一道高考解析几何试题的解法探究及推广

2021-09-10张静徐小琴吴爽

数学教学通讯·高中版 2021年7期

张静徐小琴吴爽

[摘要] 解析几何是高考数学的重点和难点，运算量大、题型变化多、数形互化等是其突出特点.随着新课改对学生探究意识和应用意识的重视，解析几何中也逐渐渗透存在性问题.以一道典型解析几何试题为例，从问题的解法探究到问题推广应用进行深刻剖析，以期对此类探究性问题给予方法指导.

[关键词] 解析几何;解法探究;问题推广

解析几何是“代数”与“几何”沟通的桥梁，以数形互化为主要手段，巧妙地将几何问题借助代数运算得解.本文以2015年四川卷理科20题为探究素材，利用点对称法、角平分线定理、构造平行线段、执果朔因法、作差法、代数消元法、化简相消法、直接证明法8种方法求解问题，并对此存在性问题进行推广研究.

[?]试题再现

（2015年四川卷理科20题）如图1，椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率是，过点P（0，1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.

（1）求椭圆E的方程.

（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

[?]解法探究

解题是高中数学教学的重要内容，是中学生数学学习的主要活动[1]. 引导学生从不同的角度分析问题往往会产生不同的解题思路，一题多解有助于学生加深对知识的理解，构建和完善数学认知体系，培养学生思维的灵活性，提高数学解题能力.

对于问题（1），根据题目条件易得+=1. 对于问题（2），考查对=的转化和处理，下面利用点对称法、角平分线定理、构造平行线段[2]、执果朔因法、作差法、代数消元法、化简相消法、直接证明法这8种方法求解.

法一：（点对称法）

当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点. 若存在定点Q满足条件，则有==1，即

.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为（0，y）.

当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为（0，），（0，-）. 由=，有=，解得y=1，或y=2.

所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为（0，2）.

下证：对任意直线l，均有=.

当直线l的斜率不存在时，结论成立.

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x，y），（x，y）. 联立

=1，

y=kx+1，有（2k2+1）x2+4kx-2=0，其判別式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，所以x+x=-，xx=-. 因此+==2k. 易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为（-x，y）. 又k===k-，k=== -k+=k-，所以k=k，即Q，A，B′三点共线. 所以===.

故存在于点P不同的定点Q（0，2），使得=恒成立.

评注：通过作点B关于y轴对称的点B′，将QB转化成y轴右边的QB′，由QA，QB′的斜率表达式，易证Q，A，B′三点共线，最后利用相似三角形的知识得出==. 该方法设而不求，在解决问题的过程中充分运用数形结合的思想，将数与形巧妙结合，避免了复杂的运算过程.

法二：（角平分线定理）

前同解法一.

又k===k-，k===k-，所以k+k=2k--=2k-=0，又因为QP所在直线垂直于x轴，则QP是∠AQB的角平分线. 根据角平分线定理，=.

故存在与P不同的定点Q（0，2），使得=恒成立.

评注：联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系说明QP是∠AQB的角平分线，于是根据角平分线定理得出等式. 使用该方法解决问题的关键是充分认识到等式的几何特征，并联想到角平分线定理. 该方法简洁明了，对学生的初等几何知识掌握情况具有考查性. 使用该方法需要学生具有一定的初等几何知识储备量和敏锐的观察能力.

法三：（构造平行线段）

如图3，过A作x轴的垂线，过Q作线段QG使G点在垂线上且QG=QA，则AG∥PQ. 要证=，即证=，即证△ABG～△PBQ，即证B，Q，G共线.

前同解法一.

由QG=QA易知G（x，4-y），于是k===k-，k===-k+，又+==2k，故k=k，即B，Q，G共线.

故存在与P不同的定点Q（0，2），使得=恒成立.

评注：通过构造平行线段，将线段比例关系转化到相似三角形中，再利用相似三角形知识求证等式. 解决问题的关键在于通过转化由比例关系联想到相似三角形. 该方法具有一定的巧妙性，虽然过程简单，但不易操作. 使用该方法需要学生具有独特的审题视角.

法四：（执果朔因法）

前同解法一.

欲证=，即=，则需证=，由等比定理得，需证=，化简得（kxx-x）2=（kxx-x）2.

因为x≠x，所以需证kxx-x=-kxx+x，即需证x+x=2kxx，由x+x= -，xx=-，该式显然成立.

故存在与P不同的定点Q（0，2），使得=恒成立.

评注：从=出发，构建代数等式，寻求等式成立的条件. 在解决问题的过程中层层递进，充分利用了等式的性质，最后运用韦达定理证明等式成立. 该方法又称分析法，从结论出发逐步推向已知，是证明结论常用的方法之一，学生易学，但使用该方法解决问题时需要方向明确，注意等式成立的条件.

法五：（作差法）

前同解法一.

因为-=-==0，因此=. 故存在与P不同的定点Q（0，2），使得=恒成立.

