关注变化 强化思想 探寻规律

[摘  要] 中国高考正实现从能力立意到素养导向的历史性转变，如何备战新高考复习？文章结合2021年“八省联考”试题，重点从“关注四大变化，提升学科素养”“强化思想方法，提升数学能力”“研读高考真题，探寻命题规律”三个方面，阐述新高考视域下三角函数内容的复习备考策略，旨在提高高三复习备考的针对性和时效性.

[关键词] 关注变化;思想方法;真题规律

三角函数是高中数学六大主干知识之一，是高考中的热点问题，命题比较注重基础且考查要求呈现稳定性与连续性，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础、中档题. 重点考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查方程思想、数形结合思想、化归与转化等重要的数学思想.

从刚结束的新高考适应性考试（八省联考）试题分析可以看出，三角函数部分的考查仍然延续了近几年的稳定性，在稳定的基础上适当创新，出现了多项选择题（12题），三角函数与导数综合题（12题、22题），而2020年新高考卷（山东卷）也出现了多项选择题与结构不良型试题. 这充分表明：新高考试题从能力立意向素养导向的转变比较明显，试题已不再追求题目结构的完整，追求目标指向的开放性，增强了试题的综合性与探究性，要求考生临场思考发挥，目的在于更清晰、更准确地考查学生数学学科核心素养[1].

而新版的课程标准（2017年版）及新教材在三角函数内容部分也发生了一些变化，基于新高考、新课标、新教材发生的变化，本文重点从关注变化、强化思想、探寻规律三个角度探析三角函数内容复习备考策略，旨在对高三复习备考提供些许帮助.

[?]关注四大变化，提升学科素养

中国高考正实现从能力立意到素养导向的历史性转变，高考试题在考查基础性与综合性的同时，还应关注探究性与创新性. 基础性与综合性是试题稳定性的体现，而探究性与创新性则是变化的体现，也是考生顺利完成考试的拦路虎. 因此，高三复习备考在聚焦核心知识、重要思想和方法的基础上还要密切关注新课标、新教材、新高考发生的变化，对变化进行归纳、整理、反思、总结，然后进行针对性、系统性的强化训练，从训练中提升学生的数学素养.

1. 关注三角函数本质的考查

三角函数是基本初等函数，是研究周期性现象的基础数学工具，在研究三角形边角关系和圆等几何图形的性质时发挥着重要的作用. 之前对三角函数的图像或性质的考查基本是通过辅助角公式将其转化成单一函数的形式，用“五点法”或“整体法”进行研究，或者用 “换元法”将其转化成二次函数的形式来研究，套路较为明显. 而本次“八省联考”的12题、22题则有意而避之，之前的套路方法明显不奏效，须借助导数在研究函数中的作用来解决，表面看似三角函数与函数导数的综合应用，增强了试题的综合性与创新性，实质上是重视函数本质内容的考查，这与新教材把三角函数纳入函数模块主题是契合的.

例1：（2021年“八省联考”12题）设函数f（x）=，则（  ）

A. f（x）=f（π+x）

B. f（x）的最大值为

C. f（x）在-

，0 单调递增

D. f（x）在0，

单调递减

例2：（2021年“八省联考”22题）已知函数f（x）=ex-sinx-cosx，g（x）=ex+sinx+cosx.

（1）证明：当x>-时，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a.

评析：这两题是三角函数与导数、不等式的综合题，很好地起到了压轴的作用. 主要考查三角函数的图像与性质，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式证明等知识，考查转化与化归思想、数形结合思想，运算求解能力、逻辑推理能力.

笔者认真研读了近几年的高考试题，发现2018年全国Ⅰ卷的16题也有异曲同工之处，也突出了对三角函数本质的考查.

例3：已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是_____.

评析：三角函数求最值问题，一般思路是将所给的函数化为单一函数f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，然后采用“整体法”或“五点法”结合图像加以求解，或者是换元转化成二次函数的最值问题. 而本题这两种思路都无法实施，这时如果回到三角函数的本质，它是基本初等函数，利用导数来研究函数的最值则能顺利解决问题.

