基于培养高阶思维的课堂教学——“一次函数的图象2”教学设计与实施

浙江省杭州市建兰中学(310000) 张 玲

函数在初中数学“数与代数”的领域中占有重要地位,函数刻画了变量之间相互依赖的关系,反映了数量的变化规律和对应关系,贯穿代数始终,成为“数与代数”课程教学的主线.一次函数是最简单、最基本的函数,一次函数的认知过程和研究方法也为后续学习其他函数提供了借鉴和参考.

传统函数教学的课堂一般是让学生直接观察几个特殊的一次函数图象从而直接得到一次函数的性质,按照k >0和k <0 分类,然后总结函数值y随自变量x变化而变化的规律,把增减性转化为数学符号,最后讲解的示例则往往侧重一次函数性质的应用.长此以往,学生对函数性质的理解仅仅靠死记硬背,不利于培养和发展学生的数学思维、应用意识和创新意识.而这些能力恰恰是新课标中对数学课堂的核心要求.笔者有感于此,就此内容做了一些课堂尝试,试图突破常规,初探“培养高阶思维”的课堂教学模式.

在数学课堂的教学中,重点内容就是对数学知识的掌握、运用以及与之相关的思维训练.课堂改革的重要目标就是培养学生的核心素养、提升学生的思维能力.思维的训练容易达成,但不同的教学设计和教学实施,学生思维达到的高度则会不同.所以在课堂教学中,应该思考的是如何设计有梯度的探究活动,有效的启发提问,使学生因学引思,拾级而上,这样才能让学生的思维得到提升,实现思维跃迁.

下面以“一次函数的图象2”教学为例,谈谈数学思维层级提升在教学设计和课堂组织中的具体实施.

1 备课分析

1.1 教学背景分析

八年级数学课程中学生已经学习了什么是常量和变量,知道了变量之间的依赖关系,对变量之间的关系以及“以数定形”等也有了初步的理解.同时也学习了函数的定义,函数的表示方法,会求函数表达式、函数值、取值范围等,掌握了函数图象的具体画法,也了解了一次函数与二元一次方程之间的关系.基于以上学情,教师在教学中如能进一步引导学生自主探索与发现,鼓励学生积极参与讨论,并初步借助函数图象,利用图象的几何特征去分析一次函数图象的变化规律及性质,最终将其应用在解决实际问题中,这对培养学生的数学思维,提升教学效果大有裨益.

1.2 教学目标分析

1.2.1 教学目标

(1) 利用函数图象了解一次函数的性质(思维目标: 理解、应用、分析).

(2)掌握自变量和函数值之间的关系,会根据一次函数自变量的取值范围求函数值的取值范围,或者根据函数值的取值范围求解自变量的取值范围等(思维目标: 理解、分析和综合).

(3)能够利用一次函数的图象和性质解决实际生活中的一些简单问题,体会函数的应用价值(思维目标: 分析和综合、评价).

(4)会利用数形结合思想解决函数问题,培养利用函数思想解决实际问题的能力(思维目标: 分析和综合、创造).

1.2.2 教学重难点

重点: 一次函数的性质和数形结合思想

难点: 一次函数增减性的理解;一次函数的应用

1.2.3 课堂难点预设

(1)利用一次函数图象求解一次不等式

在课堂设计中,先让学生直观体会一次函数的图形变化,再通过表格归纳整理,逐步引导学生体会图形、文字、符号语言之间的关系.

(2)通过数学建模的方式求解一次函数应用题

课堂的导入选取和实际生活相关的应用题,通过引导的方式逐次打开学生的思维层级,层层深入,引导学生把握问题实质,寻求解决问题的思路,培养学生的创造能力和分析综合能力.

(3)通过合作的方式完成课堂小结

通过教师引导,学生总结的方式,师生合作,完成课堂小结.此环节对学生的抽象思维能力、综合分析能力、概括能力和语言表达能力等都具有较高的要求.通过这种形式,学生可以不断反观课堂,从而引发深度思考,获取结构化知识,提高思维的深度和广度.

2 课堂教学策略

2.1 情境引入,导入新课

张老师工作日需开车到学校上课,汽车启动时油箱里有汽油50 升,假定汽车的耗油量是每小时10 升,那么油箱里剩余汽油量Q(升)和行驶时间t(小时)之间的函数关系应当怎样构建? 这是什么性质的函数? 如果行驶时间超过1 小时,那么油箱中剩余油量应该在什么范围内?

