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动作与语言齐飞,形象共抽象一色
——“烙饼问题”教学分析

2020-12-17浙江省临海市教育局教研室蒋依宝

小学时代 2020年22期
关键词:个面烙饼学具

浙江省临海市教育局教研室 蒋依宝

【教学内容】 人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册第105页。

【教学目标】

1.通过探究,认识解决问题策略的多样性,初步形成寻找解决问题最优化方案的意识。

2.通过实验,积累活动经验,初步体会运筹思想在解决问题中的应用。

3.经历操作、观察、思考等系列探究过程,尝试用数学的方法来解决实际问题,形成烙饼问题的规律,初步培养应用意识和解决实际问题的能力。

4.体验探索和合作的乐趣,感受数学与生活的密切联系,逐渐养成合理安排时间的良好习惯。

【教学重点】 在解决问题中体会优化思想和方法策略。

【教学难点】 形成烙3张饼的最佳方案。

【教学过程】

一、创设情境,导入新课

呈现课本主题图。

师:图中的阿姨在干什么?你见过这样的情境吗?

生1:这个阿姨在烙饼。我在老朱麦饼店里看到过烙饼。

生2:我外婆会烙饼,她把饼放在平底锅中,先烙好一面,再翻过来烙第二面,还要添上一些菜油什么的。

师:这些都是生活中的烙饼,这节数学课我们用数学方法来研究“烙饼问题”(板书课题)。

二、自主探索,探究烙法1.解读信息,理解规则

呈现信息:每次最多只能烙两张饼,两面都要烙,每面要烙3分钟。

师:“每次最多只能烙两张饼”是什么意思?

生1:指锅里最多同时能放下两张饼。如果只有一张了,锅里只放一张也是可以的。

生2:也就是说,一张、两张都可以放,三张就放不下了。

师:“两面都要烙”又是什么意思?

生:就是每一张饼的正面要烙,反面也要烙,这样才能把饼烙熟。

2.比较烙一张与两张饼所用的时间

(1)烙1张饼

师:如果要烙1张饼,需要几分钟?

生:先正面烙一次,再反面也烙一次,一共要2次,2次需要6分钟。

师板书:1张饼,正——反,2次,6分钟

(2)烙2张饼

师:如果要烙2张饼,最少需要烙几次,需要几分钟?请先想一想该怎么烙,再把你的双手当成饼,动手烙一烙,可要记住你的烙饼过程哦。

学生各自操作,教师巡视。待操作基本完成,教师让一学生上台演示并说操作过程。

生:我把两张饼都放在锅里,先同时烙两张饼的正面,再翻转过来同时烙这两张饼的反面。这样就烙了2次,需要6分钟。

师板书:2张饼,1正2正——1反2反,2次,6分钟

(3)比较烙法和所用时间,明确同时烙省时

师:烙1张饼用了6分钟,烙2张饼也用了6分钟,这很奇怪!为什么饼的张数不同,所用时间却是相同的?

生1:烙2张饼时,因为这2张是同时放在一起烙的,烙2张饼的正面才用了3分钟,烙这2张饼的反面也只用了3分钟,所以只用了6分钟。

生2:烙1张饼时,是3分钟才烙一个面;而烙2张饼时,是3分钟同时烙了两个面,不让锅空着,就节省了时间。

生3:前面说“每次最多只能烙两张饼”,现在把2张饼同时放到锅里,充分利用了锅的空间。

生4:也就是说,烙2张饼,把2张饼放在同一个锅里,锅放满了;烙1张饼,锅里只放了1张,锅里有空隙。

师:那烙1张饼时,这个空隙能避免吗?

生4:不能避免,除非有两面可以同时烙的双面机器,我在电视里看过这种机器,但是这个锅不能两面同时烙。

生5:所以呀,烙1张饼,只能一面一面地烙,要烙2次,需要6分钟。烙2张饼,要2张同时烙,一次就烙了2个面,节省时间,只要烙2次,只要6分钟。

生6:我在烙饼之前想了又想,烙2张有两种方法:第一种是一张一张烙,烙第一张就要6分钟,烙第二张也要6分钟,一共要烙4次,要用12分钟;第二种是把2张放在一起同时烙,一共只烙2次,只要6分钟。题目里说“最少需要烙几次”,我就把2张放在一起烙,不让锅空着,就能节省时间,最少要2次,最少需要6分钟,但是不能再少了。

师:你这是先想后做,这是一种很好的学习习惯!在动手做之前,我们要先思考怎么做,然后再去做,这样就可以少走弯路。

3.探究3张饼的最优烙法

(1)探究烙3张饼

提出问题:如果要烙3张饼,最少需要烙几次,需要几分钟?

