“运算定律总复习”中的化解疑问教学

□吴培钢 顾佳旭

运算定律是小学计算教学中的一个重要内容，是简便计算的依据。“运算定律总复习”时要对小学阶段学过的运算定律进行系统的回顾与整理，同时就一些典型的简便计算进行复习。各版本教材在编排“运算定律总复习”这一内容时，都是只复习加法和乘法中五条运算定律的名称和字母公式，不涉及减法和除法，而在编排“简便计算总复习”时，却涵盖了加、减、乘、除四种运算。面对这样的运算定律总复习，学生会有什么疑问？带着这样的思考，课题组开展了实践研究。

一、问卷设计与意图解读

本次研究问卷设计如下。

1.下面这张表格是用来复习小学阶段学过的运算定律的。请你把表格填完整。

名称加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法分配律举例15+28=28+15用字母表示a+b=b+a

2.请仔细观察上表，认真地想一想，你有没有什么疑问？如果有，请大胆地写下来！

题1将人教版教材中关于运算定律总复习的表格直接呈现给学生，并明确提示这是用来复习小学阶段学过的运算定律的。本题的测试目的是唤起学生对于运算定律的已有认识，同时用题目告诉学生小学阶段学过的运算定律都在表格中了。题2进一步引导学生观察、思考表格中的运算定律，检测学生是否对运算定律中没有出现减法和除法存在疑问。

二、测试分析与疑问确定

（一）测试分析

测试在2所城镇小学和2所农村小学开展，每所学校各选择1个班，共计155人。通过对学生写下的疑问进行分类归并发现，学生对上述这样的运算定律总复习有10多种不同的疑问，如“运算定律一共有多少种”“运算定律有什么共同点”等等。并确实发现，学生对于运算定律中没有减法和除法存在疑问，且是所有疑问中最突出的，相关测试数据如表1、表2所示。

表1 疑问指向除法的统计表

表2 疑问指向减法的统计表

续表

（二）疑问确定

结合前测数据与现场对部分学生的访谈可知，学生对于运算定律中没有出现减法和除法的疑问，是基于自己所学与现在的复习进行对比之后产生的，是深刻思考的结果。故可将此确定为学生的疑问。

三、疑问分析与“化疑”实施

（一）疑问分析

1.教学价值分析

小学阶段一共教学了加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律五条运算定律，这五条运算定律被誉为“数学大厦的基石”。除此之外，在小学的简便计算过程中，还经常用到诸如a-b-c=a-（b+c）和a÷b÷c=a÷（b×c）这样的运算规律。教学中为了方便理解，很多教师给出减法性质和除法性质的名称。不过，也有教师对此有意见，因为教材上是没有这样的名称的，不知道这样可不可以。

为了弄清楚这个问题，课题组查阅了《数学辞海》，发现这样的名称是可以的。如《数学辞海》中有一个词条是“除法的性质”，其中的第一种便是“一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个数”，这不就是a÷b÷c=a÷（b×c）的逆运用吗？即a÷（b×c）=a÷b÷c。另外，人教版《教师教学用书》四年级下册在“运算定律”单元的解读中也有这样的表述，“研究数的运算，在给出运算的定义之后，最主要的基础工作就是研究该运算的性质”（P44），“‘做一做’第1题是对‘连续减去两个数，可以减去这两个数的和’的性质的形式认知”（P51）。

确认了“减法性质”和“除法性质”这样的名称是可以的，是不是就能解决学生的疑问呢？还不行，因为这又会引出一个新的问题：为什么加法和乘法中的叫“运算定律”，而减法和除法中的却叫“运算性质”？只有解决了这个问题，才能深度解决学生的疑问。那么，这到底是为什么呢？

以除法为例，首先，它的性质表现为多种形式，除了a÷（b×c）=a÷b÷c，还有a÷（b÷c）=a÷b×c、a÷b÷c=a÷c÷b等。因此，所谓的除法性质，实则为除法运算中一些恒等变形现象的总称，不像加法和乘法的运算定律那么唯一（在运算的各种性质中，最基本的几条性质，通常称为“运算定律”——人教版《教师教学用书》P44）；其次，仔细观察这些除法性质不难发现，其中涉及的运算都不是纯粹的除法，还有乘法，不像加法和乘法中的运算定律那样单一、清晰（乘法分配律完整的讲法是乘法对加法的分配律）；最后，除法性质中的一些规律，在小学的实际教学中常常会有一些贴切的“土名称”，如a×b÷c=a÷c×b被称为“带符号搬家”，这个名称与“交换律”有点雷同。仔细分析就会发现，这确实可理解为是同一种情况，因为除法可以转化成乘法，如a×b÷c=a÷c×b，如果用乘法表示即可见“带符号搬家”的本质就是“交换律”的运用。这就是说，除法中的性质可以用乘法的运算定律来解释，甚至可以理解为乘法运算定律的另一种表现形式而已（初中起，小学阶段的除法式子都可以转化成分数形式）。既然这样，就不需要再对除法中的某一个运算规律独立命名了，这也体现了数学追求的简洁性。除法如此，减法亦如此（初中起学习正负数运算之后，减法都可以转换成加法）。

