浅析培养高中学生发现与提出问题的策略

黄江

[摘  要] “一核四层四翼”中的“四层”回答了考什么的问题，“四能”是“四层”中考查的重点之一，培养学生发现问题与提出问题的能力势在必行. 影响学生发现问题与提出问题的因素，有教师层面的因素，也有学生自身的因素. 基于核心因素的基础，文章提出了培养学生发现问题与提出问题的常见策略.

[关键词] 问题;缺失因素;培养策略

[?]提出问题

美国当代数学家哈尔莫斯在《数学的心脏》一文中明确指出：“数学的真正组成部分是问题和解.”也就是说数学的创新来源于数学问题. 核心素养下的《普通高中数学课程标准（2017年版）》已经落实到全国各地，而素养的考查是需要借助试题来进行显现化的. 此前，教育部考试中心对“一核四层四翼”高考评价体系在今后的高考命题中如何体现进行了阐述. “一核”即高考评价体系，通过确立“立德树人、服务选拔、导向教学”这一高考核心立场，回答了“为什么考”的问题. “四层”通过明确“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查目标，回答了“高考考什么”的问题. “四翼”通过明确“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求，回答了“怎么考”的问题. “四层”中的关键能力则指向“四能”：发现问题与提出问题的能力，分析问题与解决问题的能力.以上可以看出，发现问题与提出问题对人的发展的重要性，同时随着考试风格的不断变革，未来考查学生能力的试题会逐步以开放式的方式进行命制. 笔者认为，对学生发现问题与提出问题的能力的考查也将逐步在新高考的试题中体现出来，所以在教学中，培养学生发现问题与提出问题的能力势在必行.

[?]发现与提出问题缺失的因素

1. 教师方面的因素

当今社会，师生的关系已经转变为平等关系，但在实际教学中，传统的“师道尊严”、因循守旧的观念仍旧可见一斑，这导致了学生对教师所传授的内容保持着高度的赞同，从而导致学生不敢提问，逐步演变为不愿意提问. 课堂教学中，情境引入似乎已经是必不可少的了. 在情境引入的过程中，教师也会预设一些问题，但由于时间受限，任务的驱动，即使学生有表达的意愿，教师也会直奔预设的目标答案去引导，导致学生“非正确”地回答（“非正确”其实是一个新的问题），不予理会.当然还有一些课堂往往为了抓进度，课堂缺乏教学情境，教师讲课开门见山，直奔主题，课堂教学中没有问题，10分钟左右讲解公式、定理、概念等，然后就是铺天盖地的试题演练. 这种“满堂灌”的教学方法，也导致了课堂没有问题产生，只有试题的完成.

这样的课堂显然不能满足核心素养考查的需要，不符合核心素养的考查，为了学生成长的需要，作为教育工作者，不能仅仅满足于培养学生分析问题和解决问题的能力，还要着力培养学生发现问题和提出问题的能力. 倘若教师没有主动积极的态度去培养学生问题的意识或者自身问题意识不浓，又如何去培养学生的问题意识呢？

2. 学生方面的因素

在学生学习过程中，教师可以清晰地看到，每当一个题目或公式等讲完后，对于部分学生还是会存在一些没有能理解的內容，没有理解的内容可能是概念不清导致的，也有可能是解题步骤跳跃导致的，等等. 虽然这些并不能等同于问题，但即使这样的疑问学生往往也不太愿意提出来，更何谈去发现问题和提出问题呢？究其原因，由于传统课堂的因素，教师讲学生听已经由来已久，被动地接受知识成为常态，再加之教师相对的学术权威，学生也就无疑可问，导致学生不愿意提问了;有时也由于学生提出的疑问在教师看来比较简单，问不出有深度的问题，在提问的过程中，害怕教师批评，担心同伴嘲讽，又恐失去自信心，久而久之，碍于情面，也就不好意思问了;有时教师向学生提出问题时，学生回答错了，多数教师没有引导学生继续思考，改正错误，往往是再找别的学生回答，这样该学生的思维就没有能够得以继续，教师只希望听到正确答案，时间久了，学生的思维就逐渐模式化，缺乏敏锐地感知问题的能力，而不去主动探究;有一小部分学生对学习数学也想发表自己的见解，但是语言表达能力有限，加之长期没有锻炼的机会，缺乏技巧与方法，想问又不知如何问，往往又由于词不达意，不善于提问.

以上两个角度的思考，笔者认为作为高中学生而言，传统课堂的观念、教师的情境引入以及学生的心理状况，对问题的提出具有一定的影响，但这并非是影响较大的因素，而且高中学生已经具有了一定的语言表达能力. 笔者认为当前教学中主要还是以解题为导向的教学为主，提出问题的方法还很缺乏，所以方法的指导，专业化的训练显得十分有必要.