师:先独立思考,你准备怎么烙?再同桌合作,把两本数学书和一本作业本当成3张饼,进行实验操作,并互相说一说操作过程。

同桌合作烙饼,教师巡视。

指两组上台分别烙饼:由一生说过程,另一生操作,教师板示记录。

小组一:1 正2正——1反2反——3正——3反

小组二:1 正2正——1反3正——2反3反

师:请观察记录下的烙饼过程,这两种方法,是否都把饼烙熟了?

生:每个饼都烙了2次,也就是正反面都烙了,肯定是烙熟了。

(2)比较两种烙法,研究怎样把锅放满,从而节省时间

师:同样烙3张饼,第一组烙了4次,第二组只烙了3次就完成了,这是什么原因?

生1:第二组把锅放满了,每次都有2张;第一组开始有2张,到后来就没有把锅放满。

生2:第一组在前两次,是把锅放满了的,后来两次加起来也只烙了一张,一共4次,比第二组多1次。

师:(问第一组同学)你们当时是怎么想怎么做的?请再介绍一下。

生:我们想,两张同时烙省时间,所以一开始就把第一、二两张一起烙,两张烙好了,只剩下一张,只好把这一张正面烙一次,反面也烙一次。

师:(问第二组同学)你们当时又是怎么想怎么做的?也请再介绍一下。

生:我们也想省时间,开始两张同时烙,要2次;还剩下一张,也要2次,这两次锅里都有空隙。我想锅里有空隙肯定不好,就调整烙饼顺序,调成功了,每次锅里都没有空隙。第一次不变,还是烙第一张和第二张的正面;第二次,把第二张取出来放到外面,把第三张换进来,第二次就烙第一张反面和第三张正面;两次以后,第一张就烙好了,第二张和第三张的反面都还没有烙,所以第三次就烙第二张和第三张的反面。

生(第一组):他们小组开始也出了问题,后来重新安排,每次锅里都有2张饼。我们小组没有调整,所以失败了。现在知道,烙3张不能只想着前面的2张,这样就会出问题。要把3张合起来安排,烙第二次时把第二张取出来放在外面,把第三张换进去,这样每次都有2张饼。

师:请各小组将你们的方法与第二组对照,如有不同,再烙一遍。

师:用实验操作法解决问题,实验前要思考,实验中要观察,如果发现出了问题,要静下心来思考,调整解决问题的思路。烙3张饼,最关键的是思考第二次怎么烙,用调换的方法,把第二张取出来放到外面,把第三张拿进来,这样就解决这个难题,使锅里每次都有两张饼,保证锅里都不会空,我们把这种方法叫做交替烙饼法(板书)。

师:请大家回想用交替法烙3张饼的顺序,在头脑中再烙一遍。

学生在脑中烙饼。

(3)验证有没有比烙3次更少的方法,抽象提升

师:我们继续研究,要烙3张饼,烙3次是不是最少的次数?2次行吗?

生1:交替烙饼,每次都把锅放满,已经把锅充分利用了,烙3次是最少的,2次肯定不行!

生2:3张饼有6个面,因为每次最多只能烙2个面,所以至少要烙3次。

师:你能用算式来表示吗?

生2:3×2=6(面),6÷2=3(次)。

生1:交替烙饼需要调来调去,就是为了保证每次锅里都有两张饼。现在用计算法更省心,先算出共有几面,再除以2 就是次数。

师:对呀!动手操作与列式计算是有联系的。动手实验,调来调去,这是对烙饼方法的最优化,目的是保证每次锅里都要有2张饼,每次都能烙2个面,所以有人说:“烙饼,烙饼,其实就是烙面。”列算式就是计算一共有几个面,最少需要烙几次。

4.总结方法,探究规律

(1)比较烙3张与烙2张的方法

师:我们回头看烙3张与烙2张的方法,它们有什么不同?

生:烙2张是把2张一起放进锅里,先烙好正面,再烙反面,不需要调来调去。烙3张要用交替法,需要调来调去,这样才能保证每次烙2个面。

(2)探究4张饼的烙法

师:4张饼怎么烙?至少要几次?

生1:因为4 等于2 加2,所以可以2张2张烙。先烙2张,要2次;再烙2张,也要2次。一共要4次。

生2:算式是4×2÷2=4(次)。

师:烙4张是2张2张地烙,还有那些张数也可以这样烙?

