以微专题的形式促进有效教学

颜波

[摘  要] 有效教学是高三数学复习中的关键，是教师们思考的常态，文章研究出可以通过微专题提升教学的有效性. 微专题在高三数学复习中可以帮助学生理清思路，找出盲点，触类旁通，把知识间的联系理解透彻.

[关键词] 微专题;促进;有效教学

有效教学是高三数学复习中的关键，那么如何做到有效，是教师们思考的常态，笔者根据多年连续在高三任教摸索出了一点经验，那就是通过微专题教学提升教学的有效性. 实践证明，微专题的应用在高三数学复习中可以帮助学生理清思路，找出盲点，同时可以触类旁通，把知识间的联系理解得更加透彻.著名数学教育家G·波利亚曾经指出：“良好的组织使得所提供的知识容易用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要.”所以依托主题明确、针对性极强的“微专题”进行数学复习，可以有效促进学生的深度学习，有利于学生获得清晰的数学知识和系统的数学研究方法.

微专题复习是以高考必考点、重点、热点、难点为依据，使微专题的确定、内容的选择、题型的遴选都能紧密围绕在“高考考点”的周围，具有很强的复习针对性. 而要做到有效，微专题的设计就显得至关重要. 根据平时的教学经验，笔者总结了一些途径，如围绕复习的重点和关键点，利用具有紧密相关性的知识或方法设计，也可以结合学生的疑点或易错点进行设计. 当然微专题除了注重将相关知识点进行整合外，还注重对学生进行思维训练和解题方法的指导. 这样微专题的内容含量就会小，学习目标更明确，一般安排一个课时对应一个微专题复习，也体现了微专题的“微”. 所以微专题复习可具有“因微而准、因微而细、因微而深”的特点，话题集中、耗时较少、针对性强、实效性好.

笔者根据这样一个理念，在高三复习研讨会上设计了一节微专题课《椭圆中的三角形面积的定值问题》，设计这节课，主要是因为学生对这些定值问题比较生疏，或者说掌握得不太好，对此类问题找不到解题灵感，所以用微专题通过分析比较系列问题条件和结论，用三角函数来研究变与不变，帮助学生对这类问题形成共识，找到解决问题的途径，增强学生的应变能力，同时提升学生学习解几的信心.

[?]基本情况

授课班级为四星级学校理科班，学生具有良好的学习素养，有一定的解题和探究能力.

教学目标：（1）学会合理选择参数表示动态几何关系，探究或证明动态图形中的定值问题，体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用;

（2）引导学生后期加强对典型题和课本题的研究.

教学重点：椭圆中的三角形面积表示.

教学难点：根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径（能够计算—设计运算—数据处理）.

本节课采用：（1）基本问题探究;（2）为基本问题设置载体;（3）根据问题选择方法;（4）设置问题串探究问题本质;（5）总结提炼形成共识.

[?]教学过程

卷首语：解析几何让人迷恋之处恰是其变化中的不变属性，去繁至简的永恒追求，而设计运算、优化运算更是探索奥秘当中必不可少的乐趣所在.

设计意图：引导学生学会研究解几，学会运算，激发学生学习解几的热情.

1. 情境引入

我们研究的最基本图形面积是三角形的面积：

提出问题1：坐标系中的三角形面积如何用坐标表示？

采取多种方法求出该三角形的面积，为了探究一般性，故引导学生用向量来表示，从而得到以下证明：由于任意三角形都可以平移到顶点在坐标原点的情况，故可设A（x，y），B（x，y），所以S=

·

sin∠AOB=

·

·=·=·=·

x

y

-x

y. 在实际教学中，可以具体问题具体对待，比如用S=OA·d，或通过构造梯形、分割三角形等都可以轻松得到这个表达式.

设计意图：（1）会用一般性的方法推导三角形的面积公式;（2）引导学生会用坐标法表示三角形面积，从而为一些问题快捷地设计出解题思路，为后续研究铺路.

师：虽然以上三角形是动态的，但是它们的面积却可以为定值.

提出问题2：那么我们今天就来研究椭圆中的三角形面积满足什么条件可以为定值？

引例：（改编：2015上海高考，理21）

如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+y2=1，过原点O的两条射线l和l分别与椭圆交于A和B，记△AOB的面积为S.

（1）设A（x，y），B（x，y），求证：S=

x

y

-x

y;

（2）设l与l的斜率之积为-，求面积S的值.

对于（2），学生的设计思路如下.

生1：设l的斜率为k，解出A，同理解出B，然后由S=

x

y

-x

y=

k+·

x

x，即可得出答案.

生2：设直线AB为y=kx+m，与椭圆方程联立，应用韦达定理，由斜率间的关系可以得出k，m的关系，进而S=

x

y

-x

y=m

x

-x，即可得出答案.

生3：由=-，通過两边平方可以得出x+x=4（意外收获：y+y=1，OA2+OB2=5，为学生点赞），紧接着由S=

x

y

-x

y两边平方，得S2= ·x

y

-2x

x

y

y+x

y

=x

+x

=1.

学生点评：每一种做法都很合情合理，前两种是通法，但是生3的做法，感觉到很简洁，并且发现了一个结论.

设计意图：寻找学生最原始的想法，比较他们的做法，发现一组结论，为后续研究最优方法做准备.

师：作为高三的二轮复习，还应根据题目的结构特征选择最优的方法进行处理，对于生3提出的解法是否可以考虑借助椭圆的参数方程加以解决呢？学生思考.