[?]什么是问题

美国教育家布鲁巴克认为：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题.”学生在学习过程中，强烈的问题意识可以让学生在探究和发现的过程中体会到挑战的刺激和成功后的喜悦，这就有利于提高学生的求知欲和学习兴趣，增强其学习的内在动力，让学生的主体作用在学习中得以充分发挥，创造思维的潜能得到不断的开发.那么什么是问题呢？商务印书馆出版的《现代汉语词典（第5版）》中对“问题”作出来了这样的解释：①要求回答或解释的题目;②须要研究讨论并加以解决的矛盾、疑难;③关键;重要之处;④事故或麻烦. 上述解释中，可以看出“问题”是未成解决的题目、疑难，在平时教学中，对教师已经讲解的问题，学生需要同伴或教师再次解释一遍而提出的疑问，则不应视为问题，这里笔者认为是学生存在知识或方法的遗忘.

例如：过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求此弦所在直线的方程.

解：①直线斜率不存在时，显然不满足题意;

②设直线的斜率为k，直线方程为y-1=k（x-2），与椭圆联立方程组得

+

=1，

y-1=k（x-2），消去y可得（1+4k2）x2+8k·（1-2k）x+4（1-2k）2-16=0，由韦达定理得x+x=. 因为M点是中点，故x+x=4，即4=，解得k=-，从而得到直线方程为x+2y-4=0.

当教师设出直线的斜率后，有学生问道：老师，你为什么去假设直线的斜率呢？这样的疑问，并不能成为真正意义上的问题，求什么设什么是常识，是待定系数法的体现，这是方法的盲区;也有学生问道：韦达定理是什么？这个就是知识的盲点了. 上述这些都是个体表现出来的知识与方法缺陷问题，并不能算作为真正意义上的问题.

学生对已经解决的问题，会有一个再现的过程，在这个再现的过程中，产生的没有想通的疑惑，这样的疑惑大都来源于公式、定理、概念等记忆的错误、计算的错误、教师讲解时跳步骤等，并不能成为真正意义上的问题.真正意义上的问题应该基于学生已有的认知下，以往没有触及的，具有一定的创新性、思辨性等特性. 发现者提出问题后，并不知道真伪，需要进一步对其进行研究、去伪、实证等过程. 只有理解了问题是什么，才能为教学提供明确的方向.

[?]方法呈现，抛砖引玉

1. 充分必要性策略

由充分必要条件可知，题目的结论与条件是可以互相转换的. 当条件与结论互换后，所产生的充分必要性就发生了改变，命题的真假性也随之而改变，这样的思路提供给学习者一个提出问题的好方法. 例如，余弦定理：在△ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c，则a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 教师可以引导学生将定理中的条件与结论互换一下，就产生了一个之前没有遇到过的新问题，即若a，b，c∈（0，+∞），A，B，C∈（0，π），满足a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC，则长度为a，b，c的线段构成三角形，且边a的对应的角为A，边b的对应的角为B，边c的对应的角为C，这个问题正确吗？

通过这样的方法就得出了一个新的问题，学生可以运用已学的知识，对其进行研究、证明或举反例等，从而判别出其正确与否.这样的反问方式，简单易操作，只要分析出命题中的条件与结论，对其进行互换，便可得出新的问题.

2. 類比策略

类比法是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法. 笔者曾在讲解直线与椭圆位置关系时，运用了类比的方法，引导学生主动积极地提出问题，现将教学片段展示如下，以作说明.

在研究直线与椭圆的位置关系时，我们可以类比直线与圆的位置关系进行研究. 判断直线与圆的位置关系有三种常见方法. 方法一：圆心到直线的距离d与圆的半径r进行对比;方法二：将直线方程与圆方程联立方程组，根据方程组解的个数来判断位置关系;方法三：特殊点求解法（即发现动直线的定点在圆内，可以确定直线与圆是相交的，但这种方法仅仅使用于直线与圆相交的情况）. 那么这三种方法适用于直线与椭圆的位置关系研究吗？这样的类比引入，引发学生思考，也易于学生发现与提出问题.

学生1：根据方法一，可以求解椭圆圆心到直线的距离，然后与椭圆中的参数a，b，c进行对比.

学生2：根据方法二，可以将直线方程与椭圆方程联立方程组，根据根的情况判断位置关系.

学生3：根据方法三，只要直线上有定点在椭圆内，即可判断直线与椭圆是相交关系.

教师可在此基础上，对学生提出的问题进行分析，辨析每个问题的正误，还可以引导学生在此基础上提出一些问题.

学生4：在方法一中，椭圆的圆心是什么？

学生5：若将椭圆的原点视作为圆心，那么得到的距离与哪一个参数进行对比，从而研究出位置关系呢？

学生6：直线方程与椭圆方程联立方程组，根据其解来判断直线与椭圆的位置关系，一定可靠吗？若是方程组有两解，直线与椭圆一定是相交吗？为什么？

教师：同为研究直线与曲线的位置关系问题，哪种方法可以迁移呢？哪种方法是更为一般的方法呢？显然是联立方程组的思路更具有普遍性. 那么为什么就不可以通过类比让椭圆的中心到直线的距离与椭圆中的相关量进行对比呢？

通过教师进行引导，学生还可以提出更多的问题，如利用椭圆中心到直线的距离与椭圆中的进行对比，来判断直线与椭圆的位置关系，等等.