2. 关注向量的工具性作用

新课标在正弦定理和余弦定理部分是这样说明的：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理[2]. 而旧版课标是这样说明的：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 从变化中可以看出，新课标凸显了向量在解三角形中的工具性作用. 在有些利用正余弦定理解三角形较为困难的题目中，尤其是已知条件较为分散且具备中点模型的三角形，若能借助向量来处理，往往能起到事半功倍的效果.

例4：在△ABC中，AB=3，设D是BC的中点，AD=2，cos∠BAC=，求△ABC的面积.

[A][B][C][D]

图1

评析：本题是属于条件分散的解三角形问题，无法直接利用正弦定理或余弦定理解决. 如何把分散的条件利用数学知识找到联系就成了本题的关键，如果能充分利用D点是中点这个显著特征，构建向量模型2=+，通过两边平方建立边角关系，就显得巧妙而简洁了，能起到意想不到的效果. 當然本题还可以通过设参用方程的思想来解决，但是计算量相对比较大，也可以借助平面几何知识通过补形变成平行四边形，借助平行四边形的性质把条件集中在一个三角形中，从而顺利地解决问题.

3. 关注平面几何知识的渗透

新高考删除选考内容，意味着几何证明选讲部分内容不再单独出现，但是很多的几何图形性质又能起到简化运算的功能，体现多思少算的新高考理念，尤其是解析几何等内容体现得尤为明显. 因此，在解三角形的教学中应关注平面几何知识的渗透，提升学生的直观想象与数学运算素养.

例5：在锐角三角形ABC中，点D在线段AC上，AB=2，sin∠ABC=，BD=，AD=3CD，则cosC的值为________.

评析：本题与例4同是属于条件分散的解三角形问题，不能直接利用正余弦定理解决，这是相同之处，不同的是D点不是中点了，故不能用中点模型之向量来构建边角关系，可以通过基向量的运算把用与表示出来，即4=3+，两边平方即可建立边BC的方程，从而利用余弦定理求边BC，最后再用余弦定理求cosC的值. 但是这种解法对向量的运算要求及向量在解三角形中的工具性作用意識提出了较高要求，对学生来说有一定难度. 此时若借助平面几何知识，过点P作AB的平行线交BC于点E，再利用BE∥AB的分线段成比例和同位角相等两个性质，可以利用余弦定理计算BE的长度，从而计算BC，AC，最后再次利用余弦定理计算cosC的值. 纵观本题的解决过程，作平行线来构建边角关系成为了解题的关键.

4. 关注结构不良型试题的考查

新高考评价体系确立了高考中学科素养的考查目标，也正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变. 突出考查的情境从学科知识化到真实情境化，试题条件从结构良好到结构不良，试题要素从单一到复合. 这在2020年的新高考卷中也体现得尤为明显，特别是结构不良型试题的出现，增强了探究性与开放性，对学生知识的整体性、系统性提出了更高的要求，在后期的复习备考中要引起足够重视并强化训练.

例6：（2020年高考山东卷17题）在①ac=，②csinA=3，③c=b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=sinB，C=，_______？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

评析：本题是山东卷的一大亮点与特色，打破常规形式，目标的指向开放，考查了考生数学素养与临场应变能力，很好地体现了新高考评价体系中素养导向的作用.

结构不良型试题的目标指向开放，探究韵味浓厚，应该全方位、多角度地加大训练力度，本题是条件开放1个，可以变成条件开放2个甚至3个，采用组合形式选择条件，提升选题的层次感，增加思维量，提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等学科素养.

例7：在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC.

（1）求角B的大小;

（2）现给出三个条件：①a=2c;②AC边上的中线BD长为;③角B的平分线交边AC于M，且BM=1. 从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出您的选择，并以此为依据求出△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

[?]强化思想方法，提升数学能力

美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想和方法，能使数学更容易理解和记忆，领会数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”. 数学思想是对数学知识和方法本质的认识，数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具. 数学思想和方法是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化成能力的桥梁，是数学的灵魂和精髓. 因此，要加强核心知识的理解，最关键的还是要在思想和方法上给予渗透，将核心知识在思想和方法的指引下合理地运用到位，只有具备思想的教学，才是有深度的、有灵魂的教学.