生:2、4、6、8、10……都是双数,它们都可以用2张2张的方法烙,算法都一样:次数=2×张数÷2。(师板书:次数=2×张数÷2)

(3)探究5张饼的烙法

师:5张饼怎么烙?

生1:先烙2张,再烙2张,最后烙1张。

生2:这样不行,要6次了。因为5等于2加3,所以要先烙2张,再烙3张。2张一起烙要2次,3张交替烙要3次,一共5次。

生3:5张有10个面,每次烙2个面,需要5次。第二个同学是对的。

师:烙5张是把2张同时烙与3张交替烙结合在一起,这样每次都烙2个面,次数最少,节省时间。还有哪些张数可以这样烙?

生1:因为7=3+2+2,9=3+2+2+2,11=3+2+2+2+2……所以,这些张数的饼,是先把3张拿来交替烙,再两张两张烙。

生2:5、7、9、11……都是单数,先拿3张交替烙,剩下的张数是双数,就两张两张烙。计算方法都一样:次数=2×张数÷2。

生3:9=3+3+3,9张分成3个3张,都用交替法烙。12、15、18……也都这样烙。

师:比较烙9张的两种方法,你们有什么想说的?

生1:这两种方法都是对的。

生2:后面的方法不好,全部用交替法了。两张两张同时烙方便,三张交替烙有时候会弄错,在没有办法时,只好用交替法。

师:分析得有道理,两种方法都能用。当能两张两张烙时,就尽可能两张两张烙。

(4)饼的张数和烙的次数的关系

师:通过操作与思考,掌握了烙饼方法,明白了“烙饼,烙饼,其实就是烙面”。那饼的张数与烙的次数有什么关系呢?

生1:我看出来了,除了1张,其他的烙几张就要烙几次。

生2:因为每张有2个面,每次最多能烙2个面,所以可以用“张数×2÷2”来计算次数。又因为一个数乘以2,再除以2,结果还是原数,所以饼的张数和烙的次数相等。

师:找到了规律就要用。我们班有40人,如果每人要1张饼,至少要烙多少时间?

生:40张饼需要烙40次,40×3=120,至少需要120分钟。

三、课堂总结

师:这节课我们研究了烙饼问题,你学到了什么?

生1:锅里可以放1张,也可以放2张。不过,2张2张烙省时间。

生2:把锅放满了就省时间。2张饼,要2张同时烙;3张饼,要用交替法;张数是双数,就2张2张烙;5张、7 张、9张……,先拿3张交替烙,剩下的2张2张烙。只有1张饼时,没有办法,只好烙2次。

生3:烙饼,烙饼,其实就是烙面。所以,烙的次数=张数×2÷2,除了1张饼,其余的数量,烙的次数都等于饼的张数。

师:这节课我们又是怎样学习的?

生:我们用实验操作的方法来学习。烙3张饼最难,开始时我们方法不对,烙的次数不是最小,后来调整顺序,用交替法就成功了。所以,在实验前要先思考,在实验中又要观察思考,还要列式计算验证,这样就保证不会出错。

【教学分析】

“烙饼问题”的教学应该让学生学到什么?学习障碍在哪里?怎样在教学中引导学生突破难点?这是教学之前需要思考的几个核心问题。对于第一、二两个问题,大家都心知肚明:“烙饼问题”的教学是让学生寻找解决问题的最优化方案,进而形成规律,并能运用规律解决问题;学习难点(障碍)是“当有3张饼时,怎样组合安排3张饼正反面烙的先后顺序,才能使锅里每次都有2张饼?”但对第三个问题,老师们的理解和做法各有千秋,笔者曾听过多节“烙饼问题”公开课,其共同特点是“直观教学”,即借助教具或学具的直观操作来帮助学生突破难点,但是,这个“直观操作”由谁来做?怎样做?在做的过程中应该注意什么?众说纷纭,做法不一,归纳起来有两类:第一类,是教师演示,教师通过演示教具,指导学生通过观察获得感性认识,让学生知晓“三张饼正反面的组合与烙的顺序”。其教学理由是:激发学习兴趣,集中注意力,且能使抽象知识具体化,缩短学生掌握所学知识的认识过程,提高教学效率。第二类,是学生操作实验,在教师指导下,学生利用学具独立操作,手脑并用,经历烙饼过程,从而获得直接经验。笔者认为,学生操作实验与教师演示功能类同,但学生操作实验更胜教师演示一筹。究其原因,第一,教师演示法是教师演示烙饼过程,是演给学生看的,教师是主动的操作者,学生是被动的观察者;而学生操作学具,模拟烙饼,人人动手,认真思考,思维随之展开,更容易把学生推到探究烙饼问题的主体地位。皮亚杰曾对此做中肯分析:“当着儿童的面做实验而不让儿童自己去做实验,就消失了动作本身所提供的那种提供知识与培养性格的价值。”第二,从数学学科性质来看,实验操作的反映是符号化的数量关系和空间形式。小学数学课与小学科学课的操作实验有着本质区别:科学课中学生实验的对象就是其认识对象;而数学课的实验操作,学生只是把学具作为中介物(如本节课的手、数学课本和作业本),利用烙饼动作把蕴含在操作中的数学的抽象逻辑关系物化出来,其动作本身就是认识对象,动作反映了解决问题的思维过程,动作伴随着语言,通过语言使动作程序内化成学生的智力活动方式,从而掌握数学知识,进而发展数学思维。可见,操作实验法不仅有助于动作思维、形象思维,也有助于抽象逻辑思维,促进大脑两半球的和谐发展。第三,操作学具,学生多种感官协同,有利于建立广泛的神经联系,有利于知识的理解、巩固和提取。本课采用学生实验操作法教学,教学目标达成度高。教学有以下特色:

