不同版本高中数学教材中空间距离内容的比较研究

【摘 要】 《普通高中数学课程标准》（2017年版）增加了空间距离的内容，如何教成为教师面临的新问题. 现有文献中，都是介绍用多种方法求解具体空间距离问题的，几乎没有关于如何教空间距离的文章. 于是教材成为一线教师重要的教学资源. 从编排顺序、引入方式、空间距离公式推导、例题配比等方面对2020年人教A版《数学》、2020年人教B版《数学》、2020年北师大版《数学》教材中关于空间距离内容进行比较研究，最后对空间距离的教学提出具体建议.【关键词】 空间距离;教材比较;投影向量;自然发生

1 问题的提出

距离是一种非常重要的几何度量，是培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养的很好的载体.《普通高中数学课程标准》（2017年版）增加了空间距离的有关内容，“能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.”[1]对于新增加的空间距离应该如何教、如何学呢？

通过知网查阅相关文献，发现中学数学教师的文章都是介绍用多种方法求解具体空间距离（特别是点到平面距离）问题，而关于点到平面距离公式推导方法的文章都出自高等院校，而且都是用高等数学的方法进行推导，对高中教学几乎没有参考价值.几乎没有关于在中学如何教空间距离的文章.

于是教材成为一线教师重要的教学资源.本文对2020年人教A版《数学》、2020年人教B版《数学》、2020年北师大版《数学》教材中关于空间距离内容进行比较研究，并对空间距离的教学提出建议.

2 三个版本教材的比较

2.1 编排顺序的比较

平面解析几何、空间向量与立体几何是高中数学几何与代数主题的重要内容，三个版本教材都将平面解析几何、空间向量与立体几何安排在选择性必修第一册.人教A版、人教B版教材都是先学习空间向量与立体几何，后学习平面解析几何;而北师大版教材是先学习平面解析几何，后学习空间向量与立体几何，而且在平面解析几何中推导点到直线距离公式时，用的就是向量法.

人教A版教材中，空间距离安排在空间夹角之前，先学习点到直线距离，再学习点到平面距离.

人教B版教材中，空间距离安排在空间夹角之后，按照两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、相互平行的直线之间、相互平行的平面与平面之间的距离的顺序学习.

北师大版教材中，空间距离安排在空间夹角之后，先学习点到平面距离，后学习点到直线距离.

2.2 引入方式的比较

人教A版教材直接提出问题：“我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等，如何用空间向量解决这些距离问题呢？”[2]

人教B版教材在“情境与问题”栏目中，列举生活中的几个与“距离”有关的实际情境.提出问题：“到目前为止，你学习了哪些平面内的距离，这些距离定义有什么共同点？你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有的性质吗？”教材回顾已经学过的距离的定义，概括出“这些距离都可以归结为点与点的距离，而且是所有的点与点之间最短连线的长度.空间中任意两个图形之间的距离也具有类似的性质，此距离要小于等于两个端点分别在这两个图形上的线段长.”[3]

北师大版教材首先给出距离的一般概念：“几何学中，经常需要计算两个图形间的距离，一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离.”[4]然后提出问题：“计算距离是空间度量最基本的问题，如何用向量方法求解这些距离呢？”接着回顾平面内点到直线距离的几种求解方法，即综合几何法、解析几何法、平面向量法.指出“所有距离都可以概括为垂线段的长度.垂直反映了距离的本质，用向量方法求解距离，也要抓住这一点，法向量是反映垂直方向的最为直观的表达形式，因此可以通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离.”

可见，人教A版和北师大版教材在引入环节就明确了用向量法解决距离问题，其中北师大版教材还进一步明确通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离，人教B版教材没有明确用什么方法来求解距离.人教B版和北师大版教材都给出了空间两个图形之间距离的概念.

2.3 空间距离公式推导方法的比较

2.3.1点到直线距离公式的推导方法

方法1 如图1，已知直线l的方向向量为u，A为直线l外一点，B为直线l上的已知点，向量BA′是向量BA在u上的投影向量，则BA′=BA·uu，点A，B为已知，则AB可求，在Rt△ABA′中，由勾股定理，得，AA′=BA2-BA′2=BA2-BA·uu2

方法2 如图2，P为直线AB外一点，在直线AB上取一点Q，

令AQ=λQB，通过PQ⊥AB求得参数λ，以确定Q的位置，则PQ即为点P到直线AB的距離.

方法3 如图3，P为直线l外一点，u0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，对于直线l上任意一点Q，总存在实数λ，使得AQ=λu0，于是PQ=PA+AQ=PA+λu0，

PQ2=PA2+λ2+2λPA·u0，当λ=-PA·u0时，PQ2最小，最小值为PA2-PA·u02.

