有关恒成立问题的“一题多解”

王榕

【摘要】  新课标下的高考越来越注重对学生综合素质的考查，而恒成立问题涉及的知识点多，解题方法多样，综合能力强，可以从多方面考查学生的逻辑思维能力和解题能力.近几年的数学高考和各地的模拟考、联考中频频出现有关恒成立的问题，虽然题目形式上逐渐多样化，但是都与函数、导数的知识密不可分.解决恒成立问题常有以下几种方法：①构造函数法;②分离参数法;③数形结合法.本篇文章以2020年高考理科数学全国新课标Ⅰ卷的一道高考题为引，来阐述解决恒成立问题的多种奇思妙解.

【关键词】  恒成立;构造函数法;分离参数法;数形结合法

一、方法总结

1.构造函数法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图像和性质转化为函数的最值问题来解决问题.

2.分离参数法

分离参数法就是把变元和参数通过等价变形分别写在等式或者不等式的两侧，然后只需要研究不含参数的那个函数就可以解决问题.一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.

3.数形结合法

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合相互渗透，使得代数问题和几何问题相互转化.数形结合法主要是通过对不等式进行变形，转化为两个熟悉函数图像间的关系进行求解.

本文以2020年高考理科数学全国新课标Ⅰ卷第21题为例，浅谈解决恒成立问题的方法.

二、典例分析

三、总结

一般来说，对于含参数恒成立求参数范围的问题，构造函数法是一种比较中规中矩的方法，但有时对于含参的分类讨论要求较高，难度较大，需要较强的逻辑思维和严谨的数学思维.对于例1而言，方法一和方法二的难度显而易见.相比于构造新函数，分离参数法对于学生而言难度大大降低.通过观察，当不等式中的参数能夠与其他变量完全分离出来，并且分离后的不等式一边的函数性质较容易研究，我们首选分参的方法.对于例1，显然数形结合的方法不适用，这种方法局限性较强，只适用于不等式中涉及的函数或代数式对应的图像较易画出时，比如例2，才可以通过图像的位置关系建立不等式，进而求参数范围.其中，解决恒成立问题比较快捷的方法就是找出必要条件，这样可以缩小参数范围，大大减少分类讨论的情况.对于含有绝对值的函数，要注意考虑去绝对值符号的方法.因此，很多恒成立问题都可以从多个角度去探索，这也是解决数学问题的奥妙所在.

【参考文献】

[1]林伟民.恒成立问题中参数范围的求法[J].数学教育研究，2005（03）：52-53.

[2]洪小银.高中数学恒成立问题方法解析[J].中学数学，2019（17）：55-56.

[3]徐加生.恒成立问题中求参数范围的解题策略[J].数理化学习（高中版），2002（14）：23-24.