玩中学演中悟 从三个水平层次管窥直观想象素养

王峥嵘 王奇佳 沈恒

摘 要：直观想象是数学学科六大核心素养中“看得见、摸得着”的一种素养，其初始依赖于具备图形关系的各种载体，形成于向量、几何等章节的学习，可以体现学生从非形式化向形式化转变的一个显而易见的素养.本文以2020年浙江省高考立体几何解答题的思维导向为例，对一线立体几何教学进行了反思，指出了一些弊端，也提出了一些不成熟的想法.

关键词：线面角;水平层次;立体几何思维;直观想象

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）07-0029-03

收稿日期：2020-12-05

作者简介：王峥嵘（1975.7-），浙江省湖州人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究;

王奇佳（2004.4-），浙江省湖州人，高中在读.

沈恒（1998.3-），浙江省湖州人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》指出：数学学科直观想象素养主要表现在建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.可以说，直观想象素养是数形结合思想的一种具体落实，在学生头脑中建立起从一维数轴——二维平面——三维空间的逐步学习过程，形成一种具备直观感受下的空间思考能力.

直观想象素养分为三个水平层次，其一是直面感官想象的能力;其二是形成数形结合的思想;其三是构建直观模型的体系.课程标准明确指出，我们教学需要适配的三个方向，即认识、形成、构建！本文结合2020年浙江省高考立体几何解答题，从直观想象三个水平层次的角度，谈一谈如何在教学中培养学生的直观想象能力.

题目 （2020年浙江卷第19题）如图1，三棱台DEF-ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC.

（1）证明：EF⊥DB;

（2）求DF与面DBC所成角的正弦值.

层次一：兴于形——直面感官想象的能力

立体几何解答题往往已经给出图形，这就在水平层次一上.读懂几何试题的一般图形，是最直接的感官想象能力.具体分析一下，第（1）问考查的是异面直线垂直问题，是一个常规问题，这类问题的基本策略就是借助线面垂直证明线线垂直.此处可直接利用平面与平面垂直的性质定理（如图2）：两个平面（α和β）垂直，则一个平面垂直于交线（l）的直线（bα，b⊥l）与另一个平面垂直（b⊥β）.

层次二：立于思——形成数形结合的思想

空间几何本身就是以图形为载体，通过传统欧式几何定理，利用“形”的视角解决问题，也可以从“数”的视角，利用向量运算解决问题.纵观近年来浙江高考立体几何解答题，我们不难发现，命题组一直努力在寻求两种方式的平衡，即不能让“代数运算”的向量方式占据绝对优势，因此命题组在传统欧式几何方式和建系向量方式上努力寻求平衡点.这一命题思路，正是暗示了我们的一线教学，需要从两个方面指导学生立体几何的学习，“形解”和“数解”都要掌握，因此笔者提出，立体几何教学要两法并举、齐头并进，切勿“单腿走路”.现在一线教学对于传统欧式定理的教学往往有所放松，而中学数学更注重“形”的培养，以形辅数在数形结合思想中占据着更为重要的地位，来看“形”解：

“数”解方式——空间向量法在计算中设而不求的思想在解析几何中常见，在立体几何中不常见，对学生是否敢于尝试带参数求解是一个考验.笔者尝试将这个题目给高二学生去做，竟然有了一个“惊人”的发现，出现了两种不按常理出牌的思路，通过对这两位学生的了解发现，他们能准确地发现此题的结果和点E，F的位置无关，仅和两个45°有关.

第一种思想是将这个台体图形内置到一个正方体内，问题就变成了正方体的棱AC和面CMN所成角的问题（如图5所示），这也是此题可以设而不求的几何背景.

第二种思想是依据“只要不违背题目条件，题目中没提到的条件可以自己构造（如图6所示）”，故令此此题中BC=2，CD=22，同时发出灵魂提问“这么做会扣分吗？扣多少？抛开这两种解题过程，笔者发现，提供这两种解法的学生都是数学实验社团成员，并且都是参与数学实验活动积极性很高的学员.在解题过程中联系平时的数学实验经验，提出“猜想”，笔者认为这就是“直观想象”的一种体现.

因此，于教师而言：作为数学科重要的核心素养直观想象而言，笔者从课程标准的三个水平层次进行了与一线教学落地的对比解读.而将核心素养进行落地，是需要一线教师在认真研学课程标准的基础上，融入自身教学的思考.

于教学而言：

兴于形——初等数学要注重几何图形的掌握;

立于思——问题解决要关注数形结合的魅力;

成于新——类比学习要寻求思维创新的突破.

因此直观想象素养恰恰是要求我们将这种启发、引导、创新带给学生，从而提高学生直观想象能力和思维的含量，获得更好的学习效果和学习体验，是为直观想象素养三个水平层次.

参考文献：

[1]中學数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修2[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书教师教学用书数学必修2[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]王峥嵘.从“快餐式”数学实验管窥数学教学[J]. 数学之友，2016（06）：80-82.

[4]史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（01）：35-37.

[5]沈恒.以武思学——管窥复习教学的设计境界[J].中学数学，2018（03）：17-20.

[责任编辑：李 璟]