多孔介质Boussinesq问题的解析解

杨鹏程，黑太平，胡 航，冯良海，张 洋，赵宝生

（辽宁科技大学 机械工程与自动化学院，辽宁 鞍山 114051）

多孔介质是指由固体骨架和大量微小孔隙构成的结构，孔隙中充满液体或气液两相物质。当液体充满孔隙时，称为饱和多孔介质，这种介质内部存在固液耦合现象［1］，该结构的研究被广泛应用在地下含水层、天然气储层、地质结构等领域。孔隙间液体的运动会影响到固体骨架的变形，比单纯的固相研究要复杂，因此研究多孔介质对工程有重大意义。早期的地基理论，仅研究固相介质，如普遍使用的Winkler地基模型［2］和双参数地基模型［3］，关于存在液相状态的地基研究较少，而现实中对于土壤等材料分析时，液相对结构的影响是不可忽略的［4］。对于饱和多孔介质而言，其内部固相骨架和孔隙液体之间的位移、作用力相互耦合，产生了与单相材料截然不同的运动特性［5］。梁发云［6］深入分析多孔介质理论，对含液相地基中骨架变形进行系统研究，形成根据土的压缩模量估算变形模量的方法。王立安等［7］利用一阶Hankel 变换，研究非均匀多孔介质地基半空间扰动问题，获得了水饱和与气饱和两种地基的动力响应。熊春宝等［8］研究了孔隙率的变化对弹性地基的影响。高广运等［9］利用有限单元法研究高铁荷载下准饱和分层地基的动力响应。Boussinesq 问题是弹性力学的基本问题之一，最初专指各向同性半平面上作用集中力的问题［10］，后被推广到横观各向同性材料［11］等领域，现在泛指界面作用集中力的半平面问题。本文以多孔介质基本方程为研究基础，给出多孔介质Boussinesq问题的简便形式的解析解，为获得普适的地基模型提供理论基础。

1 多孔介质的基本方程

根据Ziekiewicz等［12］的研究，在极坐标（ρ,φ）下，多孔介质的应力与应变关系式为

无体力平衡方程为

式中：ρ,φ是极坐标下的极径和极角；uρ,uφ为骨架位移；σρ,σφ,τρφ为骨架应力；ερ,εφ,γρφ为骨架应变；E为骨架的弹性模量；μ为骨架的泊松比；p为孔隙水压力。

稳态流体的运动方程为

式中：vρ,vφ为流体的流速；k为流体渗透系数与粘度系数之比。

流体的质量守衡方程

p满足极坐标下Laplace方程

与单一各向同性材料基本方程进行对比［13］，引入Airy 应力函数研究多孔介质，利用应力函数Φ 将骨架应力场写成

2 Boussinesq问题的应力场

Boussinesq问题是弹性力学的基本问题，研究表面作用集中力的半平面问题。如图1 所示。在半空间多孔介质上作用一集中力，该力与界面垂直，半空间满足多相孔隙介质的基本方程（1）~（6），在y轴截面处O点作用横向集中力F，在界面上（-a,a）的范围内有液体流入，流入的体积速度为Q。根据 Saint-Venant 原理［14］，在小边界{|φ|≤π/2,ρ=a} 上的边界条件可以设为

图1 受横向载荷作用的半平面多相孔隙介质Fig.1 Half-plane multi-phase porous medium under transverse load

大边界{φ=±π/2,ρ>a} 上的边界条件为完全透水

将通用的半逆解法引入到多孔介质Boussinesq 问题的研究当中，应力函数Φ 和孔隙水压力p设为

式（12）自动满足式（6）和式（9）。利用式（8）获得骨架应力场为

将式（13）代入边界条件（10）的前两式，可得

将式（12）的第二式代入边界条件（10）和（11）的最后一式，并利用式（4）可得

最终获得骨架的应力场和液体压力为

3 Boussinesq问题的位移场

为了获得地基的沉陷情况，需要计算半平面问题的位移场，将式（16）代入式（1），可得应变场

为方便，引入两个常数

代入式（2），可得

对式（19）的第一式两侧对矢径进行积分，得

其中，f1(φ)为与矢径ρ无关的待定函数，代入式（19）的第二式并对矢角进行积分，得

其中，f2(ρ)为仅与矢径ρ有关的待定函数，将式（20）和式（21）代到式（19）的最后一式，得

根据f1(φ)和f2(ρ)两个待定函数的互不耦合的特点，可以将式（22）分为两个方程

式（23）的第二式可以直接获得通解

其中，B1为待定常数，引入函数f3(φ)= ∫f1(φ)dφ，则式（23）的第一式化为

式（25）的通解

将式（24）和式（26）代到式（20）和式（21）中，可以获得

其中，B1代表刚体转动，B2和B3分别代表竖直和水平方向的刚体平移。根据对称性可知，B1=B3=0，故骨架位移场为

根据式（28），计算在界面(φ=π/2)上的沉陷为

其中B2需要根据周边的位移情况来确定。

仿照Flament 解答［13］，获得相对沉陷 Δ ，以消除B2的影响

其中，s为选取基点到O点的距离。如果忽略液相的影响，仅考虑固相，即令Q=0，与单相各向同性材料的结论一致。

4 结 论

从饱和多孔介质基本方程出发，利用应力函数研究多孔介质的Boussinesq问题，利用弹性力学通用的半逆解法，获得了半空间多孔介质在界面上作用横向集中力和小范围液体源的解析解，该解析解直观展示了多孔介质内部固相骨架应力场、位移场和液相压力场的分布情况，固相应力场和液相压力场沿极径方向逐渐减小，沿极角方向呈余弦分布，在界面处为零。物理场完全满足多孔介质材料的基本方程和边界条件，是精确解。根据集中载荷和液源工作作用下对界面位移的影响，可以为多孔介质地基的研究提供了理论基础。