以退为进 把握本质

【摘 要】 借助以退为进的思想对试题的解法、思路进行分析，把复杂问题退到简单问题，退到学生最容易看清楚的地方，经历感受、体验的探究过程，让学生看清问题的本质，从而顺利解决问题.

【关键词】 以退为进;把握本质

1 提出问题

设数列{an}的通项公式为an=2n-13n，问：在数列{an}中，是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项;若不存在，请说明理由.

这是一道典型的数列“整数解”问题，作为本校模拟考试压轴题的最后一问，得分率很低，全班只有两位同学用特殊值验证出一组解.在试卷评讲前，笔者进行了广泛调研，对于“数列{an}中是否存在三项”，大部分学生都有基本思路，即设存在三项ap，aq，ar构成等差数列.学生的困惑主要表現在：三项之间的大小关系如何确定？还是讨论三种情况？即列出2ap=aq+ar或2aq=ap+ar或2ar=ap+aq后无法确定具体的研究目标，有几位学生为研究问题的方便，设p>q>r，但没有意识去求数列的单调性，导致得不到ap，aq，ar的大小关系，也只能凭直觉列出等式2（2q-1）3q=2p-13p+2r-13r而束手无策.为什么学生想不到运用数列的单调性处理所列出的等式呢？

2 教学分析

若让学生求数列{an}的单调性，则大多数学生能完成，但在具体问题中，学生却想不到运用单调性.究其原因是未能深刻理解问题的本质.学生列出等式2ap=aq+ar后，不能认识到这是不定方程的求解，整数p，q，r不能直接解出.其实，可借助数列的单调性“限值”将等式转化为不等式，然后“逼出”整数p，q，r的值.

怎样让学生接受这样的处理方法呢？直接评讲，学生虽然能听懂，但再次遇到类似问题，也许仍然束手无策.只有让学生多体验感受、多探究思考，学生才能吃透方法的本质，方能灵活运用.站在学生的角度看，这道压轴题确实不简单，可以采用“以退为进”的教学手段，从简单问题人手.学生愿意思考，愿意跟着教师逐步深入，从而自然而然地解决问题.在探究过程中，学生也能体验到思考的乐趣，更容易认识问题的本质.

3 教学过程

针对以上教学分析，笔者就这道数列题，立足学生已有的知识经验，从简单问题入手，通过问题设计，将思维活动引向纵深，找到问题的本质，力图达到精讲一题，通晓一类的效果.

3.1 以退为进

问题1：同学们，这次考试的数列压轴题有一定难度，但它所涉及到的解题策略值得我们认真研究.为此，先请大家思考一道同类的简单题.题1 设数列{an}的通项公式为an=2n-13n，求满足an=527的所有正整数n.

先设置一个简单的方程，引导学生初步探究，然后逐步深入，让学生有一个适应的过程，这体现了循序渐进的原则，学生对所用到的方法理解也更深刻.对于题1，学生易想到用特殊值法处理，由an=2n-13n，得a1=13，a2=39，a3=527，发现n=3是满足条件的一个解.还有没有其他解呢？学生自然会继续往下求，能够发现数列的走势，也能断定没有其他解.问题2：很多学生依次求出数列的前几项，发现an（n≥2）随着n的增加而减小，基本确定n=3是唯一解，那么能从严密推理的角度证明吗？

问题2不难，学生容易想到求数列的单调性.由an=2n-13n，得an+1-an=2n+13n+1-2n-13n=4（1-n）3n+1，当n=1时，a1=a2;当n≥2时，an+13时，an<527，故方程只有唯一解n=3.

3.2 循序渐进问题3：我们运用数列的单调性解决了题1，接下来，我们再研究一道与这次考题相近的题目，请大家思考题2，找一找解题思路.题2 设数列{an}的通项公式为an=2n-13n，试问：是否存在正整数p>q，使得a1，ap，aq成等差数列？如果存在，求出p，q的值;否则，请说明理由.

循序渐进，让学生先思考类似的简单问题，学生由题1知道了数列单调性的重要性，他们也许自己能够找到解题思路.首先，容易由a1，ap，aq成等差数列，得到2ap=a1+aq，即4p-23p=13+2q-13q.然后让学生观察该式，思考突破口，应该有学生想到an=2n-13n（n≥2）单调递减，当an大于或等于某一个值时，n都只有有限个解.因为2q-13q>0，所以4p-23p>13，即2p-13p>16.当p=4时，不等式不成立，由单调性可知p≥4时不等式无解;又p=1不符合题意，而当p=2时，有2q-13q=13，得q=1或2，也不符合题意;当p=3时，1027=13+2q-13q即127=2q-13q，解得q=5.综上，存在p=3，q=5使得a1，ap，aq成等差数列.

