多脱层复合材料层合板的固有频率计算

2021-07-09薛江红姚思诗金福松夏飞何赞航

华南理工大学学报（自然科学版） 2021年5期

薛江红姚思诗金福松夏飞何赞航

(暨南大学力学与建筑工程学院∥重大工程灾害与控制教育部重点实验室，广东广州 510632)

振动特性作为结构固有属性直接与其使用功能和应用范围密切相关。有关薄板的振动问题，国内外学者已经做了大量的研究工作。Gorman等[1]运用叠加法解答了各种不同边界条件组合下弹性板的自由振动问题；Kumar等[2]采用动态刚度法研究了功能梯度矩形薄板的自由振动特性；Shi等[3]应用一阶剪切变形理论与人工虚拟弹簧技术相结合，研究了任意四边形直板的自由振动特性；Kemal等[4]用调和微分求积法以及离散奇异卷积法这两种数值方法，研究了环形和环形扇形层板的自由振动分析；Li等[5]将Hamilton体系理论与叠加法结合，提出了辛一叠加方法来分析薄板的振动问题；Vidal等[6]将位移场近似为各坐标分离函数之和，用迭代过程解决复合材料层合板的非线性自由振动问题；Joshi等[7]用有限元法对均布载荷作用下的层合板逐层失效过程进行了自由振动分析；Xing等[8]提出了扩展变量分离法,来求解具有任意齐次边界条件的正交各向异性矩形薄板自由振动问题的封闭解析解。

脱层是复合材料层合板最主要的损伤形式之一。自从1976年Kachanov[9]提出复合材料层合板脱层的失效问题，以及1981年Chai等[10]首次建立一维梁的脱层分析模型起，不少学者也对复合材料层合板的脱层问题进行研究。Kharghani等[11]采用分层高阶剪切变形理论(LHSDT)，分析了不同边界条件对复合材料层合板在弯曲载荷作用下的影响；Zhong等[12]、田斌[13]构造了一种新的解析方法——有限积分变换法；Medikonda等[14]采用层合板层渐进破坏准则建立了一个应变率相关的微观模型，模拟脱层的扩展；Köllner等[15]采用总势能原理研究含脱层和基体裂纹层的正交铺设层合板的后屈曲和损伤增长；Xue等[16]提出了一种改进的Fourier级数法来求解任意边界条件下的中厚复合材料层合板的振动分析；Oliazadeh等[17]将梁函数用作简支边界条件的近似建立圆柱壳的振动微分方程，并与实验结果进行对比；Sheng等[18]利用一阶剪切理论，采用“刚度均摊”法分析了功能梯度材料加筋圆柱壳的动力稳定性和非线性振动问题；Lee等[19]基于Donnell壳体理论建立薄壁圆柱壳的振动微分方程，并推导出质量矩阵和刚度矩阵的显式表达式。由于接触力大小以及作用范围的不确定，上述文献中对含脱层层合板的主要研究方法为数值解法以及实验方法，而金福松等[20- 21]通过分析脱层界面的变形机制，运用复合材料微观力学，建立了脱层界面上下子板变形挠度与接触力之间的定量关系，并分解出宏、微观的多尺度变形模态，通过分析分层上下子板的屈曲模态，提出基于刚度等效的等代化模型。

本文通过分析含单脱层复合材料层合板的自由振动问题，建立了等代化模型，并将三分区等效模型推广应用到含多分层损伤的复合材料层合板的自由振动分析中。在满足边界条件和连续性条件的前提下，利用时间和空间分离的方法求解控制方程。通过编写MATLAB程序求解固有频率，同时进行ABAQUS有限元分析，验证等效模型的有效性，并讨论脱层深度、脱层长度、脱层位置等参数对含多脱层复合材料层合板固有频率的影响。

1 基本方程

图1所示为含单个沿宽度贯穿脱层的复合材料层合板，层合板为四边简支，长度为a，宽度为b，铺层数为n，单层板厚度为h0，总厚度为h，铺层方式为正交对称铺设。由于脱层的存在，可将层合板视为4个部分，分别为子板Ω1、Ω2、Ω3、Ω4。

(1)

图1 四分区模型

(2)

(3)

(4)

式中，N(i)和M(i)分别为第i个子板的薄膜内力和弯曲内力，具体参见文献[22]，薄膜刚度A(i)和弯曲刚度D(i)为

(5)

式中，ni为第i个子板的脱层数目。

2 等代化理论

2.1 精确模型

在一定的面内压缩荷载和面外荷载的共同作用下，层合板将产生面外弯曲变形。由于子板Ω2和Ω3的弯曲刚度不相等，导致其弯曲变形不同，从而在分层界面处产生接触。子板Ω2和Ω3接触时，它们之间的接触效应会对子板Ω2产生一个向上的接触力q，对子板Ω3产生一个向下的接触力q。接触力q将引起子板Ω2和Ω3的厚度改变，其厚度改变量分别为δ(2)与δ(3)：

