做好跨章整合 实现深度学习

【摘 要】 在深度学习的视角下，复习课不仅是学生做题、巩固解题技巧的过程，更是教师把各章节内容整合后，呈现给学生进而引发深度学习的过程.在此过程中，教师应更多关注学生再发现和再创造能力的培养和提升，帮助学生实现从“学会”到“会学”的转变.

【关键词】 深度学习;单元教学;反比例函数;中心对称图形

所谓深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程[1].深度学习倡导单元学习[2].从“课时学习”到“单元学习”，是新时期学习方式变革的具体体现.而复习课的过程，不仅是学生做题、巩固解题技巧的过程，更是教师把各章节内容整合后呈现给学生进而引发深度学习的过程.在此过程中，教师应更多关注学生再发现和再创造能力的培养和提升，帮助学生实现从“学会”到“会学”的转变.

2021年6月，笔者有幸参加了2021年新课标背景下北京—江苏专家指导与交流研讨会，并承担了一节数学学科同课异构课，授课内容为苏教版教材八年级下册“反比例函数与中心对称图形专题”复习课，本节课是两章内容的跨章整合复习课，教学设计体现了主题单元教学思想、整体立意，能引发学生深度学习.在研讨会上得到了较好的呈现，获得了与会专家和听课教师的一致好评，现将本节课的教学实施过程与大家分享.

1 教材分析

本节课是反比例函数和中心对称图形这两章内容的跨章整合单元复习课.反比例函数是代数内容，而中心对称图形——平行四边形是几何内容.但是，反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形;而平行四边形是中心对称图形.因此，这两章知识存在内在的联系，反比例函数的图象和平行四边形有一个共同点——中心对称性，因此它们具备一些相同的性质，本节课就从图形对称性的应用来展开研究.

本节的授课内容面向初二年级学生，学生已学习反比例函数的图象和性质，掌握了求反比例函数的表达式、k的几何意义等知识，同时，学生也学习了中心对称图形的知识，能利用平行四边形以及特殊平行四边形的性质和判定进行推理证明，具备了对数学问题进行探究的意识和能力，这都为本节课的学习奠定了基础.但本节课是两章内容整合的复习课，不是知识的简单重复，而是要在原有知识的基础上有新发现、新感悟，并有所突破，从而激发学生的求知欲.因此，本节课以“中心对称”这一共同点，将反比例函数和中心对称图形的知识联系起来，让学生在活动探究的过程中，感悟知识的内在联系，并在活动探究过程中感悟利用中心对称性解决问题的思路和方法.

2 教学目标

1.学会利用反比例函数图象的中心对称性构造平行四边形及特殊的平行四边形，掌握运用图形的中心对称性解决有关问题的思路和方法.

2.通过活动探究等活动解决问题，提高运用图形的对称性解决实际问题的能力，渗透数形结合思想，培养直观想象能力，养成归纳总结的良好习惯.

3.感受数学的对称美，激发学习数学的兴趣，增强学习数学的自信心.

3 教学实施

环节1 热身练习，温故知新

引入语 本学期已接近尾声，在复习的时候，我们最好能把具有相同点的知识归类整理，以便发现规律，更好地解决问题.本节课老师就与大家一起来复习反比例函数和中心对称图形这两章的内容.请大家思考：反比例函数与平行四边形有哪些相同的性质？

复习回顾：正比例函数y=kx（k>0）与反比例函数y=12x的图象的一个交点坐标为（2，6），则两图象的另一个交点坐标是________.

追问1：你是如何求得两图象的另一个交点坐标的？

学生1：利用函数图象的中心对称性，反比例函数与正比例函数的图形都是以原点为对称中心的中心对称图形，因此它们的交点坐标也关于原点对称.

追问2：如图1，老师在黑板上画出任意两条反比例函数和正比例函数的图象，它们的交点坐标为P1（x1，y1），P2（x2，y2），你能得到什么结论？

学生2：归纳小结1：若反比例函数y=kx（k≠0）与正比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则有x1=-x2，y1=-y2.

学生3：还可以得到OP1=OP2.

