构造“二次”是关键 寻找“关系”是根本

董荣森 李萍

【摘 要】 圆锥曲线中有关直线恒过定点问题是近几年全国高考数学的热点与难点，由于这类题能够较好地考查学生的数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养，所以受到命题者的青睐.解决这类问题常规方法往往思路清晰但运算繁琐，在短时间内学生很难完成从而失分.针对这个问题，本文研究了以椭圆为背景类似“手电筒”模型中直线恒过定点问题，除了常规方法外，介绍另外两种方法.

【关键词】 “手电筒”模型;二次齐次式;定点问题

1 研究背景

圆锥曲线中有关直线恒过定点问题是近年全国高考的一个热点和难点.以抛物线、椭圆为背景的有关直线恒过定点问题，往往作为高考压轴题出现，如2017年高考全国Ⅰ卷第20题、2020年高考全国Ⅰ卷第20题、2020年新高考山东卷第22题等，都涉及到有关证明直线恒过定点问题，其背后都有着一脉相承与本质的东西.这类解答题能够较好地考查学生的数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.解决这类题常规方法是设出直线方程（含有两个参变量），联立方程组结合已知条件寻找两个参变量之间的关系，回代直线方程进而求出定点，该方法思路清晰但运算繁琐.除了这种方法外，有没有更好的方法或解决此类问题更好的方案呢？本专题以椭圆为背景，着重研究类似“手电筒”模型中有关直线恒过定点问题，培养学生的创新意识与创新思维，发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养[1].

2 选题意图

真题探究中的例题是2017年高考全国Ⅰ卷第20题，将椭圆与直线的有关知识相结合，其目的让学生学会运用“二次齐次法”和“二次联立法”处理圆锥曲线中有关直线恒过定点问题;借题发挥中的例题是2020年高考全国Ⅰ卷第20题，选择的目的是让学生学会通过转化，运用“二次齐次法”和“二次联立法”解决问题;思维拓展中的例题是2020年新高考山东卷第22题，选择的目的是帮助同学们领会这道高考解析几何题背后本质的东西.

通过本专题中问题的分析与讲解，让学生能根据试题条件与图形结构特征合理地设出直线的方程（引入两个参变量），通过对圆锥曲线方程进行等价转化与变形，从而构造二次齐次式，再运用韦达定理寻找两个参变量之间的关系，培养学生的创新意识和创新思维，提升学生分析问题、解决问题的能力，有助于发展学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

总之，解析几何是数学综合性非常强也是比较难的教学模块，教学中我们要立足问题解决的全过程，发展学生的“四能”[2].由于大部分高考解析几何题有多种解法，引入参数不同，运用参数不同，其运算的繁简程度也会不同.以椭圆为背景的类似“手电筒”模型中直线恒过定点问题，运用“二次法”来解决，其关键是构造“二次”，根本是由斜率关系利用韦达定理来寻找两参变量“关系”，有时两直线斜率关系不明显，需要我们进行探寻与转化.要成功解决这类综合问题不仅需要扎实“四基”即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，还需要高品质的数学学科核心素养，如数学运算、数学抽象等，更需要灵活的数学思维、关键能力和永不言败、坚持到底的拼搏精神.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.1.

[2] 史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.5：66.

作者简介 董荣森（1969—），男，安徽蕪湖人，教育硕士，中学正高级教师，江苏省特级教师，江苏省教学名师，江苏省“333高层次人才”培养对象，主要从事数学教育与中学数学课堂教学研究.