问题诱思：数学抽象核心素养培养的有效路径

[摘要]文章结合几则典例，设计一连串的问题，通过不断诱思启发，在反复的追问中，完成概念教学、法则教学、规律发现及方法的掌握，使学生成为数学学习的真正主人，使核心素养真正有效落地

[关键词]问题诱思;数学抽象;初中数学

作者简介：杨书合（1970-），专科学历，中学高级教师，主要从事初中数学教学与研究工作

事物的属性比较多，去掉或减弱其中的表层属性，得到其本质属性的过程即是数学抽象.数学抽象是数学核心素养的第一要素，是数学学习和思维能力发展的奠基石.数学需要抽象，经历追根求源、去伪存真的过程，能使学生从根本上学好数学，进而形成处理问题的关键能力.教学中，教师可精心设计连串问题，通过不断诱思启发，掲示数学抽象的思想，在反复的追问中完成概念教学、法则教学、规律发现等，使学生成为数学学习的真正主人，让核心素养真正有效落地.

情境仿真，抽象数学法则

例1如图1，一只蚂蚁在数轴上爬行，它当前的位置在数轴上的原点处，我们设定向东为正，向西为负.

（1）蚂蚁先向西爬行2个单位长度

再向西爬行3个单位长度后，它在什么地方？

（2）蚂蚁先向西爬行4个单位长度再向东爬行3个单位长度后，它在什么地方？

（3）蚂蚁先向东爬行3个单位长度，再向西爬行2个单位长度后，它在什么地方？

（4）蚂蚁先向西爬行5个单位长度第二次没有爬行，第二次过后它在什么地方？

诱思1：依据自己的日常生活经验，在上述四种情况下，蚂蚁最终位置在数轴上的哪一点？

诱思2：根据题中的设定，向西爬行2个单位长度应记作什么？向东爬行3个单位长度应记作什么？

诱思3：根据运动情况与运动结果你能用数学算式表示上述四种情况吗？

（1）（-2）+（-3）=-5;（2）（-4）+（+3）=1;（3）（+3）+（-2）=+1;（4）（-5）+0=-5.诱思4：根据上面的算式，两个有理数相加，结果如何确定呢？请用自己的语言表述你的发现.

设计意图教师通过问题教学与连串的诱思，引导学生发现有理数加法的奥秘，让学生通过自己的归纳与总结，得到有理数加法法则

正反操作，抽象不变规律例2利用若干块图2所示的长方形和正方形硬纸片可以拼出一些新的长方形，并用不同的方法计算它的面积，从而得到相应的等式.计算图3的面积可以得到等式（a+2b）（a+b）=G2+3ob+

（1）计算图4的面积，可以得到等式

（2）用图2所示的长方形和正方形硬纸片若干块（每种至少用一次），拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为2a2+7b+3b2，并把二次三项式2a2+7ab+3b2分解因式：2a2+7ab+3b2

（3）如图5，大正方形的边长为m小正方形的边长为n，若用x，表示四个长方形的长和宽（x》y），观察图形，则下面的关系式中正确的有

诱思1：结合图3，代数式a+2b，a+b，a2+3b+2b2分別表示什么？

诱思2：要表示图3的面积，有哪两种表示方法？（长方形面积法与组合法）诱思3：观察图4，利用长方形的面积=长宽，如何表示图4的面积？利用长方形的面积=各部分面积的和，如何表示图4的面积？

诱思4：要使拼出的长方形的面积为2a2+7b+3b2，则需要边长为a的正方形多少个？边长为b的正方形多少个？相邻边的长为a，b的长方形多少个？为什么？

诱思5：你拼出的面积为2a2+7ab+3b2的长方形的长与宽分別是多少？试着用它们表示长方形的面积（如图6）诱思6：x+y，x-y与m，n分別是什么关系？（x+y=m，x-）=n

诱思7：结合图5，大正方形的面积为多少？小正方形的面积为多少？四个长方形的面积为多少？它们之间有什么关系？

诱思8：通过以上探究，你有什么发现？试着用自己的语言归纳.