设计说明 通过做练习，回顾反比例函数的性质，唤醒学生思维，激发学习热情，同时让学生体会数形结合在解题中的应用;通过追问2，让学生归纳具有相同对称中心的两个函数图象交点坐标的特征，形成规律，为环节2的活动探究做好铺垫.

过渡语 既然平行四边形也是中心对称图形，我们能否利用反比例函数的图象构造平行四边形呢？让我们通过下面的“活动探究”感受图形中心对称性的美妙之处！

环节2 活动探究，发现问题

活动1：如图2，请你在反比例函数y=12x的图象上任意选取四个点A，B，C，D画四边形，使四边形ABCD是平行四边形，并简述你的画法.

课堂评价 教师在学生画图时巡视，发现学生主要有两种不同的画法，选两位学生代表展示并叙述自己的画法.

學生4：（投屏，如图3所示，）在反比例函数的每一个分支上各选择一个点A，B，连接AB，并画AB的平行线CD，连接BC，AD.

学生5：（按自己的画法将图形画在老师事前准备在黑板上的反比例函数图象上，如图4所示）在反比例函数第一象限的图象上任选两点A，D，分别连接AO，DO并延长，交反比例函数在第三象限的图象于点C，B，顺次连接A，B，C，D四点即可.

追问3：学生4和学生5画出的四边形ABCD一定是平行四边形吗？为什么呢？怎样验证学生4所画的四边形是不是平行四边形呢？

学生6：学生4画出的四边形只保证了一组对边平行，因此不一定是平行四边形，可以连接两条对角线AC和BD，看它们是否交于点O，如果不交于点O就说明它的对角线不互相平分，就不是平行四边形（教师按学生6的叙述在屏幕上画图验证）;学生5画出的四边形一定是平行四边形，因为它的对角线互相平分.

设计说明 比较画平行四边形的不同方法，体会利用反比例函数图象的中心对称性画图的便捷之处，同时感受利用平行四边形的中心对称性（即对角线互相平分）来判定平行四边形的简洁之处.

追问4：观察黑板上学生5画出的的平行四边形，思考：y轴把平行四边形分成的两部分有何关系？

追问5：你还能找到这样的直线吗？你还有别的发现吗？

追问6：具备什么条件的直线能把中心对称图形分成全等的两部分？

归纳小结2：经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线把中心对称图形分成全等的两部分.

设计说明 通过追问4—6，利用画出的平行四边形观察中心对称图形的其它性质，引发学生深度思考并及时归纳总结，形成规律.

活动2：如图2，你能否在反比例函数y=12x的图象上选取四个点A，B，C，D画四边形，使四边形ABCD是矩形？请简述你的画法及理由.

课堂评价 学生画图过程中教师巡视，发现学生都能积极思考、勇于探索，也观察到学生有两种不同的画法，选两位学生代表展示并叙述自己的画法及理由.

学生7：（投屏，如图5所示）

先画出第一、三象限的角平分线MN，然后在反比例函数的图象上任选一点A，过点A画线段AD⊥MN，交反比例函数于点D，分别过点A，D画线段AB⊥AD，CD⊥AD，与反比例函数的另一个分支交于点B，C，连接BC.理由：有三个角是直角的四边形是矩形.

学生8：（投屏，如图6所示）在反比例函数的图象上任选一点A，连接AO，以O为圆心、AO为半径作圆，交反比例函数图象于点B，C，D，顺次连接A，B，C，D四点即可.理由是：对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

追问7：这样的矩形可以作几个？它们在位置上有什么关系呢？

总结语 矩形与反比例函数的图象不仅是中心对称图形还都是轴对称图形，利用它们的轴对称性解决问题也是一种比较好的方法;中心对称性是平行四边形和所有特殊平行四边形共同的性质，中心对称性的体现就在于对角线互相平分.因此，利用与对角线有关的判定方法来判定特殊的平行四边形应该是更便捷的方法.

设计说明 活动2引发大部分学生深度学习，学生在动手画图的过程中深刻体会反比例函数的中心对称性和轴对称在解题中的作用.同时，追问7可以引发学生深度思考.

追问8：请大家思考，能否在反比例函数y=12x的图象上找出四点A，B，C，D，画出菱形、正方形呢？请说明理由.

