问题导向的初三数学复习课

胡生兵 李洪兵

【摘 要】 国培期间数学特级教师展示了一堂初三数学复习观摩课，课题是“二次函数的综合应用”，本节课起于一个主题干，成于八个追问.本节课展示问题由封闭到开放，探究性强，教学价值高，是一节成功的復习课，充分体现了以下特点：高处立意，践行课改理念;问题驱动，夯实学习过程;指向评价，落实数学素养.【关键词】 二次函数;综合应用;教学实录;教学评析

二次函数的综合应用是初中数学的重点，是学生学习的难点，是中考的热点.“二次函数的的综合应用”是初三复习的重要内容，不少老师往往采取题海战术进行复习，但特级教师姜老师的教学却另辟蹊径——起于一个主题干，八个追问螺旋上升层层递进，对二次函数作了全面复习，并取得了较好的效果.本文对该堂课的主要内容进行了实录，并对几位教研员和专家们的点评作了实录和分析.

1 基本情况

1.1 授课对象

教学对象是重庆A中学（重庆市重点中学）的初三学生，该班学生思维活跃，善于思考，积极主动.该班总成绩位于年级前列.

1.2 学情分析

本节课内容是参照人教版初中数学内容设计.作为复习课，学生已经学习了勾股定理，二次函数的定义、图象及性质等基础知识，但学生不能灵活运用所学知识.在前期的学习中，学生已经掌握了研究函数的方法，对函数思想、数形结合思想已有初步认识，但依然缺乏解决数学综合问题的思维方法，并且分析问题和解决问题的能力还有待提高.因此本节课旨在巩固与二次函数相关的知识，强化数形结合、类比、转化、待定系数法、反证法等数学思维方法，提高“四能”.

1.3 例题设计

已知一次函数的图象经过A（0，2）、B（4，6）两点，完成下面的问题：

（1）求过A、B两点的一次函数解析式;

（2）已知一个二次函数图象经过点A，B和点D（1，0），求该函数解析式并画出函数图象;

（3）利用函数图象写出方程x2-3x+2=x+2的解和不等式x2-3x+2>x+2的解集;

（4）求△ABO的面积;

（5）求△ABD的面积;

（6）若点G是直线AB下方抛物线上的一点，当△ABG面积最大时，求点G的坐标;

（7）在x轴上是否存在点M，使M，A，B三点构成的三角形是直角三角形？若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由;

（8）在x轴上是否存在点P，使P，A，B三点构成的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

意图探析 以问题为主线，体现问题是数学的心脏，问题是教学的心脏，问题是学生认知的心脏，展示问题驱动式教学模式[1].遵循学生的认知规律，设计由浅入深、由易到难、结构简单、逻辑联系、前后铺垫的问题串，形成学习任务，通过这些问题的解决，巩固二次函数的基本性质、解一元二次方程、解三角形面积等基础知识，帮助学生掌握解决二次函数问题的基本方法，比如待定系数法、反证法、数形结合、割补法等.通过解决开放型问题和一题多解，培养学生的发散思维和创造能力.

2 课堂实录

2.1 复习回顾，引入新课

师：同学们现在已经学习了哪些函数？

众生：一次函数、反比例函数、二次函数.

师：它们的图象是怎样的呢？

众生：一次函数图象是直线、反比例函数图象是双曲线、二次函数图象是抛物线.

师：很好，今天我们将学习二次函数的综合应用.

（教师板书课题，展示问题）

评析 通过回顾，使学生集中注意力，激发学生的学习兴趣，为后续学习做铺垫，同时拉近师生之间的距离.

2.2 分析问题，解决问题

问题1 求过A，B两点的一次函数解析式.

师：我们怎么求一次函数的解析式？

生1：设一次函数的解析式为y=kx+b，然后将点代入，从而求出k，b.

教师：非常好，前面知识掌握不错，大家现在求解一下（停顿一会），同学们求出来没有？

生2：一次函数解析式为y=x+2.

师：很好，大家会求一次函数解析式，那二次函数解析式呢？大家思考下面这个问题.

问题2 已知一个二次函数的图象经过点A，B和点D（1，0），求该函数解析式并画出函数图象.

师：请同学们思考怎么求此解析式？

生2：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，然后将A，B，D三点的坐标代入，得到方程组，从而解得a=1，b=-3，c=2，进而y=x2-3x+2.

师：很好，这个解题过程可以简化吗？或者说解析式可以设成其他形式吗？

生3：根据已知条件知，抛物线与y轴的截距为2，所以设解析式为y=ax2+bx+2.

师：非常好，对二次函数的系数理解很深刻.那同学们现在描点，找到对称轴和顶点，画出二次函数的图象.

评析 函数解析式是研究函数的基础，问题由简单到复杂符合学生的认知规律，通过简单问题的成功解决，使学生获得成功感，激发学习动力.此问题的解决方法是待定系数法，该方法不仅在初中很重要，在高中解决解析几何问题也常用，强化学生的思维方法，为后续学习打基础.

