广泛地获取，方可深度地“教”与“学”

周尔翔

【摘要】

所谓“广泛地获取”是指从多方位进行对比后获取教学方式，用多种形式获取对概念的理解.“深度地教学”则是指不仅要得到教学结论，而且要在教学过程中注重教学内容本质.要想做到深度地“教”与“学”，就要做到教学用具的广泛获取，教学生成的广泛获取，概念表象的广泛获取.

【关键词】小学数学;深度教学;概念教学;平行与垂直

“平行与垂直”是小学数学人教版四年级上册第五单元中的内容，它是建立在学生认识了线段、直线和射线的特点，初步认识了平行四边形，学习了角的度量的基础上进行教学的，并为继续深入学习平行四边形与梯形的本质特征做铺垫.本节课建立了同一平面内直线与直线之间的关系，是由线向平面图形延伸的关键一步.

笔者连续两次教授四年级数学课程，对“平行与垂直”的内容进行了多次的教学尝试，力求最大限度地直指教学内容的本质.每次尝试又会暴露新的问题，前后两次的呈现方式有较大调整，主要体现在教材的使用、学生生成、概念的理解上.笔者用开放的心态广泛获取、操作，以确保学习真正发生.

无论如何呈现本节课，都具有统一的学习目标：认识同一平面内两条直线特殊的位置关系;初步认识垂线和平行线;体验分类研究的方法.针对共同的学习目标，笔者在教学前后进行了下列调整：

一、教学用具的广泛获取，教材的深度使用

从一条直线拓展至两条直线，便是由线至面、由一维至二维的过程.小学数学由于学生思维能力和抽象能力不强，只研究同一平面内直线的关系.即便如此学生的想象力也不一定是足够的，而如何让学生在纸面上呈现这些生成至关重要.

笔者在第一年教学中采用人教版教材，使用白纸作为画图载体，预设了四种情形，但多次尝试后面临着生成不完整、不准确的情况：

（1）学生在白纸上作图很难出现①号与④号，甚至在一次试教中几乎全部都是②号;

（2）出现的②号与③号由于不规范作图，只是近似平行与垂直.

学生的单一生成说明以下问题：

（1）学生对生活中出现的平行与垂直拥有直观感受，并且能抽象地表示出来;

（2）学生不理解平行与垂直的本质，因此出现作图不规范的问题.

笔者在第二年教学中，为了使生成种类更多，学生作图更加规范，将人教版与北师大版教材内容进行了对比，以寻求最合适的教学用具.

通过对比，笔者发现人教版教材在新授时使用白纸，在后面练习中借助了点阵，而北师大版教材前后比较统一，都借助了方格纸.通过多次研究，笔者最终选择了点阵，并且对原有的前后左右间距相同的点阵加以改良，使行与列的宽度不一致，原因如下：

（1）点阵与方格纸都可使作图规范化，作图过程中便直指平行与垂直本质，为后续教学做铺垫;

（2）方格纸的导向过强，直接指向平行与垂直两种情形.北师大版教材在“平行”前一课时“垂直与相交”中也没有使用方格紙;

（3）调整行与列的宽度是为了生成①号.

在点阵的使用中，①号、②号、③号都能顺利生成，④号这一生成难点则在下文操作中加以突破.教学过程中教学用具的选择是教学内容本质是否能被体现的有力保障.教材中会给予许多有用的参考，有时是在新课中，有时是在练习中，有时又是在不同版本的教材中.只有通过教学用具的广泛获取与对比，才能深度使用教材，才能做到有深度地“教”与“学”.

二、教学生成的广泛获取，学习的深度发生

前期教学中，不仅④号生成的次数过少，而且陆续出现了各种不一样的形式.学生的想象力很丰富，远远超过笔者的预设数量，但这使得笔者不得不做以下思考：

（1）④号难以生成的原因除去本身是难点之外，更重要的是学生个体的思维没有打开.通过学生的生成，笔者发现大部分学生画完平行与垂直两组之后便不再思考.由于教学用具的改进，①号也有部分呈现，笔者需要思考的是如何让④号顺利生成;

（2）学生生成的样式很多，笔者在第一年的教学中，从学生的生成里选取了①②③④，而在第二年教学中，笔者力主更开放的心态，呈现了学生的所有生成，但⑧与⑩属于重合，“两条直线重合，既不是相交，也不是平行，而是同一平面内两条直线位置关系的第三种情况”，这反而增加了教学的难度，因此学生的生成是否全部获取值得斟酌.