因此，教材不给出“减法性质”和“除法性质”这样的名称，“运算定律总复习”时只聚焦加法和乘法，背后是有其数学道理的。

由此可见，如果引导学生理解了上述道理，就可以加深他们对运算定律的认识。这一点，在学生之前的学习中是不涉及的，在学生后续的学习中也很难再被提及。因此在六年级“运算定律总复习”时化解“为什么运算定律中没有减法和除法”这个疑问具有重要的教学价值。

2.可行性分析

“为什么运算定律中没有减法和除法”这个疑问能否在六年级的课堂上化解呢？实践发现，这有一定的难度，但总体是可行的。

有一定的难度，主要是因为小学生没有学习过负数的运算，除法中的一些性质用乘法运算定律来解释也有一定的麻烦，这给化解疑问带来了困难。总体是可行的，主要是指学生已经具备了将除法转化成乘法的能力，因此对于像“带符号搬家”等相对简单的除法性质，学生可以凭借自己的能力用乘法运算定律来解释。

由此形成了化解这一疑问的设想：先暴露学生的疑问，然后聚焦“运算定律”和“运算性质”这两个名称，以简单的除法性质为例，引导学生自己用乘法运算定律进行解释，逐渐拓展到比较复杂的除法性质，进而联想到减法也是这样的道理，从而化解疑问。

（二）“化疑”实施

考虑到很多教师在教学中给出了减法性质和除法性质这样的名称，因此化解疑问过程中将此作为一种常态现象来看待，即在引导学生提出“为什么运算定律没有减法和除法”之后，跟进呈现减法性质和除法性质，之后聚焦“运算定律”和“运算性质”，展开“为什么名称不一样”的讨论。

师：今天我们一起来进行运算定律的总复习。回忆一下，我们学过哪些运算定律？

学生回答加法和乘法中的五条运算定律，教师依次板书，得出字母表达式。

师：这就是我们学过的五条运算定律。来，仔细看一下黑板，想一想，你心里有没有什么疑问？

生：为什么没有减法和除法？

师：真的，好奇怪！运算定律中竟然没有减法和除法，你们心里有这样的疑问吗？

生（齐）：有！

师：这是什么原因呢？

生：因为减法中的叫减法性质，除法中的叫除法性质。

师：有减法性质和除法性质吗？

学生回答有的，于是教师板书这两个名称，并得出a-b-c=a-（b+c）和a÷b÷c=a÷（b×c）这两条性质，进一步引导得出a-b-c=a-c-b和a÷b÷c=a÷c÷b这两条性质。

师：现在请大家再来仔细观察黑板，想一想，此时你的心里有没有新的疑问产生呢？

生：为什么加法和乘法是“律”，而减法和除法是“性质”？

师：他的疑问你们听懂了没有？

学生纷纷表示听懂了。教师在“律”和“性质”下面画线，并用红色粉笔在旁边写了一个大大的“？”，以此引导所有学生直观看到这个疑问，之后用掌声表扬提出这个疑问的学生。

师：有谁知道为什么这些名称会不一样？

面对这个疑问，学生自然无人知晓。

师：老师告诉大家，你们的这个疑问可有意义了。因为在这个疑问里面，藏着运算定律和运算性质的重要联系。接下来我们就一起来研究一下。我们来看a÷b÷c=a÷c÷b，这条除法性质和前面的某条运算定律有着密切的联系，你们能不能看出来？

这个提醒一下子让很多学生举手了。

生：我觉得和乘法交换律有联系，因为除法可以转换成乘法。

师：是吗？我们试试看。

师：你们发现了什么？

生（齐）：就是乘法交换律。

师：真的就是乘法交换律（在两个式子中间写上“=”号）。将除法转化成乘法，这条除法性质可以用乘法交换律来解释（在黑板上用箭头示意）。那么，除法的这条性质a÷b÷c=a÷（b×c），会不会也和前面的某条运算定律有联系呢？

学生议论纷纷。教师组织学生先独立思考，再同桌交流，并提议可以把自己的想法像黑板上这样写一写。待学生讨论得差不多了，组织反馈。

师：老师帮你写下来。你觉得和哪条运算定律有联系？

生：和乘法结合律有联系。

师：这也就是说，你们现在发现，这条除法性质是可以用乘法结合律来解释的，是吗？老师现在有个问题，前面这样转换我看得懂，但后面a÷（b×c）转换成我有点看不懂了。

教师话音刚落，一些学生马上举手了。

生：把（b×c）看成一个整体，那么a÷（b×c）=a×

教师结合学生的说法，在黑板上跟进板书，和全班学生一起再次理解。

师：如此看来，这条除法性质，确实可以用乘法结合律来解释（在黑板上用箭头示意）。

师：除法性质我们用乘法的运算定律解释了，那么减法性质怎么解释呢？

学生说可以用加法的运算定律来解释。

师：你们的猜想完全正确。等大家到了初中，学习了正数和负数的运算之后就会发现，减法性质就可以用加法的运算定律来解释。既然这样，这些运算性质就不用再单独给运算定律的名称了，而是统称为减法性质和除法性质。

……

至此，本课化解疑问的教学完成。后续，可让学生根据所学，列举出一些不同的减法性质和除法性质的题目，进一步感受运算性质的多样性和运算定律的唯一性、基础性。