(6)

(7)

因此，接触力q的大小与子板Ω2和Ω3的面外弯曲挠度存在着如下的关系：

q=kc(w(2)-w(3))

(8)

其中，kc为接触系数，w(2)和w(3)分别是子板Ω2和子板Ω3在z方向上的位移，且有

(9)

其中，h=h2+h3，E22为2方向上的杨氏模量[22]。根据复合材料结构力学，子板Ωi在横向振动时的平衡微分方程为

(10)

式中，Q(i)为第i个区域的薄膜内力，mi为该子板单位面积上的质量，

(11)

将式(4)中的M(i)和式(8)中的q代入式(10)中，并进行整理。由于薄板的自由振动为小挠度的线性问题，可以不考虑面内的薄膜变形，即N(i)=0 N，从而得到考虑接触效应后脱层板各子板横向振动时的控制方程：

(12)

脱层板为四边简支，各子板之间必须满足弯矩和剪力的平衡条件以及挠度和转角的连续性条件，故有如下的定解条件：

(13)

(14)

(15)

(16)

式中，w,x为子板的转角。为求解上述振动方程，将各子板位移设为满足边界条件的单重三角函数：

(17)

式中，ω为脱层板的固有频率，φ为脱层板自由振动的初相位角。将式(17)代入式(12)，运用分离变量法求解。

2.2 等效模型

由式(12)可以看出，子板Ω2和Ω3的控制方程是联立的，若要求解式(12)，则不仅需要解耦，而且必须满足各子板之间的平衡条件和连续性条件(式(13)-(16))。金福松等[20- 21]采用式(8)所建立的接触效应，在前期对含脱层层合板的非线性振动、屈曲以及后屈曲问题进行了研究，结果表明：①子板Ω2和Ω3的屈曲模态由宏观模态和微观模态组成，并且微观模态远远大于宏观模态。为了使两种模态对整体的屈曲模态有相当的影响，宏观模态的系数必须远远大于微观模态的系数；②子板Ω2和Ω3的宏观模态完全一致，这表明子板Ω2和Ω3的宏观变形也完全一致，不会产生张口式的扩展；③由于分层界面上的剪应力会导致面内滑移，脱层的扩展方式是Ⅱ型扩展而不是Ⅰ型扩展。

根据他们的精确模型研究结果，文中考虑将层合板中含脱层的区域等效为一个铺层方式一致的整板，整板的长度、宽度与子板Ω2、Ω3一致，高度为子板Ω2与Ω3的叠加，刚度D(e)为子板Ω2的刚度D(2)与子板Ω3的刚度D(3)之和，即

D(e)=D(2)+D(3)

(18)

图2为该脱层板的等代化模型示意图。由于脱层上下两个子板Ω2和Ω3被替换成无脱层的整板Ωe，因此方程(12)中不需要考虑接触力q的影响，从而解除了子板Ω2和Ω3控制方程的耦合作用。

图2 三分区模型

2.3 有效性验证

为了验证精确模型的精确性，文中根据经典层合板理论得到无脱层层合板的最小自振频率，并与精确解以及有限元解进行对比验证。为了验证等效模型的精确性，分别采用精确模型、等效模型和有限元模型计算某一层合板的固有频率。

层合板的几何参数为h0=0.002 m，a=2 m，b=2 m，铺设方式为[0°/90°/0°]20，故h=0.12 m。材料参数密度ρ=2 150 kg/m3，1方向上的杨氏模量E1=140 GPa，2方向上的杨氏模量E2=10 GPa，面内剪切模量G12=5 GPa，12方向泊松比μ12=0.3。为了求解无脱层层合板最小自振频率的精确解，可以令脱层深度为0.006 m，脱层长度为0.001 m，这时可认为脱层影响可以忽略不计，计算的结果可以近似为无脱层层合板的最小自振频率。最小自振频率的经典解、精确解和有限元解分别为775.55、776.00和750.63 rad/s，由此可以看出，精确解与经典解之间的差别非常小。

有限元分析采用ABAQUS商业软件进行建模。建模时，采用精确模型，在无脱层的区域各建立一个子板，含有单脱层的区域建立两个子板。在脱层上下子板间施加法向约束以防止贯穿，模拟脱层。每个子板都有其独立的坐标系，4个子板为单独的壳单元，为了使4个子板在变形过程中保持位移连续，将子板Ω1与Ω2、Ω3通过添加绑定连接在一起，同理子板Ω4与Ω2、Ω3也添加绑定。在板的四周施加四边简支的边界条件，即可得到如图3所示的ABAQUS有限元模拟结果。