评注：通过将等式=变形为-=0，结合韦达定理证得等式成立，从而解决问题.该方法简单快捷，关键在于对等式进行作差处理，变形后再求证，能够大量减少计算步骤，节约时间.

法六：（代数消元法）

前同解法一. 这里考虑不用韦达定理.

不难得出=，而==. 借助代数消元思想，考虑不用韦达定理的消元法，分别对的常数项消元、一次项消元、常数项与一次项消元、整体消元[3]，下简述一次项消元.

因为2kx-1=-，2kx-1= -. 又y=kx+1，y=kx+1，

从而==== =. 又因为=，所以=，即=.

故存在与P不同的定点Q（0，2），使得=恒成立.

评注：用代数式分别表示出和，观察式子，借助代数消元思想对进行消元处理，于是得出=，从而解决问题. 该方法充分利用了已有代数式的特点，通过带入消元，回避了韦达定理，解法新颖.

法七：（化简法）

当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点. 如果存在定点Q满足条件，则有==1，即QC=QD. 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为（0，y）.

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x，y），（x，y）. 联立

=1，

y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0. 其判别式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，所以，x+x=-，xx=-. 由=得=，化简得[kxx+（1-y）x]2=[kxx+（1-y）x]2. 因为x≠x，所以kxx+（1-y）x=-kxx-（1-y）x. 即（1-y）（x+x）= -2kxx，=，所以1-y= -1，y=2.

当直线l斜率不存在时，===3-2，==3-2，所以此时=也成立.

综上可知，存在点Q（0，2）使得=恒成立.

评注：通过直线l与x轴平行的特殊情况找到Q点的坐标应该满足（0，y）的形式;然后假设直线l的斜率存在，联立方程，利用韦达定理对等式=进行计算，不断化简等式求出y，从而得出Q点的坐标;最后对直线l斜率不存在的情况带入进行验证.

法八：（直接证明法）

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x，y），（x，y）. 设Q点的坐标为（m，n）. 联立

=1，

y=kx+1，可得（2k2+1）x2+4kx-2=0，其判别式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0. 所以x+x=-，xx=-. 由=得=，化简得[（-2m+2k-2nk）xx+（n-1）2（x+x）]（x-x）=0.因为x≠x，所以（-2m+2k-2nk）xx+（n-1）2（x+x）=0，即=0. 要使=恒成立，则需4n-4-4（n-1）2=0，

4m=0，解得m=0，n=2（n=1舍去）. 所以求得Q（0，2）.

当直线l斜率不存在时，===3-2， ==3-2，所以此时=也成立.

综上可知，存在点Q（0，2），使得=恒成立.

评注：首先假设直线斜率存在，设出Q点的坐标，然后联立方程，利用韦达定理求解等式=，得出Q点的坐标，最后对直线l斜率不存在的情况进行带入验证. 该方法思路清晰，是多数学生容易想到的方法，但这种方法步骤较多，且运算量大. 因此，该方法对学生的运算能力有一定的要求.

[?]问题推广

推广是数学研究中极重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广[4]. 抓住问题本质，通过对问题进行推广，产生新问题，探寻新方法，能够拓展学生的知识视野，培养学生的观察能力和创造能力.问题推广还有利于学生体会数学研究的一般思路：研究特殊问题→提出一般问题→解决新问题[5].

研究题目，将问题一般化，将P点一般化为P（0，m）（b>m>-b）放在y轴上，探究发现，存在与点P不同的定点Q使等式恒成立;再考虑将一般化后的P点放在x轴上，仍存在与点P不同的定点Q使等式成立.要证等式成立，根据角平分线定理，即证∠PQA=∠PQB，于是问题也可推广为证明∠PQA=∠PQB.考虑双曲线和抛物线，探究发现问题推广到双曲线、抛物线仍然成立[6].

推广1：椭圆E：+=1（a>b>0），过点P（0，m）（b>m>-b）（P（m，0）（a>m> -a））的动直线l与椭圆相交于A，B两点. 在平面直角坐标系xOy中，存在与点P不同的定点Q

0，

，0

，使得=或∠PQA=∠PQB.

推广2：双曲线E：-=1（a>0，b>0），过点P（0，m）（P（m，0）（a>m>-a））的动直线l与双曲线相交于A，B两点.在平面直角坐标系xOy中，存在与点P不同的定点Q

0，-

，0

，使得=或∠PQA=∠PQB.

推广3：抛物线E：y2=2px（p>0），过点P（m，0）（m>0）的动直线l与抛物线相交于A，B兩点.在平面直角坐标系xOy中，存在与点P不同的定点Q（-m，0），使得=或∠PQA=∠PQB.

参考文献：

[1] 李萌浩. 要专注高考考点更需拓宽学生视野——高三复习课一题多解教学方法探究[J]. 数学教学通讯，2019（09）.

[2] 刘玲，王强. 不忘初心任性算到底——2015年四川高考数学第20题[J]. 数学教学研究，2016，35（08）.