设计说明 有了活动1和活动2的画图经验，学生可以在原有图象的基础上进行逻辑推理，同时培养学生的直观想象能力.

过渡语 我们学习了利用反比例函数图象构造平行四边形以及特殊的平行四边形，又回顾了中心对称图形的性质，请大家来解决下面类比迁移中的问题.

环节3 类比迁移，解决问题

1.我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这一结论解决问题.

如图7，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数y=3x的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（-m，0）、C（m，0）.

（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是________;

（2）①当α=30°，四边形ABCD是矩形时，试求B点坐标和m的值;

②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？请求出它们的坐标.

（3）探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标，若不能，说明理由.

设计说明 本题首先应用了平行四边形的中心对称性，而后再利用在活动2中体验到的方法构造特殊的平行四边形——矩形，构造方法与活动2既有联系又有区别;同时，在求点的坐标时还利用了方程思想、矩形的轴对称性，锻炼学生的直观想象能力;在解题过程中鼓励学生大胆发表自己的看法，培养学生综合应用相关知识解决具体问题的能力.

2.如图8，在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）.对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;

②存在无数个四边形MNPQ是矩形;

③存在无数个四边形MNPQ是菱形;

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是________.

设计说明 该题是2019年北京市中考试题，为填空题的最后一道，当时中考试题解读时是用几何画板演示做的说明.其实利用图形的中心对称性来解决本题比较方便，如果本节课学生实现了深度学习，那么他会画出与矩形ABCD对角线交点互相重合的四边形MNPQ，如图8所示，进而利用与对角线有关的判定方法对四边形MNPQ的形状做出判断.

环节4 回顾反思，归纳总结

问题：通过这节课的学习，我们对反比例函数和平行四边形应该又有了新的认識，你有哪些收获想跟同伴分享？还有哪些感悟？

设计说明 培养学生养成及时归纳反思的良好学习习惯.

4 思考与感悟

4.1 有效的问题串激发学生学习兴趣

苏霍姆林斯基曾说：“学习如果具有思想、感情、创造、美和游戏的鲜艳色彩，那它就能成为孩子们深感兴趣和富有吸引力的事情.”[3]本节课从反比例函数图象和平行四边形一个共同性质——中心对称性入手，找到了二者一个很好的结合点，建立了二者之间的联系，让学生感受了中心对称性的美妙之处.而贯穿本节课始终的问题串的推进，极大的激发了学生的学习热情.本节虽然是复习课，但不是知识的机械重复，是让学生在已有知识的基础上有了新的发现和感悟.因此，学生有较强的好奇心和求知欲，在探究过程中始终能够积极参与，勇于质疑并发表自己的观点.

4.2 学生真正成为“活动与体验”的主体

活动与体验是深度学习的核心特征.本节课活动1和活动2的设置，增强了学习过程的体验性、互动性和生成性，整个活动过程学生都能全身心地投入，真正成为了教学活动的主体.并且在系列化问题解决过程中，学生能逐步发现解决问题的方法，感受到图形中心对称性的作用无处不在，也感受到了数形结合的奇妙之处，更好地发展了学生的核心素养.

4.3 “迁移与应用”得以有效落实

“迁移与应用”需要学生有综合的能力、创新的意识.本节课的学习，渗透了数形结合思想、方程思想，培养了学生的直观想象能力.而类比迁移中两个问题的设置，更增加了本节课内容的深刻性与丰富性，整个学习过程，学生都能主动参与探究活动，学习的主动性、自觉性都得以加强，学生的理论知识与实践应用得到有效整合，学科能力和学科素养均得到有效提升，最终达到了深度学习的目的.

参考文献

[1]郭华.深度学习及其意义[J].课程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

[2]刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养[M].北京：教育科学出版社，2018：72.

[3]苏霍姆林斯基.把整个心灵献给孩子[M].唐其慈，毕淑芝，赵玮，译.天津：天津人民出版社，1981：154.

作者简介 程霞（1975—），女，河北石家庄人，中学高级教师，区级学科带头人.主要研究数学教育，曾荣获首都劳动奖章、师德榜样等荣誉称号，发表论文7篇.