初中生解决函数图像问题的调查研究

吴三俊

[摘 要]函数内容是初中数学知识体系的重要组成部分，函数图像问题在中考数学试题中占有重要位置.要提高九年级学生解决函数问题的能力，需要教师有针对性地训练. 对九年级学生解决函数图像问题实际情况进行调研，是有针对性地训练的基础.

[关键词]初中数学;函数图像;问题;调查

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）05-0029-02

函数是初中数学知识体系的重要组成部分，函数图像问题在中考数学试题中占有重要位置. 下面笔者在调查初中生解决函数图像问题实际情况的基础上，对如何提高学生解决函数图像问题的能力进行简单论述.

一、问题研究的背景

1.解决生活问题需要

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“数学是对现实世界的抽象.”在信息技术迅猛发展的今天，各种各样的图像充斥着我们的生活.例如，工厂出勤表和产值利润表、股票和期货市场走势图、拱桥的拱形抛物线等.在不知不觉中，无数种不同形式函数图像渗透在人们生活的每个角落，有的人们已经发现，但有的人们还没有发现，正期待着人们去探索.生活中存在着各种各样的变量，而函数是揭示这些变量间本质关系的重要工具，可以运用函数图像来解决生活中遇到的实际问题.

2.教学策略实施的需要

“思维可视化”教学策略，是指借助各种可视化技术把本来具有个体性、内隐性的思维过程显化出来，使其成为清晰可见的显性过程的一种教学手段或策略.被显性化的“思维方法和思维过程”有利于知识的记忆和理解，在改变信息传递的方式中提高信息加工的效能.函数关系的表达形式有三种：解析法、图像法和列表法.在这三种表达式中，函数图像是最为直观形象的表达方法.函数图像能够动态反映函数的变量之间的相互依存关系，能较好地反映该函数的性质，是研究函数性质的重要工具.

3.函数图像是函数的重要组成部分

函数图像是函数的重要组成部分.图像法作为函数的一种常见表达方式，是从“形”角度描述函数，用图像法表示函数关系，可以从整体上直观形象地研究函数的变化情况.函数图像的直观性，易于帮助学生理解函数概念和基本性质.初中数学教材研究函数性质都是先从画函数图像开始的，函数在初中数学中特定的地位，函数图像内容自然成了中考的重点.鉴于此，研究函数图像很有必要.

二、主要表现及分析

很多优秀教师认为，初中生对函数图像的认识没有对函数解析式的认识深入，原因有三个：①教师过多地倾向于对函数的“数”的研究和考核，轻视“形”的重要作用;②学生重视函数“规律”的识记，轻视利用“图像”的理解.学生在学习函数的知识时，认为只需死记硬背概念、公式与性质，就能完成学习任务，没有必要花大量的时间，利用函数图像去理解与掌握这些知识;③教师重视函数“应试”方法的传授，轻视“函数图像”的应用教学.

对学生进行问题调查与测试得到如下结论：①学生对函数图像问题条件中的关键字、词、句不能深刻理解，同时对其之间关系不能牢固掌握;②学生对函数图像所隐含的性质内容理解不透，运用不熟练;③学生不能深刻“提取”函数图像丰富信息隐含内容;④学生分析函数图像问题中的各个量之间的变化范围以及内在关系具有一定困难;⑤学生综合运用函数图像性质有困难. 存在上述五个不足的主要原因：一是函数图像性质未能深刻理解和掌握;二是解决函数图像问题的能力（如数形结合）较差;三是对相关函数基础知识的掌握程度较浅;四是综合应用、概括归纳等数学能力水平较弱.

问题解决是一个分步的、多阶段的过程.学生的已有知识对于新的学习起着至关重要的作用.在分析学生的原有知识、学习任务时，应特别注意知识的结构性，关注问题图式的形成与发展.在教育情境中讨论学生的问题解决能力，不仅需要关注学生的思维活动，还应该关注学生在问题解决过程中的具体行动.

