基于激光的导轨直线度检测算法研究

刘不凡，司欣格，包建东，徐文臻

(南京理工大学 a. 自动化学院； b. 机械工程学院，江苏 南京 210094)

0 引言

直线导轨是一种机电一体化的导向装置，是生产加工常用到的重要零件，如机床、激光焊接机等都含有直线导轨。直线导轨的性能对加工件的精度产生重要影响，导轨直线度也是衡量直线导轨精度的重要参数。本文主要研究激光检测导轨直线度的方法。激光检测的方向性好，检测装置结构简单，成本低，还可实现自动化检测。若采用自动化检测，采集点越多，则检测精度越高。

1 检测方法

如图1所示，检测装置由导轨、激光、滑块、光电位置传感器(psd)、刻度尺组成，其中psd上有坐标刻度。滑块带动激光在导轨上沿着z轴滑动，通过刻度尺可以调整滑块体位置。检测之前，记录光源的初始位置z0，然后调整psd，使得光斑对准坐标原点，或者直接记录初始光斑的坐标，根据直线度的定义，最后求得的结果和截距无关。然后令滑块平移距离δz，每平移一段这个距离，就记录光斑的坐标，直到滑块走完整段导轨。

图1 激光测量导轨直线度装置示意图

2 偏差计算方法

先考虑光斑离纵坐标的距离x(z)，通过该值可以得到导轨在水平方向的倾斜角θx(z)，下标x表示在水平方向上的倾斜角，y为垂直方向上的。所以有：

(1)

式中：z0为光源在导轨初始位置离psd的距离；kx(z)即为导轨偏差在水平方向上的变化斜率。有：

d'x(z)=kx(z)

(2)

对于一个光滑的直线导轨，任意z0在导轨长度范围内，都有

所以导轨偏差d(z)在导轨长度范围内处处连续。

由于检测中只能采集x(z)的离散点x(zi)，利用刻度尺将z分割成zi。令

δz=zi+1-zi

δz为采集点的步长，显然，该值越小采集点越多，得到的结果越精确。

即有:

δdxi=δztanθ(zi)

(3)

则：

dxi=dx(i-1)+δdxi=dx(i-1)+δztanθ(zi)=

(4)

dxi即为导轨水平方向上的偏差。同理，可以用相同的方法得到垂直方向上的偏差dyi。

3 静态误差分析

静态误差是不随滑块平移改变的误差，主要有两种误差：因psd不能与导轨理想轴线完全垂直；故刻度尺不能与导轨理想轴线完全平行；所以激光不能与导轨理想轴线完全平行。这导致实际z轴会和理想z轴存在一个角度，这个角度和psd、刻度尺偏离的角度有关，虽无法知道这个角度，但可以采用最小包容区域法[2-3]拟合估算出实际的z轴，这里称作z'。所得到的最小包容线即为z'。本文介绍两种获取最小包容线的算法。

3.1 最小二乘法

最小二乘法是通过最小化误差的平方和得到最小包容线[4]。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。可以根据以下公式得到最小包容线f=az+b。

式中n为采集点的数目。

最终直线度ε通过下式得出：

ε=max(di-fi)-min(dj-fj)

3.2 改进遗传算法

利用遗传算法可以搜索到最小包容线，且比最小二乘法的精度更高。但介于采集数据较多，遗传算法搜索效率较低，可采用改进遗传算法[5]。操作如下[6]：

由式(5)

k=kmin+kc(kmax-kmin)

(5)

对kc进行归一化，对归一化的kc进行二进制编码，随机得到的向量kc当作个体，对其进行微分进化。

1) 变异操作

υi=xr1+F(xr2-xr3),i=1,2,…,NP

式中：xr1,xr2,xr3是在父代种群中随机选取的3个不同的个体；vi为变异后的个体；NP为种群规模，NP≥4,F∈[0,2](常量)。

2) 交叉操作

ui=[ui,1,ui,2,. . .,ui,D]：

randb∈[0,1](随机数)；CR∈[0,1](常量)；randj∈[1,D](随机数)。

3) 选择操作

估计最小包容线斜率的一个区间，该区间范围越小得到精度越高。该区间可以先利用最小二乘法进行估算：最小二乘法得到直线度后，该算法最小包容线斜率的估计区间可以以该直线度为中心，范围为比直线度小一个量级。比如最小二乘法得到的直线度为0.055 7，估计区间则为[0.050 7,0.060 7]。

利用式(5)对斜率进行归一化，进行二进制编码，通过上述方法搜索满足最小条件的斜率。令最小条件

g(xi)=max(xi-fi)-min(xj-fj)

即得到直线度的公式。

在文献[7]中已验证了该算法评定直线度的可行性。

4 动态误差分析

动态误差是随滑块位置改变的误差，本文考虑了以下几种导致误差的因素。

1) 滑块与导轨之间的间隙：因为滑块需要在导轨上滑动，与导轨之间的配合是间隙配合，这在滑动过程中会对偏差精度造成一定影响。一般该配合间隙≤0.04mm。一般导轨直线度误差在1‰左右，所以导轨长度超过1m，该配合间隙远小于导轨直线度误差。此外，被测导轨长度越长，该误差影响越小。

2) psd精度：光电位置传感器(psd)，光斑的位置与电流存在一定关系，得到偏差较精确。

3) 刻度尺的精度：因不能准确调节滑块的位置，刻度尺的精度误差在1‰，和1)一样，基本影响不大。人工调节滑块位置的不准确，会令光源在z轴的坐标投影产生误差。即对于公式(4)中的步长δz会有细微的误差，但这些误差在每次调整后可能为正也可能为负，累加后会有一定的抵消。

5 实验和仿真

本实验为得到更高精度的值，利用psd输出光斑的坐标值，采用2cm×100cm光轴导轨为实验对象，初始距离z0=100cm。滑块沿导轨平移重复经过3次实验获得实验结果如表1所示,分别利用最小二乘法和改进遗传算法进行直线度的计算。

表1 三次实验结果

计算结果如表2所示。

表2 基于最小二乘法和改进遗传算法的直线度计算的算法偏差 单位：μm

从计算结果可以看出，本文的方法得到的直线度重复性较小，改进遗传算法得到的结果精度比最小二乘法更高。

6 结语

本文对激光检测导轨直线度进行了研究，详细给出了偏差的计算过程。另外，讨论了两种估算最小包容直线、消除静态误差的算法；最后对存在的动态误差进行分析。分析结果证明：表面所测导轨越长，动态误差影响越小。式(4)中的δz和传感器频率相关，如果采用自动化检测代替人工、电机驱动滑块等措施，可以使δz非常小。这样采集点数量越多，越能贴近实际的偏差曲线。所以本文的计算方法更加适用于自动化检测。