问题3 利用函数图象写出方程x2-3x+2=x+2的解和不等式x2-3x+2>x+2的解集.

师：根据图1可知，一次函数图象有两个交点，那这两个交点代表什么意思？

生4：代表这两个函数的自变量取交点横坐标时，所对应的函数值相等.

师：很好，那方程的解为多少？

生4：方程的解为0或4.

师：非常好，那不等式的解集？

生5：因为是二次函数值大于一次函数值，所以是二次函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量x，所以不等式的解集为x<0或x>4.

评析 运用数学结合解一元二次方程，为解不等式作铺垫，强化学生的数学结合思想.通过数形结合帮助学生理解方程与函数、方程与不等式、函数与不等式之间的联系，此问题还为高中学习函数零点打下坚实基础，充分体现了教学的弹性.

问题4 求△ABO的面积.

师：同学们能否在图中找到三角形△ABO？能口算出三角形面积吗？

众生：能，面积为4.

师：为什么？

众生：如图2，因为底OA为2，高为4，所以面积为4.

师：还有其他方法吗，同学们下去还可以再探究.

评析 面积是几何中最基本的问题，解决此问题的关键是寻找底和高.运用数形结合思想，寻找解题方法，有助于培养学生观察、分析和解决问题的能力，为下一个问题作铺垫.

问题5 求△ABD的面积.

师：求解思路是什么？

生6：如图3所示，过点D作y的平行线交AB于点F，则S△ABD=S△ADF+S△DBF=12DF·OC，而DF=1+2=3，OC=4，所以S△ABD=6.

生7：如图3，连接OB，则S△ABD=S△AOB+S△DOB-S△ADO.

生8：如图3，过点B做垂线交x轴于点C，则S△ABD=SABCO-S△ADO-S△BCD.

生9：如图3，延长BD交y轴于点H，则S△ABD=S△ABH-S△ADH.

师：方法灵活，但所有方法体现的是“割”与“补”的思想.

评析 问题简洁，难度不大，学生易理解题意，从而重心放在分析问题上.此问题解题方法灵活，生7和生8的方法是学生所熟知，而生6的方法学生不易想到，但能简化求解过程，体现了多想少算的理念，所有方法体现的思想是“割”或“补”.通过一题多解，展示不同水平学生的思维，提高学生的学习兴趣，培养学生的发散思维和优化思想.

问题6 （思考题）若点G是直线AB下方抛物线上的一点，当△ABG面积最大时，求点G的坐标.

师：求三角形面积，需要去确定三角形的底和高，说说你们的思路？

生8：如图4所示，过点G作y的平行线交AB于点F，以FG为底，则根据问题5可知△ABG的高为定值4，所以只需要FG最大即可.设G点坐标为（x，x2-3x+2），则FG=x+2-（x2-3x+2）=-x2+4x（0

师：通过类比寻找变与不变.

生9：以AB为底，则△ABG的高为点G到直线AB的距离.根据已知可得AB=42.而根据点到直线的距离公式可得h=x（4-x）2（0

师：很好，学习能力很强.点到直线距离公式初中不学，到高中才学，很多同学都不知道，感兴趣的同学可以去推导一下.大家还有其他方法？生9你不用点到直线的距离公式能解决这个问题吗？（学生保持沉默）

师：没关系，我们一起来思考，其实当以AB为底时，我们相当于在抛物线下方去寻找距离直线最远的点，根据图象可以感知，移动直线AB与抛物线相切，则切点就是要找的那个点.而相切时，判别式等于零，从而解出直线方程，进而求得交点.

评析 此问题难度大，教师将其改成思考题，重点分析思路，提供了不同思维难度的方法供大家思考，体现了因材施教，分层教学的理念.此问题的解题方法有切线法，代数法，蕴含了类比和数形结合的思想，使不同学生得到不同的展示和发展，培养了学生敢于挑战的意志品质.

2.3 引发探究，深度学习

问题7 在x轴上是否存在点M，使M，A，B三点构成的三角形是直角三角形？若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.（根据题意，在黑板上画出图5，然后再引导学生分析）

师：根据勾股定理有：两直角边的平方和等于斜边的平方，这是一个充要条件.那我们现在知道哪个角是直角？

众生：不知道.

师：从而我们要采用什么方法？

众生：分类讨论.

师：那先假设点M存在，并设为（x，0），大家现在求解一下，看有几个点满足条件.

生9：以点A为直角顶点时，则AM2+AB2=MB2，而AM2=x2+4，AB2=32，BM2=（4-x）2+36，所以解得x=2;同理当以点M为直角顶点时，无解;当以点B为直角顶点时，解得x=10，综上存在两个点满足条件，即（10，0）或（2，0）.

师：大家继续思考，当以点A为直角顶点时，还有别的方法计算点M的坐标？

生10：过点A作AB的垂线交x轴于点M，因为kAM·kAB=-1，kAB=1，A（0，2），从而可以求出直线AM的解析式，进而求得点M的坐标.

师：很好，这样是可行的，但是你知道为什么直线相互垂直時斜率乘积等于-1？

生11：不知道，我记的结论.