设计意图: 采用创设日常生活问题场景的形式,加深学生对一次函数的概念和图象的理解,有利于激发学生学习的热情.

2.2 观察思考、探究规律

2.2.1 从“数”方面入手: 初步探究

一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k ̸= 0)中的k,根据情况可分为k >0、k <0 两种情形,此时一次函数在性质上有什么不同? 可以设定一个具体的数值进行分析研究,如,一次函数y=2x+3 和y=−x+4,在表格中填写对应的函数值y,见下表

表1

提问: 观察这9 个函数值,自变量从左到右逐渐增大,观察函数值是如何随自变量变化而变化的,两个函数的函数值在变化趋势上有何差别?

结论: 对于一次函数y= 2x+3,随着自变量x的不断增大,函数值y逐渐增大;

对于一次函数y=−x+4,随着自变量x的不断增大,函数值y逐渐减小.

提问: 同学们所填数据只有9 对,无法包含所有数值,有什么办法可以表示所有值? 如何验证呢?

追问1: 能不能用字母表示这些数来代表一般情况? 如何证明?

追问2: 除了从代数角度“作差法”来证明外,还有别的方法吗?

图1

结论: 还可以通过观察函数图象直观得到一次函数的增减性.

2.2.2 从“形”方面入手: 深入思考

请同学们在同一坐标系中分别画出一次函数y=2x+3和y=−x+4 的图象.

提问: ①根据函数图象回答下列问题: 对于一次函数y=2x+3,当自变量x的值不断增大时,函数值y会如何变化?

结论: 一次函数y= 2x+3 的图象是一条从左向右,逐渐上升的直线,函数值y随自变量x的增大而不断增大.

②一次函数y=−x+4,当自变量x的值增大时,函数y的值有什么变化?

结论: 观察函数y=−x+4 的图象,它是一条从左向右,逐渐下降的直线,且函数值y随自变量x的增大而不断减小.

③函数y=2x+3 的这个性质是否可以拓展到对于任意k >0 时,一次函数y=kx+b的性质也是如此呢? 如果可以,请说明理由;如果不行,我们该怎么解决?

学生取不同的k的值,通过填表观察数据或观察函数图象进行验证.同学们互相可以查看交流,互相评价.同时老师使用几何画板,借助信息技术让同学们观察,给出不同k,b的值,画出对应的函数图象进行观察,从而验证他们得出的结论的正确性.

结论:y随x的增大而增大这一性质适用于所有k >0时的一次函数.

设计意图: 通过绘制一次函数的图象,使同学们不但能了解和掌握函数的图象和画法,同时还能引导学生进行观察,从图象中发现关键信息,并进行总结提炼,归纳出函数的性质,形成解决函数问题基本思路: 函数概念→函数图象→函数性质→函数应用,为后面反比例函数的学习提供了研究路径.

2.3 从“实践”方面入手: 强化落实

提问: 当k <0 时,对于任意的一次函数,函数值y是否都会随自变量x的增大而减小?

同学们自选一个k <0 的一次函数,画出图象,并概括所画函数的性质.老师同时用几何画板画出学生所选函数并进行演示.

结论: 当k <0 时,y随着x的增大而减小.

设计意图: 通过活动让同学们得到直观经验,体会数学结论不是只靠猜想,更重要的是验证.通过这样的活动,可以培养学生的观察能力、获取图象中关键信息的能力,以及数形结合的意识,让学生的数学思维得到锻炼.

2.4 从“具体”到“抽象”: 总结性质

一次函数的性质: 对于一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k ̸= 0),当k >0 时,y随着x的增大而增大,转化为数学符号语言: 若x1< x2时,则y1< y2;当k <0 时,y随着x的增大而减小.转化为数学符号语言: 若x1y2.

提问: ①上升和下降的趋势由k的正负决定,那么b的值对一次函数的图象有什么影响(此时研究b ̸=0 的情况)?

结论:b的值决定了与函数图象与y轴的交点位置.

提问: ②归纳一下一次函数图象有几种不同的类型? 如何进行分类?