生4：设A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），由l与l的斜率之积为-，所以==-，所以cosαcosβ+sinαsinβ=0，所以cos（α-β）=0，又S=·

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=1，所以面积S的值为1.

师：此时请同学们分析这种方法的合理之处，引导学生比较分析，发现更优.

接下来继续探究几个结论.

师：如果你已掌握，那么请看：

追问1：若OA，OB的斜率分别为k，k，且△AOB的面积为1，求k·k.

学生展示：设A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），由S=

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=1，所以cos（α-β）=0，即cosαcosβ+sinαsinβ=0，所以==-，所以l与l的斜率之积为-.

追问2：若OA，OB的斜率分别为k，k，问是否存在非零常数λ，使k·k=λ时，△AOB的面积S为定值？若存在，求λ和S的值;若不存在，说明理由.

學生展示：设A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），由S=

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=t，所以cos2（α-β）=1-t2，即cos2αcos2β+2cosα·cosβsinαsinβ+sin2αsin2β=1-t2.

设==λ，所以（1+8λ+16λ2）cos2αcos2β+t2-1=0恒成立，所以1+8λ+16λ2=0，t2-1=0，所以λ=-，t=1.

设计意图：通过追问的形式，引导学生发现知识间的内在联系，同时巩固所学方法.

追问3：以上的问题是必然的吗？为什么呢？你能看到什么吗？

回归到一般式：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1，过原点O的两条射线l和l分别与椭圆交于A和B，记得△AOB的面积为S.

若l与l的斜率之积为-，则S=ab. 反之也成立.

设计意图：从学生角度，引导他们学会发现问题，学会探究问题;从知识角度，由特殊到一般，揭示规律，发现数学中美的东西.

追问4：若动点P满足=4+，其中△AOB的面积S=1，问是否存在定点F，F，使得PF+PF为定值？若不存在，说明理由.

解：设A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），P（x，y），由S=

x

y

-x

y=cosαsinβ-cosβsinα=sin（α-β）=1，所以cos（α-β）=0，即cosαcosβ+sinαsinβ=0.

又由=4+，所以x=8cosα+2cosβ，y=4sinα+sinβ，所以x=64cos2α+4cos2β+32cosαcosβ，y=16sin2α+sin2β+8sinαsinβ，x+4y=68. 所以点P的轨迹方程：+=1.

所以存在定点F（，0），F（-，0），使得PF+PF=4.

追问5：如图4所示，你会设计问题吗？可以自行尝试.

设计意图：巩固所学方法，提升解题能力. 引导学生自行尝试设计问题.

师：我们知道圆的内接正方形面积为定值，经过变换后得到椭圆的内接平行四边形面积为定值，我们已经通过解析法证明了这个结论. 其实这是椭圆中的共轭直径和离心角问题，有兴趣的同学课后可以通过变换提出猜想，然后通过解析法进行论证！

[?]教学反思

1. 选取的例题要有代表性

微专题教学中寻找典型例题至关重要，通过典型例题的研究，走出题海，引导学生学会触类旁通. 通过本课期待能够引导教师和学生在平时要善于研究问题，努力寻找问题的根源，由此做到以不变应万变. 例题往往要选择较经典的试题，而正因为经典，解题过程对教师来说是耳熟能详的，但是，却很可能在不经意间疏忽了学生的想法，进入教师的主观课堂，出现“高耗低效”的教学现象. 本文中选取的椭圆中的三角形可以和很多知识产生联系，如：x+x=a2，y+y=b2，OA2+OB2=a2+b2等，由此揭示一系列的问题，它们之间可以相互推出，可以知一求多.

2. 课堂氛围要有民主性

课堂应以学生为主体，学生是课堂的主人，每个学生都渴望成功，渴望表扬，所以激励的话语应成为教师的口头禅. 只有民主的课堂才能激发出学生的创造性，平时教学中一些问题的多种解答方法其实大多来自学生. 我们的课堂上应充分让学生展示，让学生多动手实践，这样才能培养学生的自信，才能培养出优秀的学生，这才是我们教学的主要目的. 教师只有教得轻松，教得容易，教得和谐，师生才能共赢.

3. 追问形式要具有合理性

追问的设计应合理、自然，学生也能容易接受. 一节课未必选择多个题目，把一个问题讲透，学生弄懂才是关键，所以只有教师深知班级学情，充分备课，多积累，才能设置好追问. 同时追问的设计要让学生感受到所学方法的作用.追问的目的在于让学生经过一番努力后能够有所得，让学生获得成就感，这是对学生最好的赏识. 瑞士心理学家皮亚杰认为“：一切有成效的工作必须以某种兴趣为先决条件”. 浓厚的兴趣能调动学生的学习积极性，启迪智力潜能并使之处于最活跃的状态.

4. 学生间评价要有积极性

教师在以充分肯定、激励性评价为主的同时，要多让学生之间相互评价，以达到互相学习、反思自己、改进方法的效果. 心理学研究表明，学生更易接受来自学生群体的评价，让学生在评价他人和被他人肯定的过程中完成数学解题，进而享受学习数学的快乐.

奥苏贝尔的“有意义的学习”理论提出：影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应该根据学生原有的知识状况去教学. 确定微专题内容的首要参考依据是学生综合练习中暴露出的问题以及这些问题所体现出的学生的知识盲点. 任课教师需在平常教学工作中做一个有心人，在认真批改学生的试卷后，能够将以班级为整体所反映出的共性问题及时做好记录，以便在接下来的微专题复习中紧密联系学生现有的知识状况，从而提升复习的效率.