第三题的练习和巩固，能更快的引导学生掌握这类问题的通解通法，并且通过让学生自己总结方法，提高了学生自我学习，归纳、整理、小结的能力，达到了触类旁通的教学效果.

3 预习作业设计的思考

3.1 激趣释疑，在点拨中激发学科素养

兴趣是最好的老师，是促使学生主动学习数学的重要因素，也是调动学生数学学习热情和积极性的重要因素.对初中生而言，只有对数学学科知识感兴趣，才会主动参与到学习活动中，主动建构知识结构体系，从而提升数学知识的学习效率.针对初中学生天生好动的特点，设置操作性、探究性预习作业，通过完成预习作业的形式引导学生自主完成课前学习，能激发学生的学习兴趣，自主思考并解决困惑.比如在案例3中，结合教学内容和学生实际设计“蚂蚁最短路径”的操作性作业，学生能带着“趣”和“疑”主动地“做数学”，在对前置学习任务的自主操作与思考中，能充分调动学生的手和脑，促进手腦协同，在做数学的活动过程中，学会思考，经历将现实问题数学化的过程，掌握立体图形背景下的最短路径问题的一般方法，化繁为简，在操作中解决问题，破解思维困惑.

3.2 任务驱动，在挑战中孕育学科素养

作为预习作业，作业的重心应放在核心知识或思想方法上，抓住数学本质，不要在作业数量上纠结，摒弃数量多、刷题提高能力的错误观念.提倡数学的预习作业一定要适量，能否促进学生关联知识、求根溯源、探究思考、内化结构是作业质量的重要标准.这就要求布置的预习作业应具有一定的挑战性，以具体可行、可操作的形式呈现，聚焦学习任务指向，驱动学生有效思考，特别是深入思考，这样的作业才是高质量的.比如在“动点问题”专题复习课中，通过不同的探究任务，引发学生横向比较、纵向思考，对动点问题有了宏观上的认识，有利于学生从整体上把握将要学习的一类问题的特点，初步掌握数学模型的特点，学会自主建构数学模型，分析和解决实际问题，体会模型思想，提高数学运算、逻辑推理等数学核心素养.3.3 问题导学，在启发中提升学科素养

预习作业的设计应以学生的认知基础为出发点，找准生长点，进行精细化问题设置，启发学生主动关联旧知识、同化或顺应新知识，使学生清楚学习的生长点与学习方向.比如在“二次函数”的章节起始课前，布置的系统性的问题进行预习，精细设置问题串，引导学生通过问题回顾一些上位知识，实施先行组织者策略，为学生顺利迁移新知识，优化认知结构，完善思想方法打下坚实基础，进而促进数学核心素养的发展.

参考文献

[1]陈玉生.数学预习作业的类型及设计特点[J].数学教学研究，2013（9）：6-9.

作者简介 薛莺（1981—），女，硕士，中学高级教师，主要从事课堂教学研究.中国奥数高级教练员，江南大学教育学院特聘讲师，江苏省无锡市教学名师，先后被评为江苏省教学研究先进个人、省教科研先进个人.

陈锋（1977—），男，硕士，中学正高级教师，主要从事数学教育研究.