师：很诚实，因为那是高中才学的，但是如果你感兴趣可以课后推导一下.其他同学还有别的方法？

生12：有，当以点A为直角顶点时，△ABE为等腰直角三角形，从而△AOM也为等腰直角三角形，从而OM=OA=2，即点M坐标为（2，0）.

师：很好，观察非常仔细，磨刀不误砍材工，做题不要急动笔，先想透彻，再书写，能提高解题效率.

问题8 在x轴上是否存在点P，使P，A，B三点构成的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.（根据题意，在黑板上画出图6，然后再引导学生分析）

师：等腰三角形有什么性质？

众生：两腰相等，两底角相等.

师：哪个是腰呢？不清楚，又要分类讨论，同样假设点P存在，坐标为（x，0），请同学计算一下，有几个点满足条件？

生13：AP2=x2+4，PB2=（x-4）2+36，AB2=32，当P为顶点，PA=PB时，解得x=6;当A为顶点，PA=AB时，解得x=±27;当B为顶点，AB=PB时，无解;所以存在三个点分别是（27，0），（-27，0），（6，0）.

师：非常好，此问题类似于问题7，都是列等式，解方程.问题7和问题8都是存在型问题，我们均假设存在，然后验证，归结起来都是采用了反证法，大家下去好好体会.

评析 问题7、8均属于开放型问题，有助于培养学生的创造思维.牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一.”[2]反证法在高中、大学中都是非常重要的，能提解题效率.此类题的解题思路都是先假设成立，然后去验证，本质都是采用的反证法.这两个问题的解决过程很好的体现了数与形之间的统一，展示了数学的统一美，强化了数形结合思想.

2.4 归纳总结，反思升华

师：学习了哪些知识？

众生：一次函数，二次函数，二次方程，二次不等式，二次函数的最值.

师：运用了哪些方法呢？

生：代数法，几何法，数形结合，反证法.

师：学习了本节课你们有什么体会呢？

生14：对一个问题可以多角度解决.

生15：对于存在型问题，先假设存在，然后去验证.

评析 归纳总结有利于开发元认知，有利于学生建构知识网络，促进学生数学思维的发展[1].教学中，学生是主体，要充分了解学生，让学生表达，培养学生的表达能力.

2.5 课后练习，巩固提高（略）

3 教学评析

通过教学观摩，教研员和专家们对本节课评价很高.本节课的特点是以问题为主线，形成知识链，构成学习任务.问题结构简单，难度由浅入深.问题类型由封闭型到开放型，探究性强，教学价值高，是一节成功的复习课，具体体现在以下几个方面：

3.1 高处立意，践行课改理念

从教学理念来看，本节课体现了新课标教学理念.教师让学生先思考，小组讨论，上台展示，再追问，体现了以学生为主体，教师为主导和数学教学是数学活动的教学理念.本节课学习的知识由浅入深，解决问题方法，蕴含许多常用的数学思想，体现了深度教学理念.

3.2 问题驱动，夯实学习过程

从教学过程来看，教师围绕问题而教，学生围绕问题而学，体现了问题是数学的心脏，问题是教学的心脏，问题是学生认知的心脏[3].数学从某种角度来讲是由问题构成的，没有问题，就没有数学，学生认知的是问题，思考的是问题，问题是思维的土壤.没有问题，就缺乏思维的土壤，也就难以思维，学生也就不能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.本节课是一堂高水平的解题教学课，通过有限道题的解题方法、解题策略、解题思想，去领悟解决无穷道题的智慧.

3.3 指向评价，落实数学素养

从教学效果来看，本节课充分体现了真、善、美，充分发展了学生的数学素养.首先课堂很真，在上课之前，教师没有与学生进行任何沟通.问题很真，这些题目由浅入深，完全是经过精心的设计，并且这些题目是平常教学和中考中经常遇见的题目.该课有助于应试也是真的，但这节课也是科学的探究，以问题为载体，引导学生思考方法，促进知识自然生长，是一堂非常有数学味的课.善体现在教学方法和处理问题方法不断改进的过程中，教师特别强调“你先说说你的思路和方法”，算完之后老师又提问“还有没有别的方法”，体现了等一等，问一问的教学思想，充分展示了心中有学生，给学生提供展示的机会.本节课呈现了课件的简洁美、问题的逻辑美、数形的统一美.

参考文献

[1]徐娟.一堂基于深度理解的二次函数综合复习课[J].中学数学，2020（22）：27-29.

[2]王滟林，熊露，趙思林.反证法的教育价值与教学建议[J].中学数学，2019（23）：86-88.

[3]潘龙生.教学，少些一带而过[J].数学通报，2015，54（01）：14-16.

作者简介 胡生兵（1993—），男，四川广安人，硕士，主要从事中学数学解题和教学研究.发表论文6篇，出版专著1本.

李洪兵（1973—），男，重庆璧山人，中学正高级教师，重庆市特级教师，重庆市学科带头人，重庆市学科名师.