基于数学抽象 示范问题提出

张小川 石宝明

【摘 要】 从数学抽象、问题提出两个方面解读了2021重庆中考数学压轴题.中考原题从数学抽象的角度给读者展示了一种提出新问题的思路.此问题给读者带来的教学启发是教学中培养学生提出问题的能力和养成题后反思的习惯.

【关键词】 数学抽象;问题提出;解题策略

1 中考原题

（2021重庆中考数学压轴题）在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC=180°.

（1）如图1，当∠BAC=90°时，连接BE，交AC于F.若BE平分∠ABC，BD=2，求AF的长;

（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想.

2 特色解读

2.1 立足数学抽象，示范问题提出

本压轴题首先在角度为特殊值的背景下，探索线段的长度，继而舍去角度的特殊值，在一般性的情况中，探索两条线段之间的数量关系.将问题一般化，让学生通过抽象和概括去认识问题的数学本质，这是培养学生形成理性思维的重要思想方法，这样的探索，容易找出问题的本质特征，养成一般性思考问题的习惯.并且，本压轴题从第（1）题到第（2）题的变化，展示了一个提出新问题的思路，那就是将问题进行一般化处理，改变问题的条件，探索新的结论.教育部颁布的《义务教育数学课程标准》和《普通高中数学课程标准（大纲）》（1996年、2003年、2001年、2012年、2017年）也均提到了“……发现问题和提出问题……从数学的角度发现并提出问题”[1].文献[2][3][4]表明在教学活動中融入问题提出对学生的学习有积极的作用，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的创造性思维.对于如何提出新问题，大多数学生只能凭感觉模仿，没有形成行之有效的提出问题方法，本压轴题给读者提供了一个良好的示范.

2.2 开放解题入口，领会解题策略

第（2）题在第（1）题共顶点两个等腰三角形的基础上，给出线段的中点，探索两条线段之间的数量关系.通过对多种基本图形的组合形成新问题，因为基本图形的多样性，解答的切入点较多，可以有多种思路，解题思路主要有：构造中位线解答、倍长中线（补短）解答、可以构造中线（截长）解答……通过分析这些解题思路的过程，感悟问题的多种解题思路的区别，在解决问题时，欲寻找问题解法突破点，可以从知识探源的角度，运用波利亚解题表的提示语进行自我提问，探索解答思路.

3 解法

思路一 构造三角形中位线

方法1 如图3，因为点G是BE的中点，可以过点E作AG的平行线，交BA的延长线于点F，则AB=AF，EF=2AG，再证明EF=CD即可.证明两条线段相等常用的方法有：三角形全等、角平分线的性质、垂直平分线的性质、平行四边形对边相等、平行四边形对角互相平分、等弧所对的弦、垂径定理……结合本题给出的条件，可以选择用三角形全等解答，也就是证明△ADC≌△AEF.现在分析这两个三角形全等的条件，因为AB=AC，AB=AF，所以AC=AF;原题中有AD=AE，只需要再证明∠DAC=∠EAF即可.根据原题给出的条件∠DAE+∠BAC=180°，所以（∠DAC+∠CAE）+∠BAC=180°，又（∠EAF+∠CAE）+∠BAC=180°，所以∠DAC=∠EAF.得出△ADC≌△AEF后有EF=CD，因为EF=2AG所以，CD=2AG.

方法2 如图4，过点B作AG的平行线交EA的延长线于点F，则AE=AF=AD，BF=2AG.再证明BF=CD，也就是证明△ABF≌△ACD.现在三角形全等的条件已经有AB=AC，AF=AD，只需要证明∠FAB=∠DAC即可.而∠FAB+∠BAE=180°，有∠FAB+（∠BAC+∠CAE）=180°;因为∠DAE+∠BAC=180°，所以（∠DAC+∠CAE）+∠BAC=180°.所以∠FAB=∠DAC.得出△ABF≌△ACD后就有BF=CD，所以CD=2AG.思路二 倍长中线

方法3 如图5，因为G是BE的中点，延长AG到F使得AG=GF，连接BF，则有△AEG≌△FBG，所以BF=AE，AG=GF，得出AF=2AG.再证明AF=CD即可.

而证明AF=CD可通过证明△ABF≌CAD实现，现在已经有AB=AC，BF=AE=AD，只要再证明∠ABF=∠CAD即可.

因为BF∥AE，所以∠ABF+∠BAE=180°;因为∠BAC+∠DAE=180°，所以∠BAC+（∠DAC+∠CAE）=180°，也就是（∠BAC+∠CAE）+∠DAC=180°，所以∠DAC+∠BAE=180°.得出∠ABF=∠DAC.剩下的部分与方法2类似，略.

方法4 如图6，延长AG到F使得AG=GF，连接EF，有△ABG≌△FEG.得出AB=EF=AC，AG=GF，从而有AF=2AG.要证明AF=CD，只需要证明△AEF≌△DAC即可.现在已经有AE=AD，EF=AB=AC，只要再实现∠AEF=∠DAC即可.因为AB∥EF，所以∠AEF+∠BAE=180°;因为∠BAC+∠DAE=180°，所以∠BAC+（∠DAC+CAE）=180°，故（∠BAC+∠CAE）+∠DAC=180°，所以∠DAC+∠BAE=180°，所以∠AEF=∠DAC.剩下的证明过程，略.

思路三 平分线段CD

方法5 如图7，找CD的中点H，连接AH并延长使得AH=HF，连接DF，有△ACH≌△FDH，所以AC=AB=DF，DH=CH=12CD，DF∥AC.因为DH是△ADF的中线，AG是△ABE的中线，只要证明△ADF≌△ABE就可证明出AG=DH.证明△ADF≌△ABE已经具备的条件有AB=AC=DF，AE=AD，只要再探索出∠ADF=∠BAE即可.