判断导数正负的几种方法
2020-12-14甘肃石刚雷
◇ 甘肃 石刚雷
(作者单位:甘肃省宁县第四中学)
导数法是判断函数单调区间的重要工具,即利用定义域内导函数的正负来判断原函数的增减性,求导后若导函数的零点易求,则其正负也易于判断.但某些问题中导函数的零点不易求,甚至不可求.本文就给出处理这类问题的几种方法.
1 局部分析
对于整体上无法判断导函数正负的问题,可将其分成几个部分,逐一分析,化整为零,各个击破.
例1已知函数判断f(x)在(-∞,-1),(-1,0)内的单调性.
2 二次求导
二次求导是对导函数或导函数中决定导数正负的局部函数进行求导,判断其单调区间,求其最值,从而得出导函数的正负.
例2求函数f(x)=xe2-x+ex 的单调区间.
函数f(x)的定义域为R,求导得f′(x)=(1-x)e2-x+e=e2-x(1-x+ex-1).
设g(x)=1-x+ex-1,求导得g′(x)=ex-1-1,令g′(x)=0得x=1,且在区间(-∞,1)内,g′(x)<0,则g(x)单调递减;在区间(1,+∞)内,g′(x)>0,则g(x)单调递增.所以gmin(x)=g(1)=1,所以g(x)>0,即f′(x)>0.
综上,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
3 零点观察
对于导函数零点不易求,但可直观观察出零点,再对零点个数进行判定,即可解决问题.
例3求函数的单调区间.
易知当x=1,f′(x)=0.令g(x)=1-lnx-x2,则所以g(x)在(0,+∞)内,单调递减,所以f′(x)有唯一零点x=1,且在(0,1)内,f′(x)>0,则f(x)单调递增;在(1,+∞)内,f′(x)<0,则f(x)单调递减.
综上,函数f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).
4 设而不求
若导函数的零点无法求解,但利用零点存在定理可判断其存在零点,此时可利用“设而不求”法,设出零点,进而判断零点两侧导数的正负.
例4求函数f(x)=(2x-1)lnx+x 的单调区间.
所以g(x)在(0,+∞)内单调递增.
综上,函数f(x)的单调递减区间为(0,x0),单调递增区间为(x0,+∞),其中x0∈(1,e).
综上,本文主要针对求函数单调区间时,导函数零点不易求的问题.对于不等式证明或不等式恒成立问题,需要我们构造新函数,再求其最值.构造函数的方式不同,导函数零点求解的难度也不同,需要同学们仔细分析,灵活运用上述方法.