材料力学中一个较真的问题1)—— 梁在集中力作用点处的剪力分析

郭昱均 黄 可 金鹏飞 范钦珊,† 李栋栋,

∗(南京航空航天大学航空学院，南京 210016)†(清华大学航天航空学院，北京 100084)

在材料力学中，将主要承受弯曲作用的力学模型称为梁。对梁进行强度设计时，首先需绘制其内力图以确定危险截面。如果梁上有集中力作用，则在集中力作用点处两侧截面上的剪力会发生突变，突变的数值就等于集中力(包括外力和约束力) 的大小[1]。然而目前大多数材料力学教材没有明确给出集中力作用点处截面剪力的值。按照材料力学中的理论，在剪力图中由于忽略了集中力的作用长度，所以作用点处为一个奇点，即载荷集度趋向于无穷大，这与实际是不相符的。

因此，为了解决该问题，本文先以任意位置受一个集中力作用的简支梁为例。根据实际情况，将作用于一点的集中力等效[2]为作用于一微段的对称分布载荷并进行简单分析和计算，从而得出了在梁受集中力作用点处截面剪力是连续变化这一结论，进一步确定该截面上的剪力，之后将所得结论推广至一般受力情形的梁。

1 由材料力学中剪力和剪力图而提出的问题

本文从任意位置受一个集中力作用的简支梁开始研究。如图1 所示，l1和l2分别为集中力F的作用点到A和D两端的距离，FRA和FRD分别为A和D两端支反力的大小。基于该理想化模型，分析梁上受集中力作用点处截面上的剪力，梁的剪力图如图2 所示。可以看出，在集中力作用点左侧剪力为-FRA，右侧剪力为FRD。较真的问题是：集中力作用点处剪力为多少？

图1 受集中力作用的简支梁

图2 受集中力作用的简支梁的剪力图

2 载荷模型简化引起的问题

将实际问题抽象成力学模型时，集中力是考虑到相对尺寸大小并方便求解，经合理简化后只作用在一点处的力。但在实际中，力是不可能作用于某一点，而是作用于某一微段。因此，以下将集中力等效为作用在某一微段上的均布载荷、对称抛物线分布载荷，进一步推广至任意对称分布载荷。

2.1 基于均布载荷的等效简化

考虑到集中力作用在梁上的某一微段，可用均布载荷对其进行力系等效。如图3 所示，将集中力等效为一个关于其作用点处截面对称的均布载荷。均布载荷的长度为l，故载荷集度q=F/l。记均布载荷左、右端点处截面剪力分别为FQB和FQC，集中力作用点处截面剪力为FQ。梁的剪力图如图4 所示，可以看出在集中力作用点处剪力是连续的，其代数值为

图3 受均布载荷作用的简支梁

图4 受均布载荷作用的简支梁的剪力图

将集中力等效为均布载荷后，集中力作用点处截面上的剪力等于均布载荷作用段两侧截面剪力的平均值。

2.2 基于对称抛物线分布载荷的等效简化

进一步地，以对称抛物线分布载荷对集中力进行力系等效。如图5 所示，将集中力等效为一个关于其作用点处截面对称的抛物线分布载荷，载荷作用长度为l，故在分布载荷作用区间内

图5 受对称抛物线分布载荷的简支梁

将式(2) 代入式(3)，可得FQ=FQB+F/2，而FQC=FQB+F，同样可以得到式(1) 所示结论。

2.3 基于任意对称分布载荷的等效简化

更进一步地，将集中力等效为关于其作用点处截面对称的任意分布载荷，且考虑分布载荷有无连续性要求。

2.3.1 若对称分布载荷具有连续性

如图6 所示，将集中力等效为分布载荷，载荷作用长度为l，载荷集度为q(x)，与上述一样，记分布载荷左、右端点处截面剪力分别为FQB和FQC，集中力处截面剪力为FQ。从式(11) 可以看出：将集中力等效为关于其作用点处截面对称的任意连续分布载荷时，集中力作用点处截面上的剪力也等于分布载荷作用段两侧截面剪力的平均值。

图6 受任意连续对称分布载荷的简支梁

2.3.2 若对称分布载荷不具有连续性

如图7 所示，对称分布载荷在作用区间内不连续，但其载荷集度还是可以表示成q(x)。故此时，只需将式(6)右端改为分段积分，且按同样的推导也可以得到相同的结论。

图7 受任意不连续对称分布载荷的简支梁

由以上讨论可知，用对称分布载荷对集中力进行力系等效时，对称分布载荷是否在区间内连续对于得到最终结论没有影响。

2.4 一般受力情况的梁

前面都只讨论了简支梁受一个集中力的情况，那么，对于受一般约束以及多个载荷的梁，是否还能得到相同的结论呢？

如图8 所示，将梁的约束去掉，以约束力代替，在图示力系作用下，梁整体处于平衡状态。实际上，对于作用在梁上的任意一个集中力FPi，都可用上述方法，将此集中力等效为关于其作用点处截面对称的分布载荷qi(x)，记此分布载荷左、右端点处截面剪力分别为FQi1和FQi2，集中力作用点处截面剪力为FQi。考虑到等效分布载荷qi(x) 与外加分布载荷q0(x) 的共同作用，将式(4) 改为

图8 受任意约束和多个载荷的梁

其中，xi和di分别为集中力FPi作用点处的横坐标和等效分布载荷qi(x) 的作用长度。

对于集中力FP2，其作用点处没有外加分布载荷作用，因而FP2作用点处截面上的剪力等于等效分布载荷作用段两侧截面剪力的平均值；但是对于集中力FP3，其作用点处有外加分布载荷作用，因而FP3作用点处截面上的剪力不一定等于等效分布载荷作用段两侧截面剪力的平均值，还与外加分布载荷q0(x) 有关。

回顾上文，对图2 中在集中力作用点处的奇点问题进行分析。将集中力等效为均布载荷时，即

由式(4)知，剪力图中均布载荷所对应的直线的斜率为q(x)。因此，当l →0 时，q(x)→∞，即剪力图在集中力作用点处截面会有突变，说明了将集中力视为只作用在一点处的力是剪力图中的奇点问题产生的主要原因。

3 结论

本文采用对称分布载荷进行力系等效，将集中力作用点处没有外加分布载荷作用时截面剪力情况求出：集中力作用点处截面上的剪力是连续变化的，且等于分布载荷作用段两侧截面剪力的平均值，对材料力学教材中没有详实说明的问题进行了一定的补充。对于集中力偶作用点处截面弯矩也可通过类似的方法得出结论。本文仅通过对称力系等效的数学推导对此问题加以说明，而对于非对称力系等效的情况，一般无法得到本文中式(1) 所示的简单结论，因为若想确定集中力作用的具体位置，需要进行复杂的积分运算及数值求解，且其剪力图是非线性的，分析计算较为困难。故若将集中力等效为非对称力系时，具体问题需具体分析。