例谈高中数学数列求和的教学

◇ 江苏 常国良

(作者单位:江苏省泰兴中学)

求和是数列的重点,方法多种多样,主要包括公式法、转化法、错位相减法、裂项相消法等.其中公式法较为简单,后面三种方法具有一定的技巧性,对学生的理解以及灵活应用所学知识的能力要求较高.本文主要围绕后三种求和方法进行探讨,以供读者参考.

1 转化法

高中数学部分数列问题较为特殊,直接求和的难度较大,需要结合前n 项和的表达式进行巧妙的转化,化陌生为熟悉,从而使用所学求和知识进行求解.

例1已知Sn＝3n＋1为数列{an}的前n 项和.

(1)求数列{an}的通项公式;

(1)根据an＝Sn－Sn－1,不难求得数列{an}的通项公式为求解中需要注意的是验证首项是否满足推出的公式,如不满足应写成如上分段函数的形式.

(2)可利用转化法求和,通过认真观察,可将数列的前n 项和分解,先求出易于求和的部分,而后将其与剩余的部分相加即可.根据(1)求出的结果易得

2 错位相减法

错位相减法是数列求和的重要方法,是高考经常考查的知识点.教学中为使学生掌握这一求和方法,教师应结合经典例题为学生讲解具体的解题步骤,帮助其理解错位相减的技巧,从而灵活应用.

例2已知Sn为等差数列{an}前n 项和,公差d≠0,且S3＝9,a1,a3,a7成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足bn＝(an－1)·2n,求数列{bn}的前n 项和Tn.

(1)根据“a1,a3,a7成等比数列”以及d 与a1的关系,不难求出数列{an}的通项公式为an＝n＋1,具体求解过程这里不再赘述.

(2)得出数列{bn}的通项公式,采用错位相减法便可求出Tn.因为an＝n＋1,所以bn＝(an－1)·2n＝n·2n.则

3 裂项相消法

裂项相消法求和时,裂项的形式较多、技巧性较强,故学生不易掌握.为帮助学生掌握这一数列求和的重要方法,课堂上应注重为学生详细地列出常见的裂项求和方法,使学生牢固记忆,深入理解,在应用中少走弯路.

例3已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2),令记数列{an}的前n 项和为Sn,则S2019＝________.

该题是函数与数列的结合题.解答时应先认真审题,理解题意.先根据题干条件求出函数f(x)的表达式,而后运用裂项相消求解.由已知条件可得2＝4α,则因此,

数列求和是高中数学数列部分的重要题型,为使学生牢固掌握相关知识,灵活应用数列求和相关技巧,教师既要注重为学生讲授相关理论知识,又要结合具体例题进行讲解,使学生真正掌握各种求和方法,做到举一反三.