数学运算视角下“二次根式”教学的探究与思考

励威

[摘  要] 作为数学核心能力之一的运算素养是落实数学核心素养的着眼点. 文章以“二次根式”教学为例，探究了在教学实践中落实运算素养的实践与思考.

[关键词] 初中数学;数学运算;二次根式

数学本質上是关于量及其运算的科学，而每个数学运算都蕴含着对运算算理、算法及算力的考量[1]，因此作为六大核心素养之一的数学运算在不同素养之间所占平均权重较大，几乎贯穿了整个初中数学教学过程，并且其运算能力的强弱直接影响着学生解题的信心和学习成绩的高低. 而在当前初中学生数学运算素养培养中，尽管进行了大量习题练习，但运算效果并不理想，运算失分往往成为制约学生成绩、影响学生学习信心的一个重要因素. 特别是对于内容抽象的“二次根式”而言，其概念、性质、化简与运算是后续解决二次函数、几何等综合类问题的基础，因此以“二次根式”教学为例，探究如何在教学实践中将运算素养落实到位，有效提升学生的数学运算素养具有重要的意义.

数学运算视角下“二次根式”优化教学探究

1. 理解运算对象，迁移所学知识

理解运算对象就是在化解、计算二次根式类题目时，首先要看清题目中的已知条件和所求问题，明确题目中包含着哪些隐含条件，并对一些重要的数据和条件做好标记，让学生通过“咬文嚼字”式的解读有效地解决运算对象理解不到位、理解表层化的现象. 其次，联想已学定理和法则，深度挖掘对象的实质，并从已学概念的定义出发，仔细观察运算题目的特点，选择合适的运算方法，有效减少运算量.

例如，在组织学生化简二次根式时，教师应引导学生明确该题目的已知条件是分子与分母之间的除法，并且分子、分母都含有根号，分母隐含着不是最简二次根式这一条件，所求问题是将进行化简. 在此基础上，要求学生联想二次根式化简的概念和步骤，充分利用·=a（a>0）这条二次根式性质将分子、分母分别同时乘，再进行开方、约分便可以将其化简. 但这种化简方式，不仅运算量较大，而且也容易出错. 如果教师引导学生联想到·=a（a>0），能够将无理数化为有理数. 仔细观察所计算式子的特点，按照“凑成”最近平方数的原则，将分子、分母分别同时乘一个较小的二次根式，便可以将化为有理数，从而能够快捷地获得该题化简后的结果，即为.

2. 充分暴露运算思维，体验探究过程

二次根式运算过程中难免会应用到众多的公式和定理，如果学生不能够灵活应用，那么难免会在解答选拔性综合试题时出现不知所措的现象. 因此，教师应在组织学生进行相关题目训练时，要求学生充分暴露自己的运算思维，包括运算过程中学生所犯的错误和所走的弯路;并且除了让学生明确怎么做之外，还要明确为什么这样做，这种运算方式是否具备一般性，等等，确实让学生“做中学”“做中思”.

例如，在计算（+）÷时，有部分学生注意到了数值运算之间的特征，按照“（+）÷=÷+÷”的方式获得了与标准答案一致的结果，但却有一部分学生以除法没有分配率为由对上述解题过程产生了质疑. 因此，教师应以此为主题，及时通过如下方式引导学生厘清算法和算理之间的关系，即除法分配率确实是不存在的，但可以将除法看作是乘法的逆运算，则可以将上述计算类比为（a+b）÷c=（a+b）×=a×+b×=a÷c+b÷c，从而消除部分学生产生的疑惑. 在此基础上，为了促使学生更加深入理解算理，教师还应及时呈现上述变式题目，要求学生阐述÷（+）=÷+÷这种解题过程的错误之处，从而有效培养学生严谨的求学精神，不断提高学生的运算素养.

3. 厘清运算结构，探索解题思路

不难发现，相当数量的学生在面对一些所谓的难题或数值较大的运算时，常常由于找不到问题突破口而产生放弃的思想：因此，教师在平时组织学生的解题训练中，还应抛弃“替学生思考”的想法，要最大限度地让学生自己探索和讨论解题思路，厘清运算结构，有效培养学生的运算素养.