图3 层合板的固有频率有限元模拟结果

表1给出了当l1=l3，l2分别为0.4、0.6和1.2 m时，含有单脱层层合板固有频率的等效模型解、精确解以及有限元解的对比。其中，ωe为等效模型解，ωex为精确模型解，ωf为有限元解。由表1可得，精确解与等效模型解、有限元解吻合得较好，并且精确解与等效模型解的误差小于4.87%。

表1 固有频率精确解与等效模型解的对比Table 1 Comparison of natural frequency between the exact model and the equivalent model

3 含多脱层层合板自由振动的基本方程

图4所示为含多个沿宽度贯穿脱层的复合材料层合板，其几何尺寸和铺设方式与含单脱层层合板的情况一致。根据脱层情况，层合板被沿x方向分为N个区域，每个区域含有nN个贯穿脱层。根据等代化理论，每一个区域都可以等效成为一个不含脱层的整板。在一定面外荷载的作用下处于平衡位置的层合板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当去除干扰力后，薄板在平衡位置附近作微幅振

图4 含多脱层的复合材料层合板的精确模型

动。等效之后的各区域是不含脱层的整板，则区域I自由振动的控制方程为

(19)

其中，各区域的刚度折减为

(20)

各区域之间的平衡条件和连续性条件也简化为

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

式中，lI为区域I的宽度，λ(I)为区域I的模态参数，且有

λ(I)=

(26)

式(25)必须满足边界条件(21)、(22)和连续性条件(23)、(24)，由此可得：

R(ω)X=0

(27)

4 算例分析

在算例分析部分，层合板的几何尺寸、铺层方式以及材料参数与前文一致。在有限元分析部分，对于含多脱层的层合板，每一个脱层上下的子板之间都要施加法向约束，如图5(a)所示；在每两个区域的交界处都要添加绑定，连接成一个完整的层合板，如图5(b)所示。

图5 含多脱层层合板的有限元分析模型

4.1 多个水平向脱层的分析

图6为含水平向双脱层的复合材料层合板的示意图，其中脱层长度分别为ld1、ld2，脱层深度均为h1。

图6 水平向双脱层复合材料层合板示意图

4.1.1 脱层长度与深度对固有频率的影响

图7(a)显示了当l1=l3，l2=0.3 m，含有两个等长脱层的复合材料层合板，即ld1=ld2时，在不同的脱层深度h1下，其固有频率随脱层总长度2ld1的变化情况。图7(b)给出了当脱层总长度ld1+ld2=0.8 m且保持不变时，含脱层的复合材料层合板的固有频率随ld1变化的曲线。从图7(a)

图7 含脱层层合板固有频率随脱层长度的变化

中可以看出：当脱层深度不变时，固有频率随着脱层总长度的增大而减小，并且脱层的深度越大，脱层长度对固有频率的影响越大。这是由于脱层总长度增加时，含脱层的子板尺寸占总体比例增加，导致层合板整体的刚度减小。而在脱层总长度ld1+ld2恒定时，如图7(b)所示，层合板的固有频率随ld1的增大先增大后减小，并且在ld1=ld2时层合板的固有频率取到最大。这表明在脱层总长度ld1+ld2恒定时，含脱层的复合材料层合板的固有频率主要取决于所有脱层中的最大长度。

图8给出了当l2=0.3 m时，含有对称、等长脱层的层合板(ld1=ld2，l1=l3)自振频率随脱层深度变化的情况。从图中可以看出，当脱层总长度不变时，自振频率随着脱层深度的增大先减小后增大。当h1=0.06 m，即脱层发生在中面时，层合板的自振频率达最小。这是由于脱层发生在中面以上时，位于脱层之下的区域的刚度(图6中颜色较深的区域)对脱层板的刚度起主导作用，随着脱层深度的增加，这些区域的刚度减小，但依然大于位于脱层上部的区域(图6中颜色较浅的区域)的影响，从而导致脱层板的刚度减小。当脱层发生在中面以下时，情况正好相反，图6中颜色较浅的区域对脱层板的刚度起主导作用，且随着脱层深度的增加，这些区域的影响增大，从而导致脱层板的刚度增大。

图8 含脱层层合板固有频率随脱层深度h1的变化

4.1.2 脱层横向位置对固有频率的影响

当脱层长度ld1=ld2=0.5 m以及脱层深度h1=0.06 m时，在不同的脱层间距离l2下，含脱层的复合材料层合板的固有频率随l1变化的曲线如图9所示。从图中可以看出：当脱层深度不变时，固有频率随着l1的增大先减小后增大，并且在l1=l3时固有频率最小，这表明脱层越靠近中心位置，自振频率越小。