所以点P到直线l的距离为PA2-PA·u02.

2.3.2 点到平面距离公式的推导方法

如图4，已知平面α的法向量为n，B是α内的已知点，A是α外一点，过点A作平面α的垂线，垂足为点A′，点A到

平面α的距离就是BA在法向量n上的投影向量A′A的模，因此AA′=BA·nn=BA·nn.

在点到直线距离公式的推导中，人教A版和北师大版教材用的是方法1，人教B版用的是方法2，北师大版教材还提供了方法3供学有余力的学生参考.方法1利用向量投影求解距离主要是运用距离的几何属性，方法3利用距离的最小性求解则主要是运用代数方法.在点到平面距离公式的推导中，三个版本教材的方法是完全一样的，都利用向量投影求解距离.

2.4 例题数量和内容的比较

人教A版教材仅有一个例题，以正方体为载体，求点到直线、直线到平面的距离.然后总结得到用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题;（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题;（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.

人教B版教材有四道例题.例1是以平行六面体为载体，求对角线的长（两点间的距离），由于几何体相对复杂，教材没有建立空间直角坐标系，而是将相关向量用一组基底表示，运用向量的一般运算求解，充分体现了向量在解决较为复杂的立体几何问题时的便利性和应用的广泛性.紧跟着教材有一段话：“例1也可以不借助向量而通过构造三角形来求解，请读者自行尝试，并分别总结出不同解法的一般步骤和联系.”例2是以正方体为载体，求点到直线的距离.在空间直角坐标系内，利用向量工具，先求出垂足的坐标，将点到直线距离转化为两点之间的距离.例3是以四棱锥为载体，求点到平面的距离，利用距离公式求解.例4是以正方体为载体，求直线与平面的距离.

北师大版教材有四个例题.例1是以正方体为载体，求点到平面的距离.例2是以正方体为载体，求直线到平面的距离;例3是利用点到平面距离定义解决问题，综合运用向量的知识，有一定难度.教材总结出用向量方法求点到平面距离问题的一般步骤：（1）确定法向量;（2）选择参考向量;（3）确定参考向量在法向量方向上的投影向量;（4）求投影向量的长度.例4是以长方体为载体，求点到直线的距离.

综上所述，三个版本教材都很好地落实了课标理念，又反映出明显的版本特色.在编排顺序上，北师大版教材将平面解析几何安排在立体几何之前，符合学生认知发展规律，先学二维空间后学三维空间，同时平面几何中用向量法推导点到直线距离又为空间距离学习做好了方法的准备;人教B版教材先学习立体几何，是为了必修课程与选择性必修课程的自然衔接（必修课程中最后一个内容是立体几何初步），保证立体几何学习的完整性.在空间距离处理上，北师大版和人教A版教材更突出向量法，注重方法的一致性，强调通性通法，学习主线清晰明确;而人教B版教材，更突出方法的多样性、选择性，引导学生从不同角度看待和解决问题.北师大版和人教A版教材在正文中都给出了用向量法（投影向量）求点到平面、点到直线距离的一般方法和基本步骤，人教B版教材正文中没有给出用向量法（投影向量）求空间距离的基本步骤，只是提醒学习者自己整理，特别是人教B版教材正文中没有介绍利用投影向量求点到直线距離的方法.

3 教学建议

3.1 加强对不同版本教材的比较研究，体会编写意图，开阔视野，提高对数学本质的理解.结合学生实际，灵活处理教材，合理参考其他版本教材，真正做到用教材教，而不是教教材.

3.2 建议三个版本教材在练习、习题中适当增加有实际背景的题目，让学生感受数学的应用价值.人教A版和北师大版可以“鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合几何方法，从不同角度解决空间距离问题，通过对比体会向量方法的优势”;对于人教B版教材强烈建议增加用投影向量法研究点到直线距离的内容，归纳出用向量研究空间距离的一般步骤，强调通性通法.

3.3 空间距离的教学建议（以人教B版教材为例）

三个版本教材中点到平面距离公式的推导都是利用投影向量的方法，非常简短，既反映了距离的本质，也体现了数学的简洁美.但是，笔者认为对于学习者来说不太自然，非常突兀.在已经进行的一轮教学实践中，绝大部分教师就是按照教材提供的方式来教学，学生能接受，而且能套用公式解决简单问题.但是在对学生进行访谈时发现学生只注重套公式解决求距离问题，把立体几何简单地理解为“算的几何”，对公式推导中的数学逻辑、思想方法等没有深刻理解.

笔者发现，在学习用向量法推导点到平面距离的过程中，学生有两点困惑，一是在研究距离时为什么要在平面上任取一点，二是怎么想到将距离和投影向量建立联系（学生对投影向量的认识不太深刻）.为了突破这两个难点，笔者建议通过设计一系列问题或任务展开学习，为学生提供独立思考、合作交流的空间，让学习自然地发生.