3.3 自然求解问题4：方程4p-23p=13+2q-13q有两个未知数，我们称这样的方程为不定方程，不定方程通常不能直接求解.对于这个不定方程，我们可以借助数列的单调性，将其转化为不等式，从而逼出未知数的整数解.那么，我们能不能据此解决原考题呢？

问题4总结了题2的解法，指出不定方程的整数解的常规处理方法，继而要求学生解决原考题，这不仅揭示了问题的本质，还让学生的思维不断层，符合学生的认知水平.

学生容易得到：假设存在三项ap，aq，ar满足题意，不妨设p2q-13q>2r-13r，但难以继续处理，需要教师引导.

问题5：我们已经得到数列an=2n-13n（n≥2）单调递减，请同学们从直觉出发，探究这个数列为什么单调递减，递减的速度怎么样？

一般来讲，数学问题中少有类似问题5这样的问题，这是一种非理性的直觉性问题，它要求学生运用所学知识感知预测结论，虽然没有逻辑推理的严密性，但若所预测的结论正确，则能为解决问题提供思考方向.这与新课程理念提出的6个核心素养之一的“直观想象”一致.

教师需要引导学生理解“分子2n-1与分母3n都是递增数列，但分母增长速度比分子快得多，随着n的增大，an接近于0的速度很快”，然后要求学生继续思考.如果学生基础不好，可能还要教师引导，实际上，到了某一项后，由于an“下降”得很快，任意一项总比其后的一项的2倍大.于是，有如下处理：当p≥3时，ap-2ap+1=2p-13p-4p+23p+1=2p-53p+1>0，又由于ar>0，所以p=1或2.到此，考题也就变成题2.

3.4 深化研究

问题6：我们通过数列的单调性，以及数列增减的“速度”解决了这次考试的压轴题，现将考题适当引申，请同学们思考下列题3，看看能不能找到解题思路？

题3 是否存在正整数k和p，使得ak=9ap？如果存在，求出k和p的值;否則，请说明理由.

由前面的探究，学生已经积累了一些经验，要关注数列的单调性，可以由等式转化为不等式，进而确定不等式解的个数有限.学生都能得到：由ak=9ap，得2k-13k=9×2p-13p，由于an（n≥2）是递减数列且an>0，所以ak>ap，即k

数列增减“速度”的直观思考，学生运用的较少，要着重引导学生思考.数列an（n≥2）单调递减，且减的“速度”较快，要力争引导学生得到结论：对于任意正整数k，如果p比k大一定的“距离”，可能会得到ak>9ap总成立.由此，学生会试求ak-9ak+1，ak-9ak+2，ak-9ak+3，ak-9ak+4等值的正负，很快会发现ak-9ak+1<0，ak-9ak+2<0，ak-9ak+5>0.又当p=k+3时，解得k=2，p=5;当p=k+4时，解得k=1，p=5.

4 教学反思

对于这道压轴题，笔者备课时进行了调查了解、问题研究、教学设计.课堂教学过程中，学生能积极思考，探究热情较高，教学效果较好.下面，再与读者交流几点想法.

（1）讲评质效.一般情况下，题目有难度，常规评讲教学效果并不理想，难题讲不到位，对班级学生拔高不利.若教师能通过精巧的教学设计，引导学生深入思考，启发学生认识问题的本质、掌握思想方法，则可以提高学生解决问题的能力，达到讲评的目的.

（2）以退为进.循序渐进的教学原则，由于其起点低，能够带领大多数学生思考，让学生都有所收获;又由于其问题的连贯性，能够激发学生的探究兴趣，有利于把问题引向深入，是“拔尖”教学的好手段.若说“以退为进”的教学手段能“补差，推中，拔尖”，有些夸大，但确实能兼顾每个学生.

（3）提高素养.提高学生数学素养的前提是教师的素养要高.教师不仅要有先进的教学理念，还要有较强的数学专业素养.首先，教师要能认识问题的本质，把问题想清讲透，否则照搬答案，学生怎能接受？其次，教师要有较强的思想性，教师不会想问题，只是机械变式，只能提高学生的基本功，能力难以提高;只有教师会想，才能设计出合理有价值的教法，把学生的解题思维引向深入.

作者简介 梁永年（1978—），男，江苏滨海人，中学高级讲师，研究方向：高中数学教育与教学.盐城市高中数学教学能手，2020年10月获盐城市基础教育成果一等奖，2021年1月获江苏省教科研先进个人.