结论: 四种,k >0,b>0;k >0,b<0;k <0,b>0;k <0,b<0.(填表2)

表2

设计意图: 通过填写表格,让同学们梳理一次函数图象的几种不同类型,对一次函数有一个全面、直观的了解.通过分类讨论,增强学生数形结合的能力,锻炼学生数学语言的表达能力,分析归纳能力,体会图形、文字、数学符号三种语言之间的转译和美妙结合,感受数学的简洁美.

2.5 理解性质、巩固训练

2.5.1 小试牛刀落基础

1.设下列两个函数当x=x1时,y=y1;当x=x2时,y=y2,用“<”或“>”号填空.

①对于函数y= 7x+ 1,若x1= 3,x2=−2,则y2____y1.

②对于函数y=−x+1,若x1

③对于函数y=−3x −4,若x2______x1,则y2

2.已知A(−1,y1),B(3,y2),C(−3,y3) 是一次函数y=−2x+b图象上的三点,用“<”连接y1,y2,y3为____.

3.在一次函数y= (2m+2)x+5 中,y随着x的增大而减小,则m是( )

A.M <−1 B.M >−1 C.M=1 D.M <1

4.对于函数y=−x+ 6,当1< x <4 时,____

5.一次函数y=(−a+1)x+a,当x1y2,求a的取值范围.

概述: 通过一次函数的解析式可以计算函数值,并进行大小比较,但这样做往往比较“慢”而且“麻烦”.通过观察函数图象,可以利用图象的位置直观比较函数值的大小,也可以根据一次函数的性质,利用增减性对函数值进行大小比较.

设计意图: 着眼于基本问题,从具体数值到字母,根据已知自变量的大小关系得出函数值的大小关系,根据自变量的取值范围得到函数值的取值范围,抽丝剥茧,不断变式,让学生学会根据函数的图象与性质对函数值的大小进行比较,感悟从特殊到一般的思维方式.

2.5.2 大展身手巧拓展

已知函数y=kx+b的图象如图2 所示,

图2

①求当x≤4 时y的取值范围;

②求当2

③根据函数y=kx+b的图象,求解不等式kx+b<5的解.

设计意图: 此题重在考查学生学习一次函数后的读图能力,根据图象法求解不等式,对学生的思维要求较高,让学生经历观察、发现、比较、抽象的过程,对学生的思维层级要求是理解、应用、分析和综合,属于高阶思维范畴.此题设计难度逐渐递增,让学生在思维上构建函数、方程和不等式三者之间的关联,逐级启发,培养学生借助函数图象,利用数形结合思维解决问题的能力.

2.5.3 链接生活建模型

问题1.我国西部某省份现有人造林面积12 万公顷,为增强防沙治沙能力,根据规划,今后10年预计新增造林面积61000～62000 公顷.请据此估算6年后该地区的人造林总面积将达到多少公顷?

分析: 1.有造林面积和时间得到什么? (用怎样的函数来表示)

2.6年后的造林总面积应该怎样算?

设计意图: 从一次函数应用题的简单类型开始,达到让所有学生都能列出一次函数表达式,并理解此时的总面积S是一个范围(变量)而不是一个确定的值,并能够根据解析式判断出函数值随自变量的增大如何变化,达到借助一次函数的相关知识解决实际问题的目的.这实际上是一个数学建模过程,从理解到应用再到分析综合,本身就是一个从低阶思维向高阶思维发展的过程.

问题2.抗击疫期间,A 市需要消毒液6 吨,B 市需要消毒液8 吨,恰好C 市有消毒液4 吨,D 市有消毒液10 吨,现计划将这14 吨的消毒液进行跨区域调配.从C 市到A 市的运费为60 元/吨,到B 市是100 元/吨,从D 市到A 市的运费是35 元/吨,到B 市的运费是70 元/吨.(1)设从C 市运到A市x吨,求调运14 吨的总运费y与x的函数解析式以及自变量x的取值范围并画出函数图象.(2)求解总运费最低的解决方案,最低总运费是多少?

分析: 学生先独立完成,再给同学讲述自己的思考过程,不足的地方请其他同学进行补充和纠正.此题难度较大,可以提示学生借助表格进行分析,从而寻找到变量之间的关系.