图5

首先让学生画出点到平面距离的基本图形（图5），明确学习任务是用向量法求点到平面的距离.

问题1 如何用向量语言描述已知条件和所要解决的问题？

不同层次的学生会给出不同的回答：

学生1：已知平面α和点A，求线段AA′的长;

学生2：已知平面α的法向量和点A的坐标，求线段AA′的长;

学生3：已知平面α的法向量和点A的坐标，求向量A′A的模;

（如果学生没有提前预习教材，一般只能达到这个程度.）

教师可以提示或追问：点A可由其坐标唯一确定，平面α能由其法向量唯一确定吗？

学生4：不能.平面α由它的法向量和α上一点唯一确定.在平面α上任取一点B，现在的问题就是，已知点A，B的坐标和平面α的法向量，求向量A′A的模（图4）.

到此，已知条件才算找足，才达到教材中研究问题的思维起点.

有些学生可能会有疑问，为什么求空间夹角时只用平面的法向量，而求空间距离时要在平面上取一点呢？建议在章节复习课中进行探讨或解释说明.空间夹角、空间距离的本质是用角度、距离来定量刻画线面的位置关系.角度是度量两个方向差异的量[5]，刻画空间夹角时，方向是基本要素.于是直线的方向向量和平面的法向量，就具有很重要的基础性地位.距离是度量两个位置差异的量，在研究空间距离时必须明确是哪一条直线、哪一个平面.所以在研究距离问题时，除了直线的方向向量、平面的法向量外，还需要在直线上、在平面上任取一点.问题2 如何利用向量工具求点到平面的距离呢？

已知点A、B的坐标和平面α的法向量n（图4），在△ABA′中，AB可求，利用直线AB的方向向量和平面α的法向量可求cos∠BAA′=BA·nBA·n，再利用三角函数求出AA′.

AA′=BAcos∠BAA′=BA·BA·nBA·n

=BA·nn.

这是学生比较自然能想到的方法，到此已经得到点到平面的距离公式.但是思考还没有结束.

《普通高中数学课程标准》（2017年版）增加了“了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义”的内容.《课标》还指出“除了两点之间的距离，垂直反映了距离的本质，法向量是反映垂直方向的最为直观的表达形式，法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几何图形直观，又提供了代数定量刻画，因此利用法向量和投影向量可以研究距离问题.”[1]

那么，该如何比较自然地与投影向量建立联系呢？笔者建议可以通过以下两种方法.

方法1 教师引导学生对上述结果进行再认识（这种处理办法在高中数学教材中多次用到），

即对公式进行适当变形，得到AA′=BA·nn=BA·nn，而nn是单位向量，回忆一个向量与一个单位向量的数量积的几何意义，就可以从投影向量的角度解释公式.

方法2 教师引导学生观察基本图形（图4），分析BA，n，A′A， 这三个向量之间的关系.从图中发现AA′⊥BA′，所以A′A是BA在法向量n上的投影向量.A′A的数量就等于BA与单位法向量的数量积（单位法向量为nn），向量A′A的模就是点A到平面α的距离.

即 AA′=BA·nn=BA·nn.

问题3：能用类似的方法求点到直线的距离吗？

学生可以通过类比进行独立探究，在探究过程中，会遇到一个新问题，直线的法向量不易得到，需要进行调整.在直线l上任取一点B，于是点A、B的坐标和直线l的方向向量u是已知的（图1），向量BA′是向量BA在u上的投影向量， 则 BA′=BA·uu.

再由勾股定理，得到AA′=BA2-BA′2=BA2-BA·uu2.

总之，教材为“教”與“学”活动提供了基本线索和具体内容，是实现数学课程目标、发展学生数学核心素养的重要教学资源.教师应深入研究教材，灵活使用教材.激活学生已有的知识储备、活动经验，为学生提供独立思考、合作交流的空间，让学习在课堂自然地发生.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：43;138.

[2] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.

普通高中教科书·数学选择性必修第一册（A版）[M].北京：人民教育出版社，2020：33-35.

[3] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学教材实验研究组.

普通高中教科书·数学选择性必修第一册（B版）[M].北京：人民教育出版社，2020：52-58.

[4] 普通高中教科书·数学选择性必修第一册[M].北京：北京师范大学出版社，2020：131-136.

[5] 章建跃.章建跃数学教育随想录上卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017：435.

作者简介 刘雪明（1969—），女，北京房山人，高级教师，北京市骨干教师.北京市房山区教师进修学校高中数学教研员，主要从事中学数学教学研究与考试评价工作.