例8：（“八省联考”18题）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BD=CD=1.

（1）若AB=，求BC.

（2）若AB=2BC，求cos∠BDC.

评析：本题属基础题，考查了平行四边形的简单性质，余弦定理在解三角形中的应用，方程思想、数形结合思想，数学运算及逻辑推理数学素养. 本题求解的关键是利用线线平行的性质得到两内错角∠ABD=∠BDC，通过内错角相等，借助余弦定理来建立BC边的方程，最后用余弦定理求出cos∠BDC的值. 是方程思想的典型应用.

这是非常典型的利用方程思想来解决问题的范例，通过“引入变量—寻找关系—构建方程—求解方程”四个步骤来解决问题. 只要是条件较为分散的解三角形问题，大多数需要充分挖掘隐含条件，通过引入边参或者角参，借助方程思想才能顺利地解决问题.

无独有偶，本题的设置背景与考查思想和方法与2015年课标卷的理科17题如出一辙，只是把内错角换成内外角，边长的2倍关系通过角平分定理的性质给出了而已，其实质仍然是利用方程思想解决问题.

例9：（2015年新课标Ⅱ卷理17题）在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.

（1）求;

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长.

数学思想和方法是数学知识转化为能力的重要载体，也是检测考生数学素养的重要体现. 在三角函数模块的复习中，尤其要重视函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想的应用.

因此，在复习备考中，要特别重视数学思想和方法的渗透，不能只讲题型，不讲思想和方法，不然的话，学生就只会套题型，不会自己独立思考，当然也就没有能力上的提高. 每道精选的例题都要有数学思想和方法的渗透，都要有数学思想和方法指导下的分析，还要有数学思想和方法上的总结，让学生在体验中学会思考，在思考中提升能力.

[?]研读高考真题，探寻命题规律

教育部考试中心刘芃曾经这样说过：“与其大量做题，不如抽时间认真研究往年的真题，往年的试题是精雕细琢的产物，它反映了对考试内容的深思熟虑，对设问和答案的精准把捏，对学生水平的客观判断. 研究这些试题，就如同和试题的命制者对话. ”的确如此，尤其是近年以来，全国卷试卷结构和试题难易度逐渐趋于平稳，因此上一年的高考真題也透露着下一年高考的重点方向，通过历年高考真题的横向与纵向对比、分析、思考、总结后，能探寻出一定的规律，对指导课堂教学有很大的帮助.

例10：（2014年课标卷理16题）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为_____.

例11：（2016年全国I卷17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（1）求C;

（2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长.

例12：（2017年全国I卷17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.

（1）求sinB·sinC的值;

（2）若6cosB·cosC=1，a=3，求△ABC的周长.

笔者通过收集、对比、研究发现：虽然以上的三道题目的呈现方式不同，但题根都是余弦定理. 考查知识点相同，解决问题的方法相同;不同的是例12、例13是用方程思想解决余弦定理中的定值问题，而例11则是用不等式思想对余弦定理进行变形，解决最值、范围问题. 因此，在余弦定理的教学中，不仅要深挖公式的正用、逆用、变用功能，更要挖掘等式中蕴含的数学思想——方程思想，还要树立方程到不等式的变化意识来建构基本不等式模型，从而顺利地解决一些有关周长、面积的最值或范围问题.

高考真题是命题者依纲靠本、科学而精心设计的典型题目，它聚集了专家、优秀老师们的集体智慧，它不仅在一定程度上浓缩了课本上重要的基础知识与基本技能，而且还蕴含着丰富的数学思想和方法，能够折射出高考的基本走向和考查的深度与广度. 为了避免题海战术，让学生真正跳出题海，只有教师跳入题海，潜心研读高考历年真题，方能领悟高考命题规律.

参考文献：

[1]  教育部考试中心. 中国高考评价体系说明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.