任何一个代数恒等式都可以用图形的面积来表示;可以根据因式分解的结果找到拼后长方形的长与宽，也可以利用图形的拼接得到多项式因式分解的结果;如果因式分解结果是两个多项式的积，那么这两个多项式分别是一个长方形的长与宽

设计意图先让学生由图形得到代数恒等式，然后让学生由代数恒等式画出图形，最后应用发现的规律解决问题，使学生在实际操作中感受，在反复追问中陷入深思，最终理解并掌握不变规律.

从特殊到一般，抽象一般结论

例3在同一平面内放置两块三角板（△ACD和△ABE），将其绕公共顶点A旋转，连接BC，DE，探究Smc与S。me的比是否为定值.

（1）如图7，当两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，SC：SAm是否为定值？如果是，求出此定值;如果不是，請说明理由.

（2）如图8，当其中一块是等腰直角三角板，另一块是含有30角的直角三角板时，S2ce：SaAa是否为定值？如果是，请求出此定值;如果不是，请说明理由

（3）如图9，在两块三角板中，当∠BAE+∠CAD=180°，AB=a，AE=bAC=m，AD=n（a，b，m，n为常数）时SABC：SAD是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值.

诱思1：欲求图7中△ABC与△ADE两个三角形的面积，需要作什么辅助线？（如图10）

诱思2：在图10中，∠CAG与∠EAD是什么关系？为什么？

诱思3：对于图10，在Rt△ACG中如何用∠CAG的三角函数表示CG的长（即△ABC的高）？在Rt△AHD中，如何利用∠EAD的三角函数表示HD的长（即△ADE的高）？（CG=AC.sin∠CAGHD=AD·sin∠EAD）

诱思4：对于图10，如何用含三角函数的代数式表示△ABC与△ADE的面

诱思5：在图8中，不妨设∠ADC=30°，那么AD与AC之间存在怎样的数量

关系？

诱思6：在图8中，假如同图10那样作辅助线，∠CAG与∠EAD之间是否具有图10的数量关系？是否可以用解答第

（1）问的方法，用三角函数表示△ABC与△ADE的高？

诱思7：如何用含三角函数的代数式表示图8中△ABC与△AED的面积？

它们的面积比是多少？（V3）

诱思8：在图9中，是否可以用前面的解答方法来解答？此时△ABC与△AED的面积比是多少？

诱思9：此时你有什么可喜的发现吗？说出来与大家共享.（有一角互补的两个三角形的面积比等于成互补两角的夹边乘积的比）

设计意图其实，在探究性数学问

题中，往往有固定的解题思路，有相同或相似的结论，只要教师精心设计问题，层层诱思，就能剥去覆盖在上面的非本质属性，得到数学问题的本质属性.

一点感悟

数学中的大部分问题都有“宝”可挖，作为数学教师，不能只满足于为了完成教学任务而解题，而要对课堂教学中讲解的例题、习题进行延伸挖掘，抽丝剥茧，通过归纳、总结，得到问题的本质属性.其实学习最重要的价值在于反思抽象，即通过一个问题的解决得到个数学结论，发现一个规律，总结一种解法在实际教学中，可以增加一些条件，或减少一些条件，看能不能得到相同的结论，以验证我们的猜想，从而抽象出有用的结论.如何培养学生的数学抽象能力与意识呢？一方面，教师要精心选题，选择有代表性的典例，同时，课前要精心设计这些问题的诱思形式要做到步步深入，索本求源：另一方面，学生的活动要形成主动探究的态势，学生只有主动探究，才能与教学的启发诱导相互配合，达到最佳效果.学生发现的结论允许在教师的意料之外，要让学生发现问题的本质在自然过程中达成，或许，这才是学生的自主学习.

参考文献

[1]顧向忠.数学语言助推数学抽象与直观想象——以数学概念教学为例[J].中学教研（数学），2019（12）.

[2]靳潇涵.初中数学中培育数学抽象核心素养的探索[J].理科爱好者（教育教学），2019（05）

[3]袁魁.浅谈数学学科核心素养的基本特性——以数学抽象为例[J].数学教学通讯，2019（23）