图9 含脱层层合板固有频率随l1的变化

表2给出了当l1=l3，l2分别为0.2、0.4和0.6 m时，在不同脱层深度下，含有对称、等长脱层(ld1=ld2=0.5 m)层合板的固有频率。从表2中可以看出，等效模型解与有限元解的结果非常接近，并且误差小于3.86%。

4.2 多个竖直向脱层的分析

图10为含竖直向等长双脱层的复合材料层合板的示意图，其中脱层长度为ld1，脱层深度分别为h1、h2、0.12-h1-h2。

4.2.1 脱层深度对固有频率的影响

为了研究脱层深度的变化对层合板固有频率的影响，考虑脱层深度为对称(即脱层位于h1/(0.12-2h1)/h1)和不对称(即h1/h2/(0.12-h1-h2))两种分布情况。图11(a)给出了对称分布情况下，当l1=l2时，在不同的脱层长度ld1下，含脱层的复合材料层合板的固有频率随h1的变化情况。从图中可以看出，当脱层长度不变时，固有频率随着脱层深度h1的增大先减小后增大。当两个脱层将层合板沿厚度方向3等分(即0.04 m/0.04 m/0.04 m)时，层合板的固有频率最小。这是由于脱层发生在层合板上、下两侧小于1/3处时，位于脱层之间的区域的刚度(图10中颜色较深的区域)对脱层板的刚度起主导作用，随着脱层深度的增加，该区域的刚度减小，但依然大于位于脱层上部的区域(图10中颜色较浅的区域)的影响，从而导致脱层板的刚度减小。当脱层发生在层合板沿厚度方向的1/3处与2/3处时，图10中3部分的影响一样，层合板的整体刚度此时最小。随着脱层深度的进一步增加，图10中颜色较浅的区域对脱层板的刚度起主导作用，这些区域的影响增大，从而导致脱层板的刚度增大。这表明在脱层长度ld1恒定时，含脱层的复合材料层合板的固有频率主要取决于脱层的分布情况，脱层分布得越均匀则固有频率越小。

图10 竖直向双脱层复合材料层合板示意图(单位：m)

图11(b)显示了在不对称分布的情况下，当l1=l2=0.7 m以及ld1=0.6 m时，在不同的脱层深度h1下，层合板的固有频率随脱层间距离h2的变化。从图中可以看出，当脱层分布为0.024 m/0.024 m/0.072 m、0.024 m/0.072 m/0.024 m、0.072 m/0.024 m/0.024 m时，复合材料层合板的固有频率相等。这表明复合材料层合板的固有频率与脱层深度没有绝对的关系，而是与脱层的分布情况有关。当脱层分布为0.006 m/0.006 m/0.108 m、0.006 m/0.108 m/0.006 m、0.108 m/0.006 m/0.006 m时，复合材料层合板的固有频率相等且最大。这表明在3个脱层深度中，当一个脱层深度最大、另外两个脱层深度最小时，复合材料层合板的固有频率最大。

表2 含水平向双脱层层合板固有频率的等效模型解与有限元解的对比Table 2 Comparison of natural frequency of composite laminates with two horizontal delamination between the equivalent model and the finite elements analysis

图11 含脱层层合板固有频率随脱层深度的变化

表3给出了当ld1分别为0.2、0.4和0.6 m时，在不同脱层深度下，脱层深度对称层合板(即脱层位于h1/(0.12-2h1)/h1处)的固有频率。从表3中可以看出，等效模型解与有限元解的结果非常接近，并且误差小于7.76%。

表3 含竖直向双脱层层合板固有频率等效模型解与有限元解的对比Table 3 Comparison of natural frequency of composite laminates with two vertical delamination between the equivalent model and the finite elements analysis

4.2.2 脱层数目对固有频率的影响

表4给出了当l1=l3=0.85 m，ld1=0.3 m，含有不同脱层数目时层合板的固有频率范围。从表4中可以看出，当某相邻两个脱层的间距取最大值、其余相邻脱层距离取最小值时，层合板的固有频率达到最大值，当脱层分布最均匀时，层合板的固有频率为最小值。如脱层数为2，脱层位置在0.006 m/0.108 m/0.006 m时，固有频率最大，在0.04 m/0.04 m/0.04 m时，固有频率最小。此外，当脱层数目增加时，复合材料层合板的最大固有频率以及最小固有频率均减小。

表5列举了脱层数目为2-5时几种脱层深度情况下层合板的固有频率。从表中可以看出，含有较少脱层数目层合板的固有频率可能会比含脱层数目多的层合板的固有频率低。这表明层合板的固有频率不仅与脱层数目有关，还要考虑脱层的分布情况。