以“弧度制”为例浅谈概念的引入

吴星云　李三平

【摘要】概念的引入方式对学生概念的获得具有一定的影响。本文以“弧度制”概念的引入为例，通过对三种教材中关于“弧度制”概念的引入方式、素材选择以及概念定义方式等的探讨，在概念引入方面获得了一些重要的启示。

【关键词】弧度制；概念；引入；教材比较

【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）28-0152-02

一、问题的提出

“弧度制”是北师大版《高中数学必修4》第一章第三节的内容[1]，本节课的教学目标主要包括：了解弧度制的概念，体会弧度是度量角度的一种方式，能够进行弧度与角度的转化，能够掌握弧度制下扇形的弧长公式、面积公式并灵活运用几个公式；同时要求学生理解角与实数集之间一一对应的关系。根据教材的安排，学生已经学习了周期性、角的概念的推广，即将学习诱导公式以及三角函数的图像与性质。由此可见，本节内容是学习三角函数的起点，在课程结构中具有“承上启下”的作用。

对“弧度制”概念的引入进行探讨，主要有以下原因：第一，从学生学习的角度来看，本节课学生只要知道“ ”这个事实，就能够完成弧度与角度的互化，只要记住弧长、面积公式就能解题。但是，关于概念的引入，为什么要用弧度制来表示角度却没有太多的解释。在初中阶段，学生已經学习过角度制来度量角的大小，而现在又要用弧长所对圆心角的大小去刻画角的大小，这对学生来说有一定的困难。根据学生的认知规律，像“弧度制”这样在生活中没有接触过的概念，若直接给出定义，学生是不容易接受的。第二，从教师的角度（尤其是新任教师）来说，本节课是概念课，关于概念的引入，教材所给的素材不够丰富，弧度制概念似乎有些突兀，而且不易找到与弧度制理想的知识结合点和技能生长点[2]，在引入概念时不易找到恰当的方法。因此，我们认为有必要对“弧度制”这节课概念的引入进行探讨。

二、北师大版教材、人教版教材、美国天才教育教材的对比

我们知道，教材是实现课程目标、实施教学的重要资源，教材又是学生获取知识的主要来源和教师教学的主要依据[3]。所以，通过比较北师大版教材、人教版教材、美国天才教育教材关于该课题的引入，从中得到一些启发。因为中美两国作为中西方文化的代表，近年来有许多研究人员从各个层面对中美两国教育进行比较研究，与美国教材作对比，希望能对中国教材的编写提供借鉴。

我们主要从三个方面对三种版本的教材进行比较，即概念引入的方式、素材的选择、概念定义方式[4]。需要说明的是，本文主要研究弧度制概念的引入问题，而弧度制就是一种用弧度来度量角的单位制，所以，对弧度制引入的研究，关键是对“1弧度角”定义的研究。下面给出三种教材的比较。

可以看出，从概念引入的方式来说，人教版教材与北师大版教材都由不同单位制指出角的另一种度量方式。人教版教材直接给出了“1弧度”的定义，学生对这样突兀的概念是很难理解的。而北师大版通过大量铺垫（复习初中学习过的弧长公式，观察表格，让学生理解“圆心角一定时，弧长与半径的比值是一定值”），引入了弧度数这一概念，进而给出了“1弧度”的定义。美国天才教育教材却是以相关数学史入手，引出角的另一种度量方式，并且由学生自己计算进行探究，得到弧度与角度互化的公式。由此可见，美国天才教育教材所选用的素材涉及的知识更广泛，学生可以通过对本知识的学习了解更多的课外知识，增长的见识，有助于帮助学生学会“有用的数学”[5]。

从素材的选择来看，人教版教材在介绍了概念之后，强调单位圆中长度为1的弧长所对的圆心角即为1弧度的角，并且给出了对应的几何图形，这似乎更加直观的刻画了1弧度角的大小，并且对后续课程单位圆的使用进行了铺垫。北师大教材也使用了同样的刻画方式，不同的是，北师大版教材先通过观察半径不同的同心圆，及给出的弧长与半径关系的表格，得到弧长与半径之比为常数，并将这一常数称为该角的弧度数，从而得到了相应的概念。美国天才教育教材与北师大版教材类似，通过填写角度、半径、弧长、弧度的关系引出弧度的概念，但是美国教材在素材的选择上更能引起学生的兴趣——选择相关的数学史材料，并且更能体现学生的探究活动。这一点，在我国的两种常用版本的教材中并没有体现。

