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多角度求解山东省高考21题

2020-10-11苏凡文

数理化解题研究 2020年25期
关键词:定员综上开路

苏凡文

(山东省泰安宁阳一中 271400)

(山东省高考21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

解析(2)方法一:变换主元

由题意可得a>0.

①a≥1时,g(a)=aex-1-lnx+lna,因为ex-1>0,lna≥0,所以g(a)≥ex-1-lnx.易证ex-1≥x,所以ex-1-lnx≥x-lnx,易证得x-lnx≥1.所以f(x)≥1.

综上可得a≥1.

方法二:放缩法

由题意可得a>0.

易证明ex-1≥x成立,所以f(x)≥ax-lnx+lna.

0

综上可得a≥1.

方法三:必要性开路(一)

其中,W为生产线平衡率,ti为第i工序循环时间,si为第i工位定员数,t0为流水线线节拍TT,a为流水线定员数。经计算得出,生产线平衡率W=52%,说明该生产线平衡率需要进行极大地改善。

由题意可得a>0.

综上可得a≥1.

必要性开路(二)

a=1时,f(x)=ex-1-lnx,易证ex-1≥x,所以f(x)≥x-lnx,易证x-lnx≥1,所以f(x)≥1成立.

综上可得a≥1.

方法四:同构函数

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