例谈解析几何若干活动经验的优化与重构

摘 要：高中生数学活动经验具有主体性、发展性和多样性.片面的、非本质的活动经验容易造成错误的思维定势，必须加以调整、加工、完善，促使其向高层次的数学活动经验发展.通过对解析几何若干活动经验常见误区的探究，提出调整、优化的建议.

关键词：解析几何;数学活动经验;优化

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）07-0066-04

收稿日期：2020-12-05

作者简介：李永革，特级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：安徽省合肥市2019年教育规划课题“高中数学基本活动经验内容与活动途径的实践研究”（课题编号：HJG19042）.

经验是影响数学发展和数学学习的一个重要因素，数学的认识归根结蒂来自经验、来自实践.经验在数学教育中的积极作用正在被人们所重视.但是，经验在数学教学中的消极作用却容易被忽视.杜威指出：“每一种经验就是一种推动力，经验的价值只能由它所推动的方向来评断.相信一切真正的教育是来自于经验的，这并不表明一切经验都具有真正的或相同的教育性质，不能把经验和教育直接地彼此等同起来.因为有些经验具有错误的教育作用”.

本文列举学生在解析几何学习中若干活动经验的常见误区，提出优化的建议.

一、“设而不求”经验的优化

本活动经验来自于直线与圆锥曲线相交的背景下，处理弦长、中点弦、垂直等问题时对交点坐标只设不求，运用韦达定理整体代换，交点坐标起到几何特征代数化的过渡作用，可有效减少运算量.学生对本活动经验的常见误区有：

（1）只能在直线与曲线相交的情况下才能运用，在相切等其他位置关系下不能运用;

（2）只能用韦达定理整体代换消去坐标参数;

（3）直线与圆锥曲线相交，交点坐标只能设，不能求.

解题反思 从考情分析发现，大多数学生解答时选择直线MN的斜率k作为参数，然后联立直线MN与椭圆C的方程求出M、N两点坐标（用k表示），再用两点式求直线MP的方程（用k表示），最后用点到直线距离公式求点O到直线PM的距离并与圆C′的半径作比较，结果运算量过大，无功而返.这种思路显然受到前面所说的“经验”影响.从图形运动的根源出发选择参数，又想让参数数量最少，将图中点的坐标与直线方程都用唯一的参数k 来表示，结果造成式子复杂、运算繁琐.解法1改设直线MP的斜截式方程（即引进直线MP的斜率与纵截距作为参数），巧妙地解决了点O到直线PM距离难求的问题.

经验优化 参数的选择往往是通过设点或设线的方式实现的，到底选择谁？选几个？前面所说的两个“经验”确实具有较为广泛的适用性，但不能绝对，一切要从思想方法的高度思考问题，以运算简洁为标准.不能模式化思考，过于教条.

三、“选系建系”经验的优化

建系求曲线方程是解析几何两大基本问题之一.坐标系建得好，可使方程推导的过程简单，方程的形式简洁，为下一步利用方程研究曲线性质奠定基础.学完解析几何之后学生一般都积累了一定的建系经验.都知道利用图形自身的对称性建系，利用图中垂直关系建系，若已知定点或定直线，知道将定点与定直线放在坐标轴上.但是学生在选系、建系上往往局限于建立直角坐标系，很少考虑其它坐标系，这样会影响学生解决问题能力的提高.

参考文献：

[1]夏基松，郑疏信.西方数学哲学[M].北京：人民出版社，1986.

[2]约翰·杜威.民主主义与教育[M].北京：人民教育出版社，2005.

[3]黄翔，童莉.獲得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标[J].课程·教材·教法，2008（01）：40.

[4]普通高中数学课程标准修订组.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.

[责任编辑：李 璟]