勒让德方程本征值的确定

杨守文， 王海军

(吉林大学 物理学院，长春130012)

1 引 言

针对勒让德方程的求解，大部分数学物理方法教材，通常采用常点邻域的级数解法进行求解[1-4]，然后针对勒让德多项式的性质进行深入学习[5-6].然而，勒让德方程中的本征值λ一般直接写成l(l+1)形式，即

在求解过程中，对本征值λ为什么可以写成l(l+1)的形式，而不写成其他的表示形式，大部分教材没有给出详细的说明.每次学习到这部分内容，学生都会对此产生疑问：为什么本征值λ可以直接写成l(l+1)的这种特殊的形式？

针对这个问题，本文对勒让德方程本征值λ的表示形式进行深入的讨论.

2 勒让德方程的级数解法

勒让德本征方程的一般形式为

(1)

其中-1≤x≤1，λ为本征值.

根据常点邻域的级数解法，勒让德方程的解y(x)可以在x=0的邻域内进行泰勒级数展开

(2)

将(2)式代入(1)式，整理可得

上式的左边是一个关于x的多项式.要保证对于任意的x，上式恒成立，必须要求每一项xn(n=0，1，2，…)的系数均为零.因此，通过数学归纳法，可以得到系数的递推公式

(3)

由递推公式(3)可知，c2k(k=1，2，…)最终可用c0表示，c2k+1(k=1，2，…)最终可用c1表示.因此，可以通过(3)式，可以推导出偶次幂项系数c2k和c0的关系

(4)

以及奇次幂项系数c2k+1和c1的关系

因此，勒让德方程的泰勒级数解(2)可以分成偶次幂项之和与奇次幂项之和

y(x)=c0y0(x)+c1y1(x)，

其中

y0(x)和y1(x)在定义域-1≤x≤1均是无穷级数，因此必须判断它们在定义域内的收敛性.与大部分教材类似，很容易判断出y0(±1)和y1(±1)是发散的，关于无穷级数的收敛性此处不再赘述.要找的勒让德方程的解必须满足边界条件y(±1)有界.如果无穷级数y0(x)、y1(x)可以退化成有限项的多项式，那么y(x)在x=±1发散的问题就不存在了.

由公式(3)可进一步得到偶次幂项系数相邻两项的递推公式

(5)

由上式可知，当本征值λ=2n(2n+1)时，系数c2n+2=0，继而由递推关系可得c2n+4，c2n+6，…=0.因此，无穷级数y0(x)将被截断成多项式，其在定义域内自然是收敛的.而此时，无穷级数y1(x)在边界x=±1仍然发散.要保证通解y(x)有界，必然要求c1=0.

因此，勒让德方程的通解退化为

y(x)=c0y0(x)，

其中y0(x)是一个在定义域-1≤x≤1收敛的、最高次幂为2n的多项式，即

(6)

将λ=2n(2n+1)代入(4)式，系数c2k可简化为

(7)

将(7)式代入(6)式，整理可得

进一步令系数

则可得勒让德方程的本征解为

上式是当λ=2n(2n+1)(n=0，1，…)，勒让德方程的本征解.用一个专用函数P2n(x)来表示

其中，n=0，1，2，….

或者，用l表示，令l=2n，则

(8)

其中，l=0，2，4，….

同理，当λ=(2n+1)(2n+2)时，由公式(3)可得系数

继而通过递推公式可得系数c2n+5=c2n+7=…=0.因此，无穷级数y1(x)被截断成多项式，在定义域内是收敛的.而此时，无穷级数y0(x)在边界x=±1仍然发散，要保证通解y(x)有界，此时必须要求c0=0，因此，勒让德方程退化为

y(x)=c1y1(x)，

其中，y1(x)为一个最高次幂为2n+1的多项式，经过与y0(x)类似的推导过程，可得

(9)

其中，l=1，3，5，…

由(8)和(9)可以看出，当λ=2n(2n+1)和λ=(2n+1)(2n+2)时，得到的勒让德多项式的表达式是一样的.因此，可以把(8)和(9)式合并成一个公式，即当λ=l(l+1)时，勒让德方程的本征解写为

(10)

其中，[l/2]表示不超过l/2的最大整数，即

3 结 论

本文直接从勒让德方程的一般形式出发，利用常点邻域的级数解法，确定了本征值λ=l(l+1)的缘由.与现有教材相比，学生更容易理解这种直接确定勒让德本征值形式的方法.

致谢作者非常感谢吉林大学物理学院本科生对数学问题的积极求索以及审稿专家提出的宝贵意见.