由一题多解探讨含有绝对值恒成立问题的几种解法

曹兴阳 胡翠英

【摘要】

在高三的复习中，有一类压轴问题——含有绝对值不等式恒成立时求参数取值范围问题.这类问题对于大部分学生来说是一个难点.本文着重从一道试题入手采用多种方法进行解析，归纳出处理形如|f（x，a）|≥g（x）或|f（x，a）|≥g（a）恒成立时求参数问题的一般方法，增强学生对基础知识的掌握，树立数学思想意识.

【关键词】绝对值;恒成立;参数;一题多解

在近几年江苏省高考中不等式问题常以压轴题的形式出现，常见的题型有恒成立、有解问题等.此类题型丰富多变，综合性强，有一定的難度，但只要我们理解问题的本质，就能轻松地解决这类问题.常用的知识点如下：

我们经常遇到满足某不等式恒成立的求参数取值范围的问题，而处理这类问题通常有两种基本方法：一、求不等式对应函数的最值，以此来求参数的取值范围;二、将不等式进行等价变形——参数分离，从而构造新的函数，通过求新函数的最值来确定参数的取值范围.

那么如果遇到恒成立问题中不等式含有绝对值，且绝对值中含有参数又该怎么办？一般地，对于含有绝对值的函数问题学生处理起来比较棘手，原因在于涉及绝对值的函数其本质是由两个函数构成的分段函数.而此时既有绝对值，又有参数的这种问题就难上加难.

本文就一道含有绝对值恒成立的求参数取值范围的问题进行多种数学方法的解析，归纳出不等式形如：|f（x，a）|≥g（x）或|f（x，a）|≥g（a）恒成立的求参数的一般方法，进而通过多种方法实现数学基础知识的融合与贯通，加强对数学思想方法的理解与应用.

例1

设a∈R，函数f（x）=x|x-a|-a.若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.

分析：例题中如果不含绝对值，即将绝对值符号变成小括号，这就是属于满足某不等式恒成立的求参数取值范围的问题，我们可以直接采取以上两种基本方法中的任意一种进行处理.然而对于本题不能如此操作的关键就在于含有绝对值.因此，去绝对值就是解决这类问题的第一步.

虽然数学问题的解析方法很多，涉及的知识看起来杂乱，但教师在教学实践中，通过一题多解，从不同的角度分析问题，有助于学生将数学基础知识关联起来，提高学生的综合应用能力，有效培养学生的发散思维.

【参考文献】

[1]胡振辉.含参数的绝对值不等式恒成立问题的解法探讨[J].中学数学，2019（03）：43-44.

[2]石向阳.含参数绝对值不等式恒成立问题的辨析与求解[J].中国数学教育（高中版），2016（04）：62-64.

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[4]高成龙.运用绝对值的几何意义求解一类绝对值不等式[J].基础教育论坛，2019（16）：66-67.