基于对话数学分析高三数学解题教学设计

王建河

【摘 要】解题教学是高中数学课程中常见的一种教学形势，通过解题不仅能够反映出学生对于知识的掌握程度，同时教师也可以集中强化学生对数学的再次理解以及应用能力，而学生在经过了一段时间的沉淀之后，在重新回顾数学知识时往往能够更加清晰地观察到知识的本质，进而对知识的理解层次能够获得进一步的提升。然而，在实践教学过程中学生在解题学习中的表现往往都是不甚理想，究其原因，在于大部分学生对于题意理解不明，并且课堂上缺乏一定的主体意识，常常根据教师的安排“指哪打哪”。基于此，本文结合三角形最值问题，站在对话数学的角度对高三数学解题教学设计展开研究。

【关键词】对话数学;解题教学;高中三年级;三角形最值问题

“对话数学”是根据心理学理论体系为依据，让学生通过不同层次的“对话交流”来准确把握题干中的关键信息，寻求解题的突破口，从而促进学生的学习热情，引导学生建立起反思总结的良好学习习惯，进而实现培养学生学科素养的目的。下面，本文结合高中数学中的“三角形最值”问题，来浅谈如何通过“对话数学”的方式为学生开展数学解题教学。

一、问题背景调查

三角形最值问题一直以来都是高中数学知识体系中较为重要的一项环节，同时也是高考中的必考项目。这一类考题通常会与函数以及不等式之间产生联系，因而对于学生的综合知识掌握情况考察的较为严格，同时在解题难度上也相对提高，因此导致学生在这类问题上失分现象较为严重。基于综合考量，高中数学教师有必要针对这一类问题展开专门探讨，寻求有效的解题技巧来提高学生的解题能力。

而对于学生解题能力的培养，則需要引导学生站在宏观角度上去理解三角形最值问题的出题特点，并探寻知识结构间的关联性，把握不同知识的运用特点，最终总结出适用性较强的审题规律。同时在实际解题过程中，学生要学会通过角度对换的方式来与题干中的关键信息展开“交流”，从而得以把握住解题重点，从中分析出具体的解题思路。为此，教师在为学生开展解题教学的过程中，应注意从多层次上对学生进行引导，让学生通过自主思考来建立起完整的知识结构。

二、对话命题者，了解题目立意

立意新颖的高考考题背后，是无数命题者对数学知识的深刻领悟与灵活运用。命题者通过数学问题来考验学生对数学知识与思想的领悟能力，而学生对这些内容的理解，最终可以构建成命题者预想当中的解题思路，实现与命题者思维的隔空对撞，完成了对学生的知识考查过程。

教师：谁能总结一下三角形最值问题的出题特点？

学生：这类问题通常结合正、余弦定理的概念，将三角形的边、角以不等式或等式的形式呈现出来，以此来计算三角形的面积或边长、夹角等最值问题。这类命题相对比较开放，同时出题方式多样灵活，可以与基本不等式等多种知识点结合起来，因此在解题过程中，应当详细思考题干内容。

帮助学生从命题者的角度来理解特定范围内的命题立意，可以帮助学生快速掌握该类题型的出题规律，并通过命题者的出题意图与思路，来摸索相应的解题切入点，从而能够更加精准的把握住解决此类问题的关键，对于学生解题技巧的提升发挥出了关键作用。

三、对话题干信息，寻找解题方法

题干中给出的信息是学生题目交流的渠道，通过与题干“交流”学生可以在了解题目含义的基础上进行充分的联想，寻找题干中的关键信息，比如特殊的数字与符号等等。从而发掘出试题真正的考察方向，绕过题干中无关信息的干扰，准确找到解题的的关键所在。

例一：已知三角形的三个角分别为A、B、C，如果A=π/4，计算√2cosB+cosC的最大值为多少。

在教学过程中，教师可以引导学生根据题型、问题特点来简单叙述一下对此题的看法，以此来总结出更加清晰的解题思路。

生A：这是一道三角形最值问题，根据题干中给出的信息，本题可以借助余弦定理来进行求解。

教师：总体思路是正确的，已知三角形的一个角A为π/4，那么通过三角形内角和定理，C=3/4π-B，将辅助角公式与余弦公式带入到题干中给出的等式当中，可以将其分解并计算：√2cosB+cosC=√2cosB+cos（3/4π-B）=sin（π/4+B），B的值域为（0，3/4π），因此当B为π/4的情况下，题干中所给出的函数有最大值为1。但是仅能通过这一个角度进行求解吗？

生B：此题还可以从另一个角度来进行思考，也是对B进行消元，从而根据C的三角函数求最值。即√2cosB+cosC=2cos（3/4π-C）+cosC=sinC，当C=π/2时，函数有最大值1。

教师：没错，这种形式也是正确的求解思路之一，那么，同学们能否根据这两种解题思路来总结一下规律，尝试叙述本题的切入点是什么？

学生经过讨论与总结，不难发现两种解题方法都用到了消、减元的知识，根据题干中给出的信息，学生可以总结出一个关键的信息，即三角形的内角和为180°，由此根据三角形的内角和定理，可以总结出A、B、C三个角的和为π，又根据题干中给出的已知量A，因此可以根据等量转换关系来消元B或C，从而形成了基本的一元三角函数关系式。

四、对话数学思想，探寻问题本质

学生在解题过程中，对知识的运用以及规律总结均离不开数学思想作为依据，掌握正确的数学思想精髓，可以帮助学生更加系统的建立知识框架，并使得学生解题应用过程中，能够更加精确地把握问题的本质。从而使学生不再依靠模仿来完成解题过程，而是充分开发个人的思维能力，灵活的将各类知识点应用到解题步骤当中。

例二：已知三角形三个角分别为A、B、C，已知BC=AC*cosC+AB*sinB，若AC=2，B=π/4，求三角形面积的最大值。

教师：三角函数是匀速圆周运动的一种体现，因此三角函数又被称为圆函数。在三角形问题中，三角形的边长和角的大小决定了一个三角形的形状，因此在解题过程中应当把握好三角形边和角关系。在这道题中，根据正弦定理，可以知道B在三角形外接圆的优弧移动，如图一所示。根据图形可以判断，B移动到AC的中垂线位置时，三角形面积有最大值，由题干信息可以求出BO=√2，DO=√R2-（AC/2）2=1，因此最大面积为CA/2*DB=√2+1。