关于解析几何证明问题的探究反思
2021-09-10李泽英
李泽英
[摘 要] 解析几何中常见证明问题，从考查内容来看，就是探究线段长、角度大小、几何要素之间的位置关系，解析过程要围绕证明问题探究成立条件，利用解析几何的基本技巧、公式定理逐步突破. 文章围绕一道解析几何综合题开展解题探究.
[关键词] 解析几何;斜率;点差法;数列;设而不求
解析几何压轴题中常出现证明问题，问题解析往往难度较大，会涉及线段长、角度大小及位置关系等. 解该类问题时需要注意利用直线与直线、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过代数等量转化、化简变形来完成证明，下面进行解题探究.
[?]解题举例
问题：已知直线l的斜率为k，与椭圆C：+=1相交于点A和B，设线段AB的中点为M（1，m）（m>0）.
（1）证明：k<-;
（2）设椭圆C的右焦点为点F，点P位于C上，且满足关系++=0，试证明
，
，
成等差数列，并求出该数列的公差.
分析：（1）该问证明直线l斜率k的取值范围，核心条件是直线l與椭圆C有两个交点，并且点M是点A和B的中点. 证明时有如下两种解法：
①韦达定理，联立直线与椭圆的方程，采用韦达定理提取根与系数的关系，利用核心条件进行转化;
②点差法，利用斜率公式，通过点坐标作差来构建与斜率的关系，利用点M的限制条件求k的取值.
（2）该问设定点F，构建了点P，给出了相应的向量关系，求证向量模成等差数列，核心条件是向量关系条件，通常利用向量的坐标运算，将其转化为代数条件，然后结合直线与椭圆的位置关系来证明. 基本过程是联立方程，由韦达定理构建根与系数关系，结合点坐标转化向量模，结合直线与椭圆方程进而完成证明.
解答：（1）解法一：由题意可将直线l的方程设为y=k（x-1）+m，与椭圆C方程联立，整理可得（3+4k2）x2+8k（m-k）x+4（m-k）2-12=0. 设点A（x，y），B（x，y），由韦达定理可得x+x=-. 又因点M（1，m）为线段AB的中点，故=1，即-=2，可解得k=-. 又因点M在椭圆内，故+<1，可解得0 解法二：根据题意，设点A（x，y），B（x，y），代入椭圆方程，可得+=1，+=1，两式相减，整理可得= -·. 由斜率的计算公式可知k=，又知=1，=m，所以可得k=-. 点M在椭圆内，则有故+<1，可解得0 （2）点F为椭圆的右焦点，则点F（1，0），可设点P（x，y）. 由++=0可得（x-1，y）+（x-1，y）+（x-1，y）=（0，0），即x=3-（x+x）=1，y=-（y+y）=-2m<0. 点P（1，-2m）在椭圆C上，所以+=1，可解得m=，即点P 1，- ，k=-1. 联立直线与椭圆的方程，整理可得7x2-14x+=0，由韦达定理可得x+x=2，x·x=. 由两点之间的距离公式可求得FP=，FA==2-x，同理可得FB=2-x，则FA+FB=4-=3=2FP，即 ， ， 成等差数列，得证. 设数列的公差为d，则2d= - = x -x==，所以公差d=±. [?]总结归纳 上述探究了解析几何中证明问题的突破过程，所涉两问分别是关于直线斜率、向量的模与数列的证明问题，其中涉及了直线与椭圆相交、点的位置等内容. 此题主要考查了直线与椭圆的位置关系、平面向量运算、斜率概念、数列性质等知识，同时考查数形结合与化归转化思想、逻辑推理能力. 问题突破完成后有以下三点需要重点关注. 1. 韦达定理 韦达定理是一元二次方程中重要的理论，反映了方程中根与系数的关系，在解析几何综合题中有着广泛的应用，可用于推导方程的根或反向推导方程的系数. 但其深层应用体现在根与系数的关系中，常与设而不求思想相结合，进行解析几何中的代数运算，如上述利用该定理求解斜率k的取值范围. 2. 点差法 上述在证明斜率取值时，解法二应用了点差法，利用点差法获得了直线斜率与线段中点坐标的关系，该方法常用于解析几何的中点弦问题，在给出弦中点的情形下，可通过两点所在方程相互作差来构建中点坐标和斜率. 3. 椭圆定义 本题目在求解焦半径时直接利用了两点之间的距离公式. 