例如，以算式×4÷为例，相当数量的学生会因为根号、分式较多而找不到解题的突破口. 因此，教师应引导学生通过整体换元的方式，将上述算式看作是a×c×÷（e×）;然后通过如下的方式，即a×c×÷（e×）=a××c×÷e÷=a×c÷e××÷=a×c÷e×（×÷）=a×c÷e×（），从而将原式简化为1×4÷×=12×==2. 显然，通过上述运算结构的认识，可以有效提高学生的数学运算素养.

4. 设计运算程序，选择合适的运算方法

由于运算思维的不同，其所采用的运算路径也会千差万别，并且当题目有多种解法时，运算方法的选择就会变得尤为重要. 因此，教师还应理性设计运算程序，注重法则的逆用、变形等应用，从而培养学生思维的灵活性和批判性，理解其所蕴含的数学思想[2].

例如，在组织学生计算-15+时，如果按照常规思维，则首先应将，分别化解成为3，，再通过二次根式的加减运算可得结果. 但这种计算方式仅是解决该题目的其中一种方式，并且该种解题方式也不利于学生对=a（a>0）这个二次根式性质的深度理解和应用. 因此，教师在充分明确学生做题思维的基础上，鼓励学生继续观察，并注重计算式子中，15这两个二次根式根号外面的和15这两个数，充分利用a=（a>0）这个逆用性质将和15这两个数导入根号里面，进而将上述式子变形为如下式子进行计算：-15+=-3·+=-3，从而有效减少了题目的运算量.

数学运算视角下二次根式教学的思考

1. 把握真实学情，重视对二次根式的计算教学

二次根式是初中数学运算中的一个制高点，在二次根式学习之前，学生已经熟练掌握了整式、分式等相关运算，但二次根式与整式、分式等运算有着不小的联系，如和4的数值相等，和3都包含着数3，但它们在本质上是有较大区别的. 若在具体教学实践中，将二次根式运算看作是诸多法则和性质在无理数范围之内的简单应用，则难免会出现生搬硬套的现象. 因此，教师应从内心深处加大对二次根式教学的重视程度，要将该部分内容讲清楚，通过其教学内容之“薄”看到其二次根式运算之“厚”.

2. 深入研究运算本质，走出思维惯常误区

纵观学生的二次根式错误运算实例，不难发现许多错误是由于学生对其二次根式运算性质、法则理解不到位所造成的. 因此，教师应组织学生深入研究二次根式运算的法则、性质，并结合典型例题，准确把握学生的理解所存在的思维障碍和疏漏，有效引导学生走出思维误区. 例如，面对类似=，=等计算出错的情况，教师应要求学生深思问题出错的原因，并掌握如下行之有效的方式：若“a+b”除以c，则应为（a+b）÷c=a÷c+b÷c;若“a×b”除以c，则应为（a×b）÷c==×b=×a. 显然，通过这种对比式学习，能有效促使学生走出思维误区.

3. 搭建思维“脚手架”，减轻学生运算负担

学生运算素养的培养离不开课后的解题训练，但对解题思维的优化往往集中在课堂教学之中. 因此，教师还应在课堂教学中，精心搭建思维“脚手架”，促使学生经历曲折的探究思考过程，从而实现具有突破性的创新，有效突破传统的“题海战术”的弊端，减轻学生的运算负担. 例如，在学习完“二次根式”内容之后，教师应以强化学生的运算素养为核心，及时组织学生对全章内容进行系统复习和运算总结，不断训练和优化学生的运算能力.

结语

总之，作为数学核心能力之一的运算素养是落实数学核心素养的着眼点[3]，运算素养的培养并不是一朝一夕就能完成的. 因此，在初中数学教学中，教师应避免无意义的机械训练和“题海战术”，真正把握真实学情，将教学的重心放置在运算对象、思维、结构以及运算方法等方面，并不断搭建思维“脚手架”，传授学生分析与解决问题的方法，形成条理化思考问题和解决问题的数学品质[4]，从而有效提高教学的有效性与针对性，促进学生的运算素养的形成与发展.

参考文献：

[1]郑国赞. 数学运算视角下直线与抛物线问题的研究[J]. 中学数学，2020（21）.

[2]徐舜. 浅谈初中生数学运算能力培养——以“二次根式”的教学为例[J]. 中学数学，2021（02）.

[3]郭志坚. 数学运算素养视角下的正弦定理教学[J]. 福建中学数学，2018（06）.

[4]李昌官. 数学运算素养及其培养[J]. 数学通讯，2019（18）.