在多次尝试的基础上，力求解决上述问题，笔者在第二年教学进行了以下调整：

（1）给予学生充分的画图时间，并要求学生尽可能画出多种形式.教师要充分发挥主导作用，在学生作图过程中相机鼓励学生开拓思维，画出更多形式.在这样的调整下，学生的思维活跃起来了，学生的生成丰富起来了，④号的生成这一难点也得以解决;

（2）分类的研究依旧建立在①②③④的基础上，但是学生的生成被广泛获取.笔者使用磁性小棒将学生不同种类的生成粘贴在板书上，并鼓励学生尽可能去想象.在课尾集中区分判断，“重合”这一现象在小学中不加以强调，只描述为“特殊情形”，着重引导学生将关注点放到非重合情形中.教师通过这一系列教学过程，既尽可能地获取了学生的所有生成，又再度活跃了学生的思维.图形与几何的教学务必要通过空间想象来培养学生的空间观念.

三、概念表象的广泛获取，关系的深度挖掘

概念的深刻理解往往取决于表象的准确建立.学生在生活中已经初步建立了平行与垂直的表象，但不够准确.表象的建立不能仅仅结合课件来想象，更要借助实物与已有经验.

1.概念表象的静态建立

没有“同一平面内”这一条件，两条直线的位置关系会更加复杂.这一条件可以保障学生循序渐进地进行研究.生活中直线间的位置关系在同面与异面都大量存在，因此建立这一先决条件显得尤为必要.

学生已初步具有平行与垂直的表象，教师在概念学习前与学习后都要积极调动学生的已有经验.教师在概念学习后的举例要较为广泛，要体现生活中处处有平行与垂直的现象.

笔者在第一年的教学中使用课件进行演示，并要求学生进行判断;直接提出“同一平面内”这一前提，并让学生举例生活中平行与垂直的现象，进一步标准化地建立表象.

笔者在第二年的研究中明确了表象的获取与建立应更有层次，更加广泛.笔者建立“同一平面内”这个前提条件经历了以下教学活动：

教师要引导学生从可触碰、操作的生活物品进行研究，再对自身环境进行观察探究，進而转向外部空间进行回忆想象，最后对课件中的图形进行想象判断，从而确保学生打开思维，自由想象.

平行与垂直现象在生活中是静态呈现的，但教师的“教”与学生的“学”是动态的.有意识地广泛获取表象，有意识地分层次、多角度建立表象，体现了“教”与“学”的深度.

2.概念的动态联结与区分

概念的动态联结与区分是笔者在第二年新增的教学环节，旨在使用更本质的方式建立概念之间的联系与区别，从而实现更有深度地“教”与“学”.笔者对呈现方式进行了广泛选取，最终确定了以下方式.

（1）概念的动态联结

第一年的反馈中显示了学生对本知识点的掌握情况可通过以下判断题来说明：

同一平面内，两条直线不平行，就会垂直.（  ）

同一平面内，两条直线不相交，就会平行.（  ）

身为读者的你是否也感到迷惑，教学中我们过度用力地建立“平行”与“垂直”的这两种特殊情况的概念与区别，形成了一种负迁移（一种数学知识技能的学习对另一种数学知识技能学习的干扰），忽略了对“相交”这一不特殊情况的分析.或许有人觉得相交很简单，但事实证明这确实是学生难以区分的难点，学生的困惑正是教学设计出发的地方.静态表象的建立不足以说明“平行”“相交”“垂直”三者之间错综复杂的关系，这一关系既要深刻挖掘，又要简要呈现.史宁中教授提出，不妨尝试在讲完平移后，教师直接告诉学生：通过平移一条直线而得到了另一条直线，这两条直线平行.

为了联结各概念，笔者设计以下环节：

同一平面内两条普通相交的直线，旋转其中一条使二者垂直，继续旋转二者重合，最后通过平移使二者平行，凸出“平行线间距离处处相等”这一本质.“平行”“相交”“垂直”三者通过图形的运动串联起来了.

（2）概念的准确区分

图形的运动不仅可以串联“平行”“相交”“垂直”，而且可以比较清晰地区分三者，但是准确地区分还需要一个非此即彼的结论，文氏图是最优的选择.文氏图的直观表征充分揭示三个概念之间的关系：垂直属于相交，相交就不平行.

若要保证教学的深度，就要保证获取的广度.一节有深度的数学课，必然是教学用具的广泛获取、教学生成的广泛获取以及概念表象的广泛获取.

【参考文献】

[1]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]李光树.小学数学学习论[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]史宁中.例说小学数学中的几何直观：几何直观与小学数学教学（下）[J].小学教学（数学版），2017（10）：4-7.