一道例题的变式教学所展示的数学之美*

广东省广州市执信中学(510080) 高龙光

数学课堂教学如何在重视学生理性思维培养的同时,充分挖掘数学文化价值与以美育人功能作用.如何让学生真正热爱数学、而不是仅仅为了升学才不得已去学数学.为了升学,尽管自己不是那么喜欢数学,拼命也得学好.而被动的学习,就犹如捏住鼻子灌药,咽下去,又可能吐出来.但如果是被数学本身的魅力所吸引,感受和发现了数学之美,那将给学生的数学学习增添无穷乐趣,使学生油然而生起对数学的强烈好奇心,和持久的学习动力.数学之美,美在千姿百态,丰富多彩,如: 数学的简洁之美、对称之美、抽象之美、和谐之美以及形式各异的模型之美等,正如我国数学家徐利治教授指出: 数学美的含义是丰富的,数学概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性,数学命题和数学模型的概括性、典型性与普遍性,还有数学中的奇异性,都是美的具体内容[1].在课堂教学中如何将数学中的隐形之美显性化,以此引导学生主动去发现数学之美,感受数学之美,增强数学学习的乐趣.此文以本人一节高三复习公开课教学为例,探讨例题教学中通过变式教学所展示的数学之美.

1 例题教学,展示“变化中的不变性”的惊奇之美

例题已知椭圆=1(a>1)的左、右焦点分别为F1、F2,抛物线C:y2= 2px(p >0)以F2为焦点且与椭圆相交于点M(x1,y1),N(x2,y2),点M在x轴上方,直线F1M与抛物线C相切.设A,B是抛物线C上两动点,如果直线MA,MB的倾斜角互补,求证: 直线AB的斜率为定值.

【解析】: 先求抛物线C的方程及点M的坐标.由椭圆方程得c== 1,所 以F1(−1,0),F2(1,0),所以= 1,p= 2,所以抛物线C的方程为y2= 4x.因为M(x1,y1)在抛物线C上,所以y21= 4x1,直线F1M的方程为y=(x+1),代入抛物线方程得y21(x+1)2= 4x(x1+1)2,即x1x2−(x21+1)x+x1= 0,因为F1M与抛物线C相切,所以Δ=(x21+1)2−4x21=0,即求得M(1,2)或N(1,−2).

直线AB的斜率为定值−1.证明如下: 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为点M、A、B均在抛物线y2=4x上,所以

因为直线MA、MB的倾斜角互补,则倾斜角均不为直角,所以kMA=−kMB,=0 即y1+y2=−4,又由1○−②得y21−y22=4(x1−x2),即kAB=−1,即直线AB的斜率为定值−1.(如图1)

赏析:“A,B是抛物线C:y2= 4x上两动点,M(1,2)在抛物线C上(非顶点),在直线MA,MB的运动变化过程中,只要两者的倾斜角互补,则直线AB的斜率为定值”.对于此类“变化中的不变性”,其结论本身就具有惊奇之美.

2 从四种命题及合情推理的角度进行变式教学,展示“对称之美与和谐之美”

变式1: 上题中的逆命题是否成立?

逆命题: 直线AB与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,M(1,2)在抛物线C上,若直线AB的斜率为−1,则直线MA,MB的倾斜角互补.

逆命题成立,证明如下: 因为直线AB不与x轴平行,设直线AB方程为x=−y+b,代入抛物线C:y2= 4x得,y2+4y −4b= 0,Δ ≥0,y1+y2=−4,即y2=−y1−4,由原命题证明可得kAM+kBM==0,所以直线MA,MB的倾斜角互补,即逆命题成立.

赏析: 原命题与逆命题条件与结论互换位置且同时成立,其结构极具对称之美.

变式2: 将命题的条件一般化,结论是否仍然成立?

一般地,对于抛物线C:y2= 4x上任意给定一点M(x0,y0)(非顶点),设A,B是抛物线C上两动点,如果直线MA,MB的倾斜角互补,那么直线AB的斜率是否为定值? 命题结论成立.下面给予证明:

设直线AB的方程为:x=ty+m,代入y2= 4x得y2−4ty −4m= 0,Δ = 16(t2+m)>0,y1+y2=4t,y1y2=−4m,

∴4(y1+y2)+8y0=16t+8y0=0 即t=∴直线AB的斜率为定值即直线AB的斜率为定值反之也成立.(类似变式1 中逆命题的证明即可得证! ) .更一般地,对于抛物线C:y2= 2px(p >0),同样得直线AB的斜率为定值

赏析: 这反映了抛物线的本质规律: 过抛物线C:y2=2px(p>0)上任意一点(非顶点)作两条射线,若两射线的倾斜角互补,则两射线与抛物线的交点所在直线的斜率为定值.这样通过一般化猜想及论证,抽象出了抛物线的本质规律,充分体现了数学中合情推理与数学抽象之美.

学生课后思考: 更一般地,若直线MA,MB的斜率之和为定值m,则直线AB的斜率是否为定值? 若直线MA,MB斜率之积为定值m,又有何结论呢? 或者把问题放到更大范围——圆锥曲线中思考,结论是否成立呢? 其实,也可以得到类似结论,在此不做论述.

变式3: 将命题极端化,得到怎样的结论?

特别地,将变式2 中的两条直线MA,MB无限接近,由于直线MA,MB倾斜角互补,则MA,MB均与x轴趋近于垂直,也就是当A,B无限接近,并重合于点M关于对称轴的对称点M′(x0,−y0) 时,直线AB也即为曲线上过M′(x0,−y0) 的切线; 而通过求导可得,过M′(x0,−y0)的切线的斜率k=正好是直线AB斜率的定值.

赏析: 将命题极端化处理,其结果精妙地展示了从割线到切线的极限之美,以及结论的统一与和谐之美(如图2).

这是一堂以变式教学为特征的课例,让学生充满了思维的碰撞与发现的惊喜,从多侧面多角度让学生发现数学之美,感受数学之美.孔子曰: 知之者,不如好知者,好知者不如乐知者.数学之美让学生更加“乐学善学”.同时,还能从数学之美中得到思维的启迪,提高数学学习的主动性、持久性和学习效果.