问题3.用函数的知识解决课堂一开始老师遇到的问题.

设计意图: 函数是刻画现实世界变量之间依存关系的重要数学模型.设计关于一次函数的具体应用问题,让学生在学习的过程中先后经历: 实际问题→问题抽象→构建模型→问题求解→解释应用的思维过程,寻找变量之间的关系,启发学生自行探索,进一步体会数形结合思想的价值.同时关注学生思维的发现过程,给予机会让其充分表达,让同学们感悟到数学从生活中来,并应用于生活,是有价值的,从而积累研究经验,感悟模型的本质.

2.5.4 合作学习拓思维

自编一道一次函数应用题,并利用一次函数的相关性质进行求解.

自编题选择让学生互相评价,根据题目的层次性、合理性和综合性等给同桌的题目打分,并用恰当的方法进行求解,由出题者进行批改.

实施过程: 学生编题有困难时教师可以给学生半命题编题,采用分小组合作或者师生参与合作的方式,并进行启发和引导,对于在编题过程中出现的亮点教师要及时给予肯定和表扬,激发学生学习的愿望,让学生体会到成功的喜悦.

设计意图: 编题属于开放型作业,能有效巩固和拓展学生所学知识,提升学生对所学知识的理解和认识,有利于培养学生的创造思维.同时采用学生相互评价的方式,也利于发展学生的评价能力以及解决实际问题的能力.教育的艺术不止于传道、授业、解惑,更在于唤醒、激励和鼓舞,教师在教学的过程中要善于用发展的眼光去看待每一位学生,注重引导和激励,充分发挥评价的激励和引导功能,激发学生分析和创造的高阶思维能力.

2.6 自我评价、分享收获

设计意图: 旨在引导学生学会对所学知识点进行系统回顾,归纳总结,重在提高学生的归纳概括能力,语言表达能力,完善学生的知识结构.还可以启发学生画思维导图,帮助学生掌握函数的研究路径和方法,促进学生思维的可持续发展.

3 教学反思

3.1 问题驱动,点燃教学

问题导入环节,采用熟悉的生活场景,以问题驱动课堂教学,围绕问题规划教学内容,让学生围绕问题,结合所学知识点,寻求解决问题的方案,点燃学生学习探究的热情.

3.2 环环相扣,逐步铺开

在进行整体教学设计过程中,始终坚持以学生为主体的原则,并突出数形结合的数学思考.

学生探究环节,先通过独立思考,画草图分析,让学生直观分析形的变化,从而为推导一次函数的增减性做铺垫,再由形到数,通过观察数与形的内在联系,锻炼学生的抽象概括能力.

合作交流环节,分析归纳一次函数的性质,并将分类讨论、数形结合的思想贯穿于讨论全过程,让学生充分体会三种语言之间的转化.

整体教学流程的设计上要思路清晰,联系密切,逐层递进,逐步展开.

例题设计上要充分体现数形结合的思想,通过“比较大小、图解不等式、应用问题”等形式,层层深入,引导学生全面、深入地掌握一次函数的图象和性质,深化对函数本质的理解,提升学生综合分析的能力.

3.3 联系生活,突出应用

教学设计中,培养学生建立数学模型及应用模型的意识.除了通过数学建模的方法,利用一次函数的知识解决实际问题外,还设计了自编题环节,增强了学生学习的兴趣和积极性,并利用互评的方式进行评价,使学生的思维得到进一步提升,激发了高阶思维.这个环节需要给学生充足的时间进行编题、分析和评价、解决问题、优化问题,这实际上是一个再创造的过程,教师需要及时对学生提出的创造性问题进行肯定和表扬,对出现的错误进行分析引导,提升学生思维.

3.4 多维评价,引导提炼

自我评价、分享收获环节,鼓励学生用自己擅长的语言进行总结,对于能够多维度进行总结评价的学生要进行重点表扬,教师在此过程中要进行有效引导,帮助学生找到探究函数性质的有效路径,为后续反比例函数、二次函数、三角函数等的学习奠定基础.课堂小结让学生归纳属于高阶思维范畴,对学生和老师来讲,都是一种挑战,教师要学会宽容,接纳学生归纳时出现的不完整、跑题甚至错误,使得学生分析和评价的高阶能力得到充分锻炼.