通过类比的方法提问，学生在原有的基础上，能够轻松地提出相对应的问题，这样的问题或许比较容易否定，或许在教师看来有些幼稚，又或许短时间内难以用严谨的逻辑进行有效证明，但我们可以看出过程中激发了学生的学习兴趣. 在不断寻求解决所提出问题的过程中，又能提出更多的问题，形成“问题串”，是主动积极参与的表现，充分发挥了学生的主观能动性.不可否认，如此开放式的提问，课前需要教师更多的准备，课堂上需要教师更多的智慧，否则可能会导致课堂一团糟，产生一些尴尬的局面.

3. 特殊到一般策略

特殊到一般的方法是课堂教学中常见的手段，指导学生发现和提出问题是教学的一部分，这种方法也是适用的.笔者以讲解直线与圆的位置关系（高三复习课）为例，对此加以说明. 笔者先给出了三道试题，让学生完成.

（1）（2020年全国卷Ⅰ第6题）已知圆x2+y2-6x=0，过点P（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（  ）

A. 1 B. 2C. 3 D. 4

（2）（2020年全国卷Ⅰ第11题改编）已知☉M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作☉M的切线PA，PB，切点为A，B，则

PM

·

AB

最小值为________.

（3）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y-1）2=4，若直线l过点P（1，0），且与圆C相交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程.

当学生完成这三道试题后，笔者提出了这样一个问题：这三道试题都是为了求解最值问题，当我们大家完成后，有没有发现什么规律呢？

根据这三道试题，大部分学生提出了这样一个问题：当取最值时，圆心C与题中给出的点P的连线与已知直线是垂直的，难道所有题都是如此吗？

这个过程就是给学生基于特殊情况下的三道试题，发现和提出问题具有一般性问题的过程，这个问题提出后，通过教师取特殊值的指导和学生的努力，对其进行了否定.

教师：既然这样的规律不成立，那么你发现了什么规律呢？

学生7：第（3）题中，虽然不是两直线垂直时取最值，但是我发现在求解三角形的面积时，运用了S=r2sin∠ACB，始终是当∠ACB=90°时取最值，面积的最大值没有发生改变，可以得到一般性结论：过一点的直线与圆相交于A，B两点，围成的△ACB的面积最大值为定值. 当然不知道这个命题是否为真命题.

教师适当改变直线l经过的定点，通过特殊化的求解，得出这样的问题，显然不成立，这一过程中，学生又会产生新的问题.

学生8：通过求解，得出面积的最大值并不是恒定的，那么当经过的定点在何处时，才能取到这个最值呢？

学生8提出问题，是基于特殊值的判斷求解下，产生了一般性结论的过程，这个结论显然是可以进行思辨求证的，通过不同的角度（如轨迹、重要三角形、三角函数等）的深入研究，可以发现当CP≥r时，才能取到最大值，而当CP

特殊到一般的本质是由静态的量转变为动态的量，有时也可以认为是将条件中的数字转变为字母表示，通过一定的手段方法，验证其正确性. 如椭圆+y2=1与直线y=x相交于A，B两点，椭圆上一点Q（除A，B两点外），则可以得到k·k=-，可以对其进行一般化. 一般化的过程并非一下子就能找出相对终极的结论，需要不断试探纠错才能获得，可以先变为这样的问题：椭圆+=1（a>b>0）与直线y=x相交于A，B两点，椭圆上一点Q（除A，B两点外），可以得到k·k=-吗？在此基础上，再次对直线进行一般化，即椭圆+=1（a>b>0）与直线y=kx相交于A，B两点，椭圆上一点Q（除A，B两点外），可以得到k·k=-吗？

高考中有些较难试题的来历，往往就是运用了上述方法来命制的，学生掌握如此提问的方法后，对高考试题的理解也就变得更为深刻，在心理上就能减轻对难题的恐惧，增强解决难题的信心，为后续的成才奠定了基础.

[?]结束语

爱因斯坦曾经说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要.”因为解决问题的能力，只是实验数学，也就是自己用知识去解决前人解决的问题;而提出新的问题，新的可能性，新的角度看旧问题，它需要创造性的想象力，这标志着真正的进步. 可以看出，培养学生的问题意识，提高学生的数学问题意识，提出问题的能力是课堂教学中必不可少的重要的一环. 笔者认为，在教学过程中不论哪种方法策略，都要基于学生已有的认知基础而展开，还要遵循层次性、循序渐进等原则. 每个问题提出后，都需要留给学生一定的时间去进行去伪存真，切不可急功近利，只有在去伪存真的过程中，才能对问题不断地升级，并不断发展成为重要的结论. 学生思维一旦打开，学生提出的问题就如同“活水”一般源源不断，教师受到学生源源不断的“活水”影响，势必会倒逼教师要不停地努力，努力的过程就是教师成长的过程，教与学才更加相得益彰[1].

参考文献：

[1]  彭飞. 中学生数学写作，教学相长总相宜[J]. 数学教学通讯，2018（03）.