“三角形分类”中的化解疑问教学

2021-09-30张红勤张小燕

教学月刊(小学版) 2021年26期

□张红勤张小燕

对三角形进行分类是进一步认识三角形的方法。三角形按角的特征可以分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形；按边的特征可以分为等腰三角形（包括等边三角形）和不等腰三角形。人教版教材通过安排学生操作，在按角分类中认识直角三角形、钝角三角形和锐角三角形的特征和名称，并用集合图对这3类三角形进行表征。认识等边三角形和等腰三角形则通过观察边的特征来实现。

分析发现，教材只给出了这些三角形的名称，而没有给出其定义。不过在实际教学中，教师一般会对按角分类的3种三角形给出“口头定义”，如“有1个角是直角的三角形叫作直角三角形”。那么，学生对于按角分类得到的3种三角形的名称以及这样的“口头定义”会有疑问吗？课题组开展了本次化解疑问教学的实践研究。

一、问卷设计与意图解读

问卷只针对按角分类的三角形进行调查，分为3个板块。

第一板块：

三角形有3个角，有3条边。给三角形分类，可以按角的特征分，也可以按边的特征分。如果按角的特征对三角形进行分类，可以根据三角形的3个角分别是什么角来分。

图1中有7个三角形，按角分类，可以分成3类。第一类：②⑦，3个角，1个是直角，2个是锐角，这类三角形叫作直角三角形。第二类：③⑥，3个角，1个是钝角，2个是锐角，这类三角形叫作钝角三角形。第三类：①④⑤，3个角，都是锐角，这类三角形叫作锐角三角形。

图1

第二板块：

直角三角形、钝角三角形、锐角三角形是这3类三角形的名称，《数学辞海》中是这样定义它们的：直角三角形指有1个角是直角的三角形；钝角三角形指有1个角是钝角的三角形；锐角三角形指3个角是锐角的三角形。

第三板块：

当你仔细阅读完上面关于“三角形的分类”的材料之后，心中有什么疑问吗？想一想，把你的疑问大胆地写下来吧！

问卷首先呈现7个三角形，接着将7个三角形按角的特征分成3类，详细介绍了每类三角形的特征和名称，这与一般的教学流程一致，目的是让学生清晰地认识这3类三角形，然后给出《数学辞海》中对这3类三角形的数学定义，目的是让学生认识到这样的定义是规范科学的，最后让学生在对上述内容进行阅读和思考的基础上，写下自己内心的疑问，目的是看看学生对这样的分类、取名、定义会存在什么疑问。

二、测试分析与疑问确定

（一）测试分析

测试在2个班级共81名学生中展开，通过对学生写下的疑问进行分类归并，去掉与本节课内容无关的疑问，发现学生对三角形按角分类的疑问主要有以下3种。

（1）对3类三角形的名称存在疑问。有19人提出了此种疑问，占测试总人数的23.5%。典型表述如下：

（2）对3类三角形的定义存在疑问。有11人提出了此种疑问，占测试总人数的13.6%。典型表述如下：

（3）对三角形的类别存在疑问。有23人提出了此种疑问，占测试总人数的28.4%。典型表述如下：

（二）疑问确定

深入分析上述3种不同指向的学生疑问后不难发现，这些疑问虽看上去不一样，但疑问的本质是一致的。如“直角三角形有2个锐角，为什么不叫锐角三角形”，学生是从角的类型的数量上考虑三角形的名称，其实就是对三角形角的本质属性存在疑问；又如“为什么直角和钝角只要1个就好了，锐角却要3个”“有没有1个角是锐角，1个角是直角，1个角是钝角的三角形呢”，同样是学生对三角形角的本质属性存在疑问。

看来，仅通过按角分类得出3类三角形的名称及定义，学生对这样获得的数学结论是存在疑问的。因此，在“三角形分类”的教学中，可将“三角形按角分类为什么这样取名和定义”确定为学生疑问。

三、疑问分析与“化疑”实施

（一）疑问分析

1.教学价值分析

三角形的3个角有3种情况：3个锐角，1个直角+2个锐角，1个钝角+2个锐角。也就是说，任何一个三角形至少有2个锐角。可见，仅从数量上讲，有2个锐角是三角形的共同属性，而非某一个三角形的本质属性。因此，有1个直角、有1个钝角才是这类三角形的本质属性，故用直角三角形、钝角三角形取名及定义时只讲1个直角、1个钝角，是抓住了这类三角形的本质属性，是科学的、简洁的。当然，锐角三角形则必须说全3个锐角。也有这样的方法，可以用三角形中的最大角来取名，如最大角是直角就是直角三角形，不难发现，这其实也是抓住了一个三角形中最多只有1个直角这一本质属性，当最大角是锐角时，即3个角都是锐角。

那么，学生为什么会对按角分类的取名和定义有疑问呢？这是因为，学生刚开始认识这3类三角形时，对三角形3个角的各种组合是不明白的，即对三角形角的本质属性不了解。因此，学生会认为要说全3个角分别是什么角才能把这个三角形的特征说清楚。由此，就造成学生对3类三角形的取名和定义心存疑问，甚至认为还有别的三角形。

显然，在探究“为什么直角和钝角只要1个就好了，锐角却要3个”这样的疑问时，自然会触及三角形角的本质属性。正视学生的这些疑问，在学生的疑问处开展教学，直击按角分类的3类三角形的本质属性，实现更为深刻的理解。

2.可行性分析

也许有教师会想，当学生学过三角形的内角和是180°之后，自然能清楚一个三角形中最多只能有1个直角或1个钝角。但“三角形内角和”教学中牵连的这个问题，更多指向对180°的运用，而非对三角形角的本质属性的解读，因此对于化解学生疑问而言，效果会不明显。特别是，即使学生没有学过三角形的内角和是180°，化解“三角形按角分类为什么这样取名和定义”这个疑问也是可行的，即可以让学生通过画图的方式，借助几何直观理解各种三角形3个角的特征，进而认识三角形角的本质属性。而且，这样的操作活动正是学生在头脑中构建三角形的过程，是培养空间观念的好时机和好手段。

由此，形成化解这个疑问的设想：先让学生按角的特征对7个三角形进行分类，然后观察并描述3类三角形的特征并取名，接着呈现3类三角形的定义，引发学生认知冲突，暴露学生的疑问，最后进行探究化解。