“烙饼问题”教学实录

◇王 薏

“烙饼问题”教学实录

◇王 薏

一、创设情境，提出问题

1.出示情境图（如图 1）。

图1

师：从图中你能获得什么信息？

生：我知道了每次最多只能烙2张饼。

师：你还读懂什么了？

生：两面都要烙，每面需要用3分钟。

2.提出问题。

师：知道了这些信息，你们想研究什么问题？

生：我想研究一次烙2张饼，烙熟它们需要几分钟。

师：他想研究关于烙饼时间的问题，你们想研究吗？（生：想）那我们就一起来研究烙饼时间的问题。

二、动手实践，探究方法

1.研究2张饼的烙法。

师：妈妈和小红每人吃1张饼，怎样才能尽快吃上饼？“尽快吃上饼”是什么意思？

生：烙2张饼用的时间最少。

师：烙2张饼最少需要几分钟？先请你们大胆地猜一猜。

生：12分钟。

师：大家有不同意见吗？

生：6分钟。

师：到底是12分钟还是6分钟？我们请用12分钟和6分钟的同学分别给大家演示一下他们是怎么烙的。

（师分别请用12分钟和6分钟的学生到前面演示）

师：你们打算怎么演示啊？带饼了没有？（生：没有）那用什么来演示呢？

生：（齐）用手。

师：他们给你们出了个主意，用你们的小手来演示，行不行？（教师请学生分别举起自己的手）好了，这是一张饼，这是另一张饼，你们准备好了饼，我帮你们准备好锅，咱们就现场烙一烙，其他同学干什么呢？记下时间，好不好？（生：好）烙的时候先烙的这面我们管它叫饼的——