从概念定义方式来看，美国天才教育教材并没有给出1弧度角的概念。与我国的两种教材相比，人教版教材的定义更具有普遍意义，北师大版只是在单位圆中定义了1弧度角，这可能会让学生产生疑问“为什么一定要在单位圆中？”“是不是离开了单位圆这样的定义就没有意义了呢？”

通过比较分析，我们不难发现，美国天才教育教材更加强调知识获得的过程，引导学生有充分的空间进行探索，有利于学生进行观察、猜测、推理，对概念的定义没有过多的叙述。而且，美国天才教育教材的素材也是比较丰富的，并与其他知识结合，有助于激发学生的学习兴趣。北师大版教材在概念引入时作了更多的铺垫，更加强调知识的本质，所选择的素材也是多样的，而人教版教材只是给出了概念的定义。

三、启示与思考

《普通高中数学课程标准（实验稿）》提出，课程内容的呈现方式，应注意反映数学发展的规律，以及学生的认知规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。教材在概念引入时，应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学发现和创造过程，了解知识的来龙去脉[6]。

1.把概念引入建立在学生已有的知识基础上

张奠宙教授指出：“概念引入，它不同于一般的课题引入（也就是通常意义上的课堂导入）。概念引入是站在‘学的立场上考虑，以学生为主体，为学生提供学习环境，让学生处于一种问题情境中，促使学生自主去分析、比较、综合、抽象出概念”[7]。概念的引入，不仅要从具体的实例出发突现数学知识的发生过程，更重要的是要让学生从中能够发现问题、提出问题，体会数学概念的本质，感受概念探究发现的过程。在概念引入的过程中，教师应充分考虑学生的认知过程和规律，体现由抽象到具体，再由具体到抽象的这一过程。也就是说，在引入概念的时候要以学生已有的知识水平为基础引入概念，再由学生自己抽象概括出新的概念。

2.对教材的重构与把握

从教的角度来说，概念教学是教学的基本任务之一，和概念学习一样，概念教学离不开思考。传统意义下的概念教学常常是枯燥乏味，学生也只是记住了概念，但是不注重概念的理解。所以，教师在进行教学设计时，应该广泛阅读文献资料，结合不同版本的教材（有条件的可以参考国外学校的教材或教学参考书），对教材内容进行整合与归纳，在理解的基础上，对教材的内容进行重构，把握概念的内涵与外延，丰富教学素材。

3.数学文化的渗透

新一轮的基础教育课程改革，倡导数学文化的教育教学价值，数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势。像“弧度制”这一课程内容，可以结合美国天才教育教材的编排方式，在概念引入时增加有关的数学史知识，这样将有助于提高学生的学习兴趣与学习热情。不仅如此，在很多的数学课程中都可以与数学史的内容结合起来，比如：函数的概念、微积分、平面解析几何的产生等知识，都可以将数学文化渗透其中。

四、结束语

在概念教学中，关于概念引入的问题，我们应建立在学生已有的知识基础上，引导学生进行概念学习，体会概念学习的过程。同时，概念教学是需要教师反复思考与探究的过程，以教材为依托，而不受到教材的束缚，以教材为出发点，加入自己的理解与思考。

参考文献：

[1]严士健，王尚志主编.《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》[M].北京：北京师范大学出版社，2007

[2]高敏.課例：弧度制[J].中学数学教学参考（上旬），2015.04：16-18

[3]胡晓婷.高中数学教材中三角函数内容的比较研究[D].首都师范大学，2011

[4]张潇潇.基于概念引入的高中数学教材比较研究[D].首都师范大学，2013

[5]张笑谦，胡典顺.澳大利亚VCE课程与人教版高中数学教材平面向量章节的比较与思考[J]数学通报，2013.10：22-27

[6]中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准（实验稿）》[M].北京：北京师范大学出版社，2011

[7]张潇潇.基于概念引入的高中数学教材比较研究[D].首都师范大学，2013

作者简介：

吴星云（1991.12-），女，陕西西安，陕西师范大学数学与信息科学学院，2014级课程与教学论专业，研究方向：数学教育。

李三平（1962-），男，陕西西安，陕西师范大学数学与信息科学学院，副教授。主要研究方向数学教育，中学数学与高等数学等。