实际上还可以利用椭圆的第二定义，虽然高考弱化了椭圆的第二定义，但利用定义法求解相关线段时依然可带来极大的便利. 在本题目中使用定义求FA和FB的过程如下. 如图2所示，点F是椭圆C的右焦点，点A，B和P位于椭圆上，则FA=a-ex=2-x，同理可得FB=2-x，FP=2-x. 4. 常见几何证明转化策略 解析几何中常见一些几何证明问题，其中研究点、线位置关系是重点，对于如下三大常见问题，可参考如下转化思路. （1）证明三点共线，有两种转化思路：一是转化为斜率问题，证明其中两条线段的斜率相等;二是转化为向量问题，证明三点所构的两条向量共线. （2）证明两线垂直，同样转化为斜率或向量问题，可证明两条直线的斜率之积为-1，也可证明两条直线所在的平面向量的数量积为0. （3）证明两共点线段相等，可直接利用弦长公式求证两线段等长，也可证明公共点在线段的垂直平分线上，此时需要引入斜率，求直线的解析式. [?]拓展探究 上述解析几何问题中以椭圆为背景引入了等差数列，属于创新型考题，实际上解析几何与数列的融合极为常见，除了上述结合等差数列外，还可结合等比数列. 问题突破的基本策略是一致的，设而不求，化几何为代数问题，下面举例探究. 例题：已知双曲线C：-=1（a>0，b>0），点F和F分别为C的左、右焦点，双曲线的离心率为3，与直线y=2的两个交点之间的距离为. （1）求双曲线的方程; （2）设直线l过点F，与双曲线的左、右支交于点A和B，且满足 AF = BF ，证明： AF ， AB ， BF 为等比数列. 解析：（1）简答，根据条件可求得双曲线的方程为x2-=1. （2）重点探究该问的解析思路，由双曲線的方程可得点F（-3，0），F（3，0），设直线l的方程为y=k（x-3），k<2. 联立直线与双曲线方程，整理可得（k2-8）x2-6k2x+9k2+8=0. 设点A（x，y），B（x，y），则由韦达定理可得x+x=，x·x=，从而可得 AF == -（3x+1），同理可得 BF ==3x+1. 由 AF = BF ，可得-（3x+1）=3x+1，即x+x=-，故=-，解得k2=，从而有x·x=-. 由于 AF = =1-3x1， BF2 ==3x2-1，所以AB= AF- BF=2-3（x+x）=4， AF · BF=3（x+x）-9xx-1=16，因而有 AF · BF=AB2，所以 AF ， AB ， BF 为等比数列，证毕. 评析：上述在求证等比数列时充分利用了设而不求思想，将数列中的线段问题转化为简单的代数运算，同时充分利用了韦达定理、弦长公式，通过等量代换构建了数量关系. 通常数列问题的证明需要借助对应的中项式，如上述等比数列中的等比中项 AF · BF=AB2，以及原题中的等差数列的等差中项FA+FB=2FP. [?]教学思考 解析几何中证明问题的类型较为多样，但从证明内容来看主要就是研究其中的线段关系、角度大小以及几何要素的位置关系，透彻理解问题，掌握转化思路是解题探究的重点. 教学中要引导学生强化解析几何基础知识，在此基础上开展解法探究，充分提升学生的解题能力，下面深入反思. 1. 知识梳理，完善知识体系 解析几何探究问题，基础知识是解题的重要工具，也是解题思路构建的出发点. 如上述证明数列问题中，由数列判定的等差或等比中项开展条件探究，基于弦长公式、韦达定理、中点坐标公式进行关系构建. 证明问题要首先理清成立条件，把握基本方法公式，然后进行深入剖析. 在教学中，教师要引导学生进行知识梳理，围绕问题核心构建知识体系，同时适度拓展，构建知识关联，帮助学生完善知识体系. 2. 过程探究，培养学生思维 证明过程中，针对知识点所涉较多、过程复杂的综合性问题，教师要帮助学生理清思路，梳理步骤. 这样不仅可以确保解题正确，还可以培养学生解题的逻辑性. 因此教学解析几何证明题时要采用过程探究的方式，即首先根据证明问题思考成立条件，然后逐一探索条件，进行题设条件关联，逐步构建解题步骤. 探究引导过程中要合理设问，让学生全方位思考构建方法，确保解题无缺漏，方法简捷，由此培养学生思维的逻辑性、严谨性.