生：（齐）正面。

师：然后再烙的这面叫作——

生：（齐）背面（反面）。

师：就叫反面吧。如果饼这面熟了，其他同学帮着记时间，我们先请用12分钟的同学演示吧。

生：（举起一只手的正面放在教师的胳膊上）刺啦，熟了。

生：（齐）3 分钟。

生：（举起这只手的反面放在教师的胳膊上）刺啦，熟了。

生：（齐）3 分钟。

（生用另一只手当作第二张饼，也用了6分钟）

师：2张饼烙熟了吗？（生：熟了）用了几分钟？

生：（齐）12 分钟。

生：（用6分钟的学生迫不及待）他用的时间不是最少的，6分钟也能把饼烙熟。

师：让我们一起看看他的烙法。

生：（同时举起两只手的正面放在教师的胳膊上）刺啦，熟了。

生：（齐）3 分钟。

生：（同时翻到两只手的反面放在教师的胳膊上）刺啦，熟了。

生：（齐）3 分钟。

师：2张饼烙熟了吗？（生：熟了）用了几分钟？

生：（齐）6 分钟。

师：（面向用12分钟的学生）人家用6分钟把这2张饼烙熟了，你刚才用了——

生：12分钟。我改主意了。

师：你怎么改变主意了？

生：因为我用的时间不是最少的。

师：让我们一起来看一看，怎样尽快烙熟2张饼？

（生说，师用课件演示，如图2）

图2

师：在研究烙2张饼的时候，我们是怎样尽快烙熟的？你们能给这种方法起个名字吗？

生：同时。

师：他说叫“同时”的方法，你们觉得行不行？我们用“同时”的方法把这2张饼烙熟了，最少需要几分钟？

生：（齐）6 分钟。

师：可以怎么算？

生：3×2=6。

师：为什么采用“同时”的方法可以用最少的时间把2张饼烙熟呢？

生：本来是用同样的时间烙1张饼，可他现在同时烙了2张饼，相当于省了一半的时间。

师：这个时间省在哪儿了？

生：2张饼把锅里的位置都占了。

师：要想节省时间，就得想办法把锅充分利用起来，能2张同时烙的，就不要单张去烙。

（师板书如下）

张数 烙饼方法 最少需要时间（分钟）

2 同时 3×2=6

2.研究3张饼的烙法。

出示情境图（如图3）。

图3

师：他们要想尽快吃上3张饼，最少需要几分钟？

生：9分钟。

师：还有不同意见吗？

生：我认为是6分钟。

师：咱们先请用9分钟的同学来烙一烙好不好？

生：（同时伸出两只手的正面放在教师的胳膊上）先烙2张饼的正面，刺啦，熟了。

生：（齐）3 分钟。

生：（撤掉一只手，把另一只手翻面，另一生伸出一只手）然后烙第三张饼的正面和第二张饼的反面，刺啦，熟了。

生：（齐）3 分钟。

生：第1张饼熟了，再烙第2张的反面和第3张的反面，（伸出刚才撤掉那只手的反面，另一生把已伸出的手翻面）刺啦，熟了。

生：（齐）3 分钟。

师：3张饼都烙熟了吗？

生：（齐）烙熟了。

师：用了几分钟？

生：（齐）9 分钟。

师：他们用了9分钟，你们有什么要说的？

生：（刚才说“6分钟”的）我觉得我们算错了。

师：烙熟3张饼至少需要几分钟？

生：9分钟。

师：让我们来回忆一下，他们是用什么方法把这3张饼烙熟的呀？

（生说，师用课件演示，如图4）

图4

师：他们是用什么方法烙的？你们能给这种烙法起个名字吗？

生：（齐）交错，交替。

师：你们是怎么算的？

生：（齐）3×3=9。

师：烙这3张饼，我们能不能先烙熟2张饼，再烙熟那1张饼？（生：不能）为什么？

生：因为这样耗费时间，本来可以用9分钟烙熟的，这样应该是用了12分钟才烙熟。

师：这样交替烙，时间节省在哪儿了？

生：因为用交替烙的方法，每一次锅里的两个位置都被占了。

师：看来，同样都能烙熟饼，交替烙最大限度地使用了锅的资源，从而节约了时间。

（板书：3 交替 3×3=9）

3.研究4～6张饼的烙法。

师：我们研究完了烙2张饼、3张饼，那烙4张饼、5张饼、6张饼最少需要几分钟，你们能小组合作来研究吗？

（生小组合作研究）

师：（展示学生画的图）烙4张饼最少需要多长时间？

生：我们先烙第1张饼和第2张饼的正面，再烙它们的反面，3×2=6（分钟）。然后烙第3张饼和第4张饼的正面，再烙它们的反面，3×2=6（分钟），6+6=12（分钟）。

师：大家还有不同的方法吗？

生：先烙第1张饼的正面和第2张饼的正面，用了3分钟。然后烙第1张饼的反面和第3张饼的正面，也用了3分钟……我们用交替的方法也是12分钟。

师：都是12分钟，你们会选择哪种烙法呢？

生：同时。

师：为什么你们都更倾向于同时的烙法？

生：因为同时比较简便，如果用交替的方法，可能觉得这一张饼正面烙完了拿出去，再烙另一张饼，倒来倒去的，可能这一张饼已经烙熟了，你又把它再烙一遍。

师：他们觉得倒来倒去的，有点儿折腾。刚才选择交替方法的同学，此时你们有什么要说的？

生：他们说的有道理，我们也选择同时的方法。

（板书：同时）

师：怎么计算得到12分钟？

（板书：3×4=12）

师：烙4张饼，我们可以借鉴前面烙几张饼的经验？

生：和烙2张饼的方法是一样的，都是先同时烙2张。

师：同样是烙4张饼，你们怎么不先烙3张再烙1张啊？

生：锅的资源被浪费了。

师：烙5张饼最少需要多长时间？

生：第一次先烙第1张饼和第2张饼的正面，然后第二次是把第2张饼拿掉，烙第3张饼的正面和第1张饼的反面，这样第1张饼就已经熟了。然后再烙第2张饼和第3张饼的反面，这样第2张和第3张也都熟了。之后烙第4张和第5张饼的正面，最后烙第4张和第5张饼的反面，这样所有饼都熟了，我们用了15分钟。

师：在烙5张饼的时候，你们用的是什么方法？

生：交替、同时。

师：有同时，还有交替，我们最少用了几分钟把它们烙熟的呀？

生：15分钟。

师：在烙5张饼的时候，有没有想到前面烙饼的方法，对你有什么启发？

生：我发现它们是有规律的，烙2张饼的时候他们用的是同时的方法。我发现2张饼和4张饼是偶数，所以他们用的是同时。然后烙3张饼和5张饼，因为3和5都是奇数，所以都用的是交替，但是5张饼比较多，所以用了两种方法。