(一)学具操作的目的性明确

如前所说,数学课的实验操作,学生只是把学具作为中介物,利用动作把蕴含在操作中的数学的抽象逻辑关系物化出来,其动作本身就是认识对象,反映了解决问题的思维过程,并通过语言使动作程序内化成学生的智力活动方式,从而掌握数学知识,进而发展数学思维。可见,学具本身并不十分重要,只要能替代实物,便于操作,便于观察即可,重要的是操作实验的动作及其程序,更重要的是要明确学具操作的目的。

烙2张饼的操作实验,所用学具是双手,教师让学生先想再做,取材简单,伸手即可,但意味深长,其目的是使学生亲自获得一些感性的具体材料,为探究烙3张饼做必要准备。烙2张饼,这2张放在一起烙,一次烙2个面才用3分钟,2次只用6分钟。与烙1张饼比较,所用时间相同,其差别在于:烙2张,把2张饼放在同一个锅里,锅里放满了,节省时间;烙1张,锅里只放1张,锅里有空隙,但这个空隙无法避免。

烙3张饼的操作实验,所用的学具是两本数学书和一本作业本,桌面当锅,书本和作业本当饼,两本书相当于第一、二两张饼,作业本相当于第三张饼,便于操作,便于观察,此次操作目的是突破教学难点——当有3张饼时,怎样组合安排3张饼正反面烙的先后顺序,才能使锅里每次都有2张饼。引导学生先独立思考,再同桌合作操作实验,在学生有初步体验时让学生上台展示烙饼过程,配以语言描述,教师做必要的板书记录(小组一:1正2正——1反2反——3正——3反;小组二:1正2正——1反3正——2反3反),将学生的智力活动显现出来,为后续研究“同样烙3张饼,为什么第一组烙了4次,第二组只烙了3次就完成了”提供研究素材,这样就自然而然地把思维指向到“如何调整烙饼顺序,使每一次锅里都有2张饼”上来,通过讨论交流,让学生将内隐的调整过程及调整方案表述出来,进而形成“如何将锅放满”的策略,达到既发展动作思维和形象思维,又发展初步抽象逻辑思维的目的,有效地促进大脑两半球的和谐发展。

交替烙饼之后的再次操作和在脑中“烙饼”,是对交替烙饼法的巩固,对烙饼过程的梳理,也是对解决问题过程的反思总结。

(二)重视操作实验与语言的有机结合

有研究表明:语言与操作相结合,这是提高实验操作效果的有效途径。本课教师深谙此道。首先,每次操作活动,教师都精心设计了指导语,以保证学生操作实验中思维定向的正确性。烙2张饼时,教师在提出“如果要烙2张饼,最少需要烙几次,需要几分钟”这一问题的基础上,加上指导语:“请先想一想该怎么烙,再把你的双手当成饼,动手烙一烙,可要记住你的烙饼过程哦。”烙3张饼时,教师也是先提出问题:如果要烙3张饼,最少需要烙几次,需要几分钟?随后马上加上指导语:先独立思考,你准备怎么烙?再同桌合作,把两本数学书和一本作业本当成3张饼,进行实验操作,并互相说一说操作过程。

