现象教学视角的概念生成

沈惠华

[摘  要] 现象教学倡导回归生活本源寻找数学概念原型，以整体形象呈现概念结构性信息. 教师作为合作者携带着更广阔的知识背景辅助学生探寻知识的真谛，学生经历感知—设问—抽象—论证—表达（数学化）的全过程，从而提升数学素养，达到培养问题意识、形成探究习惯、增加数学知识、提升核心素养的目的.

[关键词] 数学现象;数学概念;數学化;抽象;概括

数学概念是对数学现象的高度抽象和概括，是数学理论的基石，概念教学自然是数学教学的核心. 传统的教学是把概念当作一个知识，当作一个需要认识的对象，遵循这样的路径：引入概念—辨析理解—掌握应用—反思升华，其关键词是“理解”，应用和反思主要是为了促进理解，所以有“为理解而教”的说法.

现象教学就不同了，它把概念当作是对客观世界的“认识成果”，让学生对真实的现象（特例）进行观察，历经感知—设问—抽象—论证—形成认识—诉诸表达的全过程，其关键词是“生成”. 学生首先面对的是原始对象，直观感知其完整的信息，将其数学化后容易实现知识的结构化，也就是经历了“观察世界、分析世界、表达世界”的过程，这就使其感悟数学本源，积累活动经验并逐步强化数学思维、提升数学素养，其中的“过程价值”是知识教学所不具备的.

从逻辑上讲，“表达”是指把头脑里已有的东西“说出来”，显然是头脑里先有意义而后才形成语言. 所以，“生成”比“理解”更有内在的合理性，现象教学比知识教学更贴近认识世界的真实过程，更能体现学生的能动作用. 下面以“离散型随机变量的均值”为例，谈谈现象教学视野下数学概念的生成.

[?]课例设计与简析

现象1：（展示一枚骰子）生活中，我们经常利用骰子进行游戏，比如说有这样一个“猜大小”的游戏：骰子点数1、2、3为“小”，骰子点数4、5、6为“大”，参与者每次猜“小”或“大”，猜对就获得2分，猜错就扣除1分. 你怎样看待这个游戏？

（——以“游戏”为现实背景引入课题，学生感觉亲切自然，在直观感知游戏规则之后，他们带着浓厚的兴趣参与课堂活动，积极发表个人观点，始终保持自己在课堂上的主体地位. ）

生：虽然猜对和猜错的概率都是50%，但是得分不同.

师：你能具体说说得分有什么不同吗？

生：假如每个结果各发生一次，两次游戏后得分为2+（-1）=1. 平均每进行一次游戏，得分为0.5！

（在日常生活中，人们习惯用算术平均数对数据进行评估. 通过等概率事件的呈现，引起学生直觉的表达，为新概念的生成奠定基础. ）

现象2：游戏规则：投掷骰子，如果丢出6点，你将获得8分，没丢出6点，你将扣除1分. 你怎样看待这个游戏？

生1：猜对和猜错的概率不一样，不能直接取8和-1的算术平均数.

生2：骰子共6种情况，假如每个点数都出现一次，六次游戏的得分为8+（-1）×5=3. 平均每进行一次游戏，得分为0.5！

生3：上述计算可简化为：=8×+（-1）×=0.5.

（通过不等概率事件的呈现，引发学生对“得分均值”的进一步思考，进而产生更深层次的认识. ）

现象3：游戏规则：投掷骰子，如果丢出1、2、3点，你将扣除1分，丢出4、5点，你将扣除3分，但是丢出6点，你将获得12分. 你怎样看待这个游戏？

生1：得分均值：= （-1）×+（-3）×+12×=0.5.

生2：与上个游戏一样，这里的、、也是相应事件的概率.

（经历事件个数的变化过程，促使学生生成概念的雏形，进而坚定自己的猜想.）

师：上面三个游戏都没发生，你如何看待这个“0.5”？

生：它反映了我们对游戏结果的预判与期待，呈现了我们对游戏得分的期望.

师：连续投掷一枚骰子6次，一定会出现1、2、3、4、5、6这六种结果吗？

生：不一定，前面的计算都是我们的直观感觉，没有任何依据！

师：你们认同自己对得分均值的计算吗？

生1：认同，但我们需要找到它的理论依据！

生2：我们想先体验一下这个游戏（以游戏3为例），在实践中寻找灵感.

（带着自己的疑问与追求，学生从数学的角度去观察生活中的现象，思考数量间的某些联系，在亲身体验中积累数学基本活动经验，从而有效支撑数学核心素养的发展. ）

学生试验了几次游戏，但结果不理想.

师：为什么会产生这种结果？

生：试验数据不够多，结果容易产生偏差.

师：你下面会怎么做？再继续试验游戏吗？

生：不用，可以把所有学生的数据收集起来，展示1000个数据如表1.

得分均值：0.511×（-1）+0.33×（-3）+0.159×12=0.407.

（通过对所有学生数据的收集和整合，学生一步一步地感受到了其中可能存在的数学规律，并对数学方法有所猜测和期待. ）

师：借助excel中的RANDBETWEEN（1，6）函数可以继续模拟游戏，如表2和表3.

得分均值：0.5029×（-1）+0.3265×（-3）+0.1706×12=0.5648.

得分均值：0.50118×（-1）+0.334×（-3）+0.16482×12=0.47466.

（在大数据时代，利用信息技术处理数据变得尤为必要. 在高中的学习中，应该培养学生使用信息技术的意识和初步能力. ）

师：共模拟了1万次和10万次，从现在的数据中你能看到什么？

生：随着样本容量的增加，得分均值在逐渐趋近于0.5.