师：那实际上在烙4张饼的时候，我借鉴了烙几张饼的经验？

生：烙2张饼的经验。

师：我可以把4张饼看成什么呢？

生：（齐）2+2。

师：真棒，看成一个2张饼和另一个2张饼，借鉴了烙2张饼的经验。烙5张饼的时候，我们又借鉴了什么经验？

生：烙5张饼可以用前面烙2张饼和3张饼的经验。

师：那实际上我们可以把这5张饼看成什么？

生：（齐）2+3。

师：我们在烙2张饼和3张饼的时候分别得到了同时和交替这样的经验，再烙4张饼和5张饼的时候我们就借鉴了前面的经验，经验加经验就成新经验了。

师：在烙5张饼的时候你们有没有这样烙的：先烙熟4张饼，再来烙熟剩下的那1张饼？

生：用交替的方法可以更节省时间。而用你说的方法，烙第5张饼的时候，它就单独一张，锅里的空余比较多，如果用交替方法的话这一个锅中的两个位置可以同时用了。

师：那么烙6张饼的时候你们要采用什么样的方法？

生：（齐）同时。

师：你们都要采用同时的方法，那么最少需要几分钟呢？

生：18 分钟，3×6=18。

师：你们怎么都想到用同时的方法呢？你们又借鉴了什么经验呀？

生：（齐）2+4。

师：那个4我也可以看成再借鉴前面的什么经验？

生：2+2。

师：如果我们要研究烙7张饼用什么方法？

生：同时加交替。

师：太棒了，你们真会学习。那么最少需要几分钟呢？

生：21分钟。

师：你们是怎么知道的？

生：3×7=21。

（师板书如下）

4 同时 3×4=12

5 同时、交替 3×5=15

6 同时 3×6=18

7 同时、交替 3×7=21

……

三、分析归纳，总结方法

师：烙到这里，我们还要不要往下烙了？如果咱们班每人吃1张饼，烙35张饼，最少需要多少分钟？

生：（齐）105 分钟。

师：那研究到这里，你发现了什么？

生：我发现了只要一开始是3×2的话，只要用3乘这个张数就可以得到它的时间，然后依此类推，比如说，如果是烙8张饼的话，就是用3×8=24（分钟）。

师：她发现了怎样得到最少的时间，那你们觉得怎样烙才能得到最少的时间啊？

生：充分利用锅里面的两个位置，不要让它空出来。

师：那用什么方法来得到最少的时间是多少呀？她发现了什么？

生：用3乘饼的张数。

师：这个3表示什么？

生：烙熟每面的时间。

师：烙1张饼按照这个规律需要几分钟？

生：6分钟。

师：不对呀，3×1=3，怎么烙1张饼就用6分钟，而不是3分钟啊？

生：因为它每面都要烙3分钟，两面就要烙6分钟。

师：看来要想达到最少的时间还需要有点儿条件，要把这个锅里的2个位置怎么样？

生：充分利用。

师：锅里有2个位置，这个2叫作资源数，饼的张数和这个资源数有怎样关系时用的时间才是最少的呢？

生：就是一个锅里面充分利用上它的位置。

师：也就是这个烙饼的张数要比这个2——

生：大或相等。

师：在这个前提下才能实现烙饼的时间最少。刚才我们在研究烙饼问题中得到了很多种方法，在这些方法里面最节省时间的方法我们选出来了。从众多的方案中选出那个最省时间的、最优的方案在数学上叫作什么呢？

生：优化。

师：太棒了，你们对优化已经有一些初步的认识了。

四、实践应用，提升认识

师：难道3分钟就真的不能烙熟1张饼吗？

生：（齐）不能。

师：（出示电饼铛图片，图略）这是什么？

生：（齐）电饼铛。

师：你们知道电饼铛是怎么烙饼的吗？大家比画一下，看3分钟能不能烙熟1张饼。

生：（大笑）能。

师：看来对工具改良之后得到的这个新的工具也是一种优化。提到优化我们要提一个人，（出示华罗庚的照片，图略）这是谁呀？

生：（齐）华罗庚。

师：华罗庚爷爷最早在我国提出了数学中的“优选法”——“合理安排”时间的这种思想方法，为人们节约资源、提高效率作出了贡献。现在这种思想已经形成了数学中的一门分支学科——运筹学，可能以后我们在学习数学的时候还会要用到。

（介绍生活中的优化现象：潮汐车道、双层巴士车、多层蒸笼、立交桥、上下铺……）

师：其实生活中这样的现象有很多，今天这节课我们借助烙饼问题体会了优化的数学思想，也希望优化能成为我们今后思考问题的一种方式。

（作者单位：北京市朝阳区芳草地国际学校）