基于积分不等式的多时滞电力系统稳定性分析

郭良栋，张 旺

（辽宁科技大学理学院，辽宁 鞍山 114051）

随着电网规模的不断扩大，在“西电东送”和“全国互联”等国家政策的指挥下，互联电网逐渐形成了一定的规模［1］。互联电网加强区域间的电力连接，提高电网运行效率，但也产生了一系列更为复杂的时滞问题［2］。由于运行条件更为复杂，区域间不时出现低频振荡［3］。与传统电力系统就地测量和现场控制相比，互联电网采用广域控制，需要同时使用远程信号和本地信号。所以，即使时滞很小，也可能对电力系统的稳定性产生重大影响［4］。因此，研究电力系统时滞稳定裕度有重要意义。

目前进行的时滞系统研究中，常采用构造L-K（Lyapunov-Krasovskii）泛函，利用 Lyapunov 稳定性理论和线性矩阵不等式求解［5-6］得到最终的系统稳定性判据。而此方法研究重点和难点是如何构造适当的L-K 泛函和L-K 泛函求导后放缩以降低稳定性条件的保守性。

通常情况下，使用不同的放缩不等式会对结果保守性产生不同程度的影响。文献［5］利用Jensen 不等式得到稳定性判据，计算量小，但保守性较大。文献［7］利用自由矩阵的积分不等式得到一类时滞系统的稳定性判据，由于引入自由矩阵，计算量偏大，但可以得到保守性更小的判据。文献［8］用Wirtinger 不等式代替Jensen 不等式，放缩得到更紧的下界。文献［9］得到单时滞电力系统的判据，但没有推广到多时滞系统。文献［10］基于辅助函数的不等式得到判据，但由于引入过多变量，导致计算量过大。文献［11］给出基于Bessel-Legendre 不等式的稳定性判据，但应用条件繁琐。文献［12］构造含有多重积分项的泛函，得到保守性更小的新结果，但能否推广到多时滞系统有待研究。文献［13］推导出更复杂的Wirtinger不等式，但需要匹配特定的L-K泛函，计算复杂度较高。文献［14］将系统判据简单地推广到多时滞系统。文献［15］用自由权矩阵和Jensen 不等式推导多时滞系统判据。文献［16］提出优化L-K 泛函和评估保守性的新方法。

针对多时滞电力系统稳定性分析，文献［17-18］通过设计新的L-K泛函得到新判据，但此方法推广到多时滞系统时计算量过大。文献［14］虽推广到了多时滞系统，但得到的时滞区间太小，结果保守性较大。而且，上述文献在L-K 泛函设计中引入的矩阵都要求是正定对称的。受文献［19］的启发，本文引入自由矩阵替代L-K 泛函中的部分矩阵对称正定，设计新的L-K 泛函，结合F-M-B（Free Matrix-Based）积分不等式，以期得到系统更大的时滞稳定裕度。

1 时滞电力系统的数学模型

含有时滞环节的电力系统模型可以表示为时滞-微分代数方程

2 时滞电力系统稳定性判据

2.1 二阶时滞电力系统

当式（4）中i=2 时，得时滞系统模型

注意到这里只要求Q1,Q2,Q3对称，依据文献［16］，给出代替矩阵Q1,Q2,Q3正定的条件。

2.2 多时滞系统稳定判据

当式（4）中有k个时滞时，得到如下稳定性判据。

3 算例分析

考虑式（5）中的系统，其中

若τ1=τ2，仅取矩阵A0，A1，系统（5）稳定区间上界为6.058 9。文献［20］中给出的系统真实稳定区间上界为6.172 5。利用判据1 与目前已有的结果进行对比，结果如表1所示。本文构造的L-K泛函中，矩阵Q1，Q2，Q3只需满足对称，无需满足正定，大大降低了判据的保守性。从L-K 泛函推广到多时滞系统中的结果看去掉了文献［9］中ζT(t)的二重积分项，计算量更小。

表1 给定τ1 时保证式（5）中系统渐近稳定的范围Tab.1 Range of τ2 that guarantees asymptotic stability of system in equation（5）when τ1 is given

表2 给出本文判据与相关文献决策变量的数量。与现有文献相比，本文判据有较少的决策变量或更大的时滞稳定裕度。

表2 各方法决策变量数Tab.2 Number of decision variables in each method

4 结 论

本文提出适用于多时滞电力系统的稳定性分析新方法，将L-K 泛函引入的部分矩阵的取值条件从正定对称变成对称，结合基于自由矩阵的积分不等式，得到保守性更低的稳定性判据。典型的二阶时滞系统的仿真实验证明，本文判据比目前已有的文献保守性更小，可以算出系统多个时滞稳定区间。后续研究将关注时滞电力系统在受到随机扰动的稳定性分析。