师：需要继续模拟吗？

生：不需要，通过统计的方式研究样本，每次得到的数据可能都不一样. 我们看到了它的变化趋势，能否模拟算出0.5已经没有意义了.

（当模拟数据呈现时，学生似乎看到了黎明的曙光，对游戏蕴含的数学规律了然于心，进而积极主动地参与数学建构，诉诸表达，数学概念的生成水到渠成.）

师：现在你们找到最初计算的理论依据了吗？

生：理论依据是概率的定义，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在概率附近摆动并趋于稳定，所以当试验次数足够多时，我们既可以用频率估计概率，也可以用概率推测频率.

师：同学们从两种角度计算了“均值”，它们有什么联系和区别？

生：概率中的“均值”是理论基础，结论具有确定性;而统计中的“均值”是实际应用，结论具有随机性.

（学生从统计中获得灵感，产生顿悟，最终回到问题本身“均值”，形成一般性的认识. ）

师：同学们通过自己的努力发现了一个新的概念，你们能给它取个名字吗？

生：模仿统计，我们可以把它称为离散型随机变量X的均值.

师：很好，离散型随机变量X的均值又称数学期望，记为E（X）或μ.

师（追问）：为什么又叫“数学期望”？

生1：它反映了我们对未来每局游戏得分的期望.

生2：统计中的均值着眼于“过去”，而概率中的数学期望着眼于“未来”.

师：“数学期望”来源于17世纪一个赌徒的故事，虽然游戏模型不一样，但思维方式类似. 请同学们课后阅读相关文献，了解这段历史. （渗透数学文化）

生：上面三个赌博游戏的数学期望都是0.5，但给人的感觉不一样？

师：同学们的数学感觉很不错，你们能具体说说哪里不一样吗？

生：从游戏1到游戏3，“得分差距”在逐渐加大.

师：均值相同的情况下，“得分差距”可以用哪些量来刻画呢？

生：（恍然大悟）我们可以用方差、标准差刻画随机变量的稳定性.

师：很好，请同学们规范表达自己新发现的概念. （过程略）

现象4：现有两颗骰子，如果丢出的点数之和小于6时，你将扣除1分;大于6时，你将扣除2分;等于6时，你将获得10分. 你怎样看待这个游戏？

（重在让学生自己理清刚形成的概念，把概念应用到新的、复杂的情境中.）

展示学生成果：

得分均值：×（-1）+×（-2）+×10=-.

师：你能自己构建一个游戏吗？

（以概率分布为原型，均值为参考，可以构建相似的游戏模型，实现理论与实践的结合. ）

[?]现象教学重在“生成”

“数学期望”是个很抽象的概念，所以在历史上产生很晚，比方程、虚数晚，甚至比函数都晚. 对于抽象概念的教学，很容易走上从知识到知识的道路，但那仅仅让学生多了一个知识，而没有促进他们数学素养的提高. 现象教学则不同，学生亲身经历数据的产生、收集、整理、分析的全过程，在其中体会逻辑，通过自主探究和合作学习的方式，学生很自然地生成了“数学期望”的概念. 在这里，数学期望已经不仅仅是一个公式，而有其真实的含义. 在整个学习过程中，学生积极思考，经历探索的紧张，享受问题解决的喜悦，他们以自己的方式完成了对现实问题的认识，并形成了数学形式的表达，这就是概念的自然生成. 在一个易受外界影响的年龄段，这样的经历会促使学生形成质疑的习惯、探究的习惯以及数学表达的习惯，对他们的思想和性格留下深刻的影响. 同时，教师在整个过程中作为合作者，不露痕迹地引导学生回顾了旧知识，初步建立了统计与概率的联系，并在关键点上加以引导和规范，使学生形成了一个具有层次性、灵活性、生长性的概念网络. 比起“老师讲学生听、老师命令学生执行”来，这种现象教学的形式更能调动学生的积极性，促进学生的深度思考，提高学生的核心素养.

整个教学以“学生思维”为主线，起于学生对“现实问题”的思考，成于“概率频率互相联系”的思路，终于“数学理论建构”，又回到“理论与实践的结合”. 结果是，学生头脑里有了现实世界的例证、有了从现实到数学的建构过程、有了真实有效的思考，还有了完整形态的数学知识. 他们既对期望、方差、标准差的计算了然于心，又始终明了这些概念的实际背景与意义，可以说他们学到了真实的、鲜活的数学. 尤其令人高兴的是，学生的问题意识、思维能力和创新精神得到了激发，每个学生都实现了自身在数学上的发展，并且不同学生得到了不同的发展，思维活跃的学生能够利用所学建构属于自己的数学模型，展现自己在探索世界时的自我成长.

[?]结语

学习并非只是一个接受新知的过程，更是一个主动抽象、建构生成的过程，每一次学习都应该是一次创造. 现象教学提供自然鲜活的数学材料，唤起人的好奇心，学生在亲身经历中生成数学知识，提炼数学方法，领会数学思想. 长此以往，学生自身的意识和观念也会转变，他们能够更注重应用数学的眼光和思维去解析現实问题，形成用数学观念理解世界的情感态度，并能用数学语言准确地表达自己的理解，让数学成为认识和改造世界的工具，从对现象的思考逐步转向对世界的表达.

现象教学强调回归问题本身，让学生面对真实现象展开真实的思考，在方法上它不排斥其他教学法，只是在素材的呈现和处理上体现自己的独特性. 现象教学视野下，学生分工合作，优势互补，在动手中思维，在争辩中明理，在倾听中成长，数学概念自然流畅生成，学生生动活泼有个性地发展核心素养.