其次,让学生充分地陈述自己的操作过程,以语言的条理性促进思维的逻辑性,并要求学生说出实验的结果,用语言把已获得的认识成果固定下来。烙2张饼时,待学生独立操作后,让学生上台演示并说出操作过程。烙3张饼时,先独立思考,同桌合作实验,再让两组学生上台“烙饼”:一生说过程,另一生操作,教师记录研究成果,这充分暴露了学生的思维过程。然后,引发观察比较:同样烙3张饼,第一组烙了4次,第二组只烙了3次就完成了,这是什么原因?发动全班学生讨论,分析原因,并让两个小组再说一说“当时是怎么想又是怎么做的”,学生的思维过程被暴露无遗,至此,用交替法解决“当有3张饼时,怎样组合安排3张饼正反面烙的先后顺序,才能使锅里每次都有2张饼”这一难题也就水到渠成。

(三)给学生留下足够的思维空间

数学课的操作是学习意义上的操作,是一种特殊的动手活动,其特殊性在于学生借助手的活动来实现和反映其内部的思维活动,所以必须给学生留有足够的思维空间。在烙2张饼后,引导学生与烙1张比较:“为什么饼的张数不同,所用时间却是相同的?”这个问题既是研究烙3张饼的基础,又是本节课学习的关键点。教师舍得在此花时间,充分地让学生表达自己的见解,最后达成一致意见:把2张放在一起烙,不让锅空着,就能节省时间。更重要的是,教师重视培养学生良好的学习习惯:先想后做,在做之前要先思考怎么做,然后再去做,这样少走弯路。探究烙3张饼,教师在记录两种不同烙法之后,提出一连串的问题:“请观察记录下的烙饼过程,这两种烙饼方法,是否都把饼烙熟了?”“同样烙3张饼,第一组烙了4次,第二组只烙了3次就完成了,这是什么原因?”“你们当时是怎么想怎么做的?请再介绍一下。”“要烙3张饼,烙3次是不是最少的次数?2次行吗?能用算式表示吗?”引导学生观察比较、分析思考,通过语言表达使动作程序内化成学生的智力活动方式,从而掌握数学知识,进而发展数学思维。

(四)适时、适量和适度地进行了学具操作

本节课的学具操作,做到了适时运用、适量运用、适当运用。

适时就是注意了操作的最佳时机,当学生想知而不知,似懂而非懂时,操作学具,这样起到了化难为易的效果。烙1张饼需要6分钟,那么烙2张饼需要几分钟?这个问题从字面上去理解,许多学生会说是12分钟,这时候就需要操作学具,并将烙1张与2张的动作程序进行比较,进而明白其中的道理。烙3张饼,如何合理安排烙的顺序,使时间花费最少,更需要直观形象的支撑,并且要操作多次,以便于积累更多的活动经验,通过比较优化,得到正确结果。

适量是指控制了学具操作的次数,本节课的学具操作使用了3次,并没有搞得琳琅满目。一是烙2张饼,其目的是理解2张饼放在一起烙,合理利用空间,一次能烙2个面;二是烙3张饼,其目的是解决“怎样放置安排才能使锅里每次都有2张饼”这个难题;三是再次烙3张饼,这是对交替烙饼的巩固。如果要说有第四次,那就是抛开学具,借助表象在脑中操作,这是对交替烙饼法的梳理,也是对阶段学习的反思和小结。至于4张、5张饼,没有安排直观操作,而是借助数的组合来完成,这样就培养了逻辑思维能力。如果在这个节点上继续学具操作,那所演的戏就是“傻把戏”!

适度是指当学生的感性认识已经积累到一定程度时,就让学生在丰富的表象的基础上及时抽象概括,掌握火候,使感性认识逐步上升为理性认识。教师恰当地运用了对比和类比,引导学生从直观形象到抽象概括。探究烙2张饼,在全体独立操作、个别上台演示之后,对烙1张与2张饼的操作进行对比,使学生明白如何操作才能省时,并且教师做必要的学法指导:要先想后做,做之前要先思考怎么做,以避免少走弯路。探究烙3张饼,在两组学生上台演示、教师板示记录之后,及时对比两种烙法,重点研究怎样把锅放满。教师借助学生的活动经验,让学生充分暴露其思维过程,此时,动作思维、形象思维共舞,进而提炼出交替烙饼法。在此基础上,让学生回想交替烙饼法的顺序,借助表象在脑中烙饼,抽象思维呼之欲出。紧接着对烙3张与2张的方法进行对比,进一步明确2张同时烙和3张交替烙及其应用范围。探究4张、5张饼的烙法,就没有再操作学具,而是运用类比进行推理,举一反三,得出规律。至于烙饼的张数和烙的次数的关系,那是水到渠自然成的事情。

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