三、提高学生的解读函数图像能力的建议

良好的识图能力是解決函数图像问题的基础与先决条件.在调查问卷和测试试卷中发现学生在通过函数图像识别函数性质和确定解析式方面能力较强，但在解读与实际生活相联系的函数图像方面存在缺陷.学生主要表现在识图顺序错乱，无法将图像上的特殊点和每段函数图像与实际相联系，并将这些特殊点和每段函数图像的实际含义解读出来.

根据学生识图容易出错和遗漏的特点，我们设计了读图三步骤，并在教学中不断修改，发现效果较好.三步骤具体内容：第一步，了解直角坐标系中横轴和纵轴表示两变量的实际含义;第二步，将函数图像中的特殊点所表示的实际含义翻译成文字语言，翻译时，只要将横坐标后面加上横轴表示变量的含义，纵坐标后面加上纵轴表示变量的含义，这个点表示的实际含义就能被翻译出来;第三步，分析每段函数表示的实际意义.通过这三个步骤，学生基本上能将函数图像中蕴含的条件全部解读出来.具体操作方法见例题.

例题： 甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地.设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为y3米，小明行走的时间为x分钟. y1、y2与x之间的函数图像如图1，y3与x之间的函数图像（部分） 如图2.

（l）求小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式;

（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中y3（米）与x（分钟）之间的函数关系式;

（3）在图2中，补全整个过程中y3（米）与x （分钟）之间的函数图像，并确定a的值.

这是中考数学中常见的函数图像信息题，这道题学生得分率较低，主要是因为不会识图.这里主要介绍运用“ 识图三步骤”来识别图1.

第一步，了解y1、y2和x的含义.x是表示小亮和小明出发的时间，y1、y2是表示小明和小亮到甲地的距离，y3表示小明与小亮之间的距离.

第二步，理解特殊点的含义.小明：（0，0）是表示小明出发0分钟时，离甲地0米，（40，2000）是表示小明出发40分钟时，离甲地2000米.小亮：（0，2000） 是表示小亮出发0分钟时，离甲地2000米，（10，0）是表示小亮出发10分钟时，离甲地0米.

第三步，整体了解每段函数的含义.小明：图像是一条线段，说明小明在匀速运动，匀速运动的速度是 2000÷40 = 50米/分钟.小亮：第一段函数图像是线段，说明小亮在匀速运动，匀速运动的速度是2000÷10 = 200米/分钟;第二段函数图像是水平线段，说明小明没有运动;第三段函数图像是线段，说明小明在按原速运动;第四段函数图像是线段，表示小亮和小明同速度一同匀速行驶.

通过上面的三步骤读图，可以将图像中的条件都提取出来，接下来是运用这些信息和结合图像解题.

对于函数图像信息题，如果学生会读图，能够将图像中的信息读出来，并充分运用这些信息，就基本可以解决问题了.比如上面的例题，我们调查发现会读图的学生中，第一小问几乎全对，第二小问虽然很难，也有一部分的学生做出来.因为会读图的学生能够将图中的信息提取出来，运用这些信息求解就不会太难.

教给学生一套行之有效的识图方法，多加练习，能很快地提高学生的识图能力.实践证明，发现“识图三步骤”在解决函数图像信息题时效果很好.

生活的丰富多彩，是我们学习函数知识的源泉.函数知识的取得也是从生活中来的.原本函数知识因生活的需要而产生，又因学习而加深了对函数图像的认识.函数图像问题是初中数学問题教学的重点，也是教师贯彻落实新课改要求的有效载体.教师应根据年级阶段特殊实际，注重函数图像知识的系统讲解，强化函数图像问题的专题训练，传授有效解决方法，提升学生的数学素养.

[   参   考   文   献   ]

[1]  杜国平.图形推理及其社会文化功能[J].徐州师范大学学报（哲学社会科学版），2011（1）：123-126.

[2]  吴涌泉.浅谈运用反比例函数图像解决实际问题[J]. 课外阅读（中学版），2010（6）：112-114.

（责任编辑 黄桂坚）