掌握基本定义,从根源解决函数问题

◇ 云南 李光和

(作者单位:云南省红河州金平县第一中学)

任何函数都有定义的法则,这是判断函数性质最基本的方法,也是解决问题较为有效的手段.随着各类函数问题在考查方式上的深入,学习的知识点越来越复杂、越来越多元,学生往往会忽略最基本的定义问题,包括函数的基本形式或某一函数具体性质的证明等.加强学生对定义的掌握,能够更好地帮助学生去理解函数及其性质的核心要义,从基础出发,才能稳扎稳打,进而解决更深层次的问题.

1 函数形式的定义

我们学习过很多种函数,如幂函数、指数函数、对数函数等,这些函数都有其独特的定义和性质.这类知识点是较为基础的知识点,同时也是学生最容易忽视的知识点.牢牢记住函数的基本定义,能在很大程度上帮助学生理解题目,从而顺利求解问题.

例1幂函数f(x)的图象过点那么f(8)的值为________.

设幂函数的解析式为f(x)＝xα,因为幂函数f(x)的图象过点所以解得所以

本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,再求函数的值.为了加强学生对函数定义的学习,很多题目会直接从定义入手给出条件,再引出问题.此题题干给出函数f(x)是幂函数,需要学生联想到幂函数的定义,即f(x)＝xα,然后在此基础上列方程,解方程,最后将未知数代入求解函数值.这类题目需要学生牢牢掌握函数基本定义与具体形式,加强对基础的训练,形成惯性思维,才能在第一时间快速高效地解题.

2 函数性质的定义

函数形式多种多样,性质也广泛多元,包括单调性、奇偶性等诸多性质,这些性质如同函数一样,有其基本的定义方法和适用要求.如今对单一的函数性质、定义考查已不常用,但运用性质去解答其他问题仍是重要考点.这类考点主要考查学生对性质和定义的熟练掌握程度,知识点虽然基础,但十分重要.

例2设a,b∈R,且a≠2,定义在区间(－b,b)内的函数是奇函数.

(1)求b 的取值范围;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

由式①可得

(2)设任意的x1,x2∈(－b,b),且x1＜x2,由b∈可得

因此,f(x)在(－b,b)内是减函数.

本题第(1)问主要是考查函数的奇偶性,要注意定义域优先考虑的原则.如果仅考虑奇偶性或是仅考虑定义域都不全面,此题需要学生形成全面的解题思维,不要记错任何定义的法则及要求.第(2)问考查了单调性的判断与应用.

在函数的学习中,定义是最重要的,我们不能舍本逐末,应该掌握函数形式及其性质的定义,以此为基础,去解决更为复杂的函数问题.