开展思路突破，反思破题方法

许伟

[摘  要] 圆锥曲线是高中数学的重要内容，其问题具有综合性强、知识关联、解法多样等特点，考题设问具有一定的代表性，深入探究可有效提升学生的解析能力. 文章对一道圆锥曲线综合题进行思路突破，开展解后反思，拓展延伸，提出相应的教学建议.

[关键词] 圆锥曲线;相交;范围;代数法

问题呈现，思路突破

1. 问题呈现

问题：已知椭圆的解析式为■+y2=1，点F■和F■分别为椭圆的左、右焦点，试回答下列问题.

（1）设点P是第一象限在该椭圆上的一点，若■·■=-■，试求点P的坐标;

（2）设直线l过定点M（0，2），与椭圆交于A和B，连接AO，BO，若∠AOB為锐角（点O为坐标原点），k为直线l的斜率，试求k的取值范围.

2. 思路突破

上述考题为圆锥曲线综合题，主要考查直线与椭圆相交的位置关系，以及曲线方程的计算. 问题共分两问，第（1）问融合向量数量积求解椭圆上点的坐标，需要把握几何向量对数量关系及位置关系的内在表达;第（2）问分析直线与椭圆相交所构角为锐角时直线的斜率，同样可以结合向量数量积的相关知识求解.

（1）该问的核心条件为“■·■= -■”，可设出点P的坐标，综合该条件与点P位于椭圆上来构建方程，具体如下.

根据椭圆的解析式可知a=2，b=1，c=■，则椭圆焦点坐标：F■（-■，0），F■（■，0）. 设点P的坐标为（x，y），点P位于第一象限，其中x>0，y>0，■·■=x2+y2-3=-■. 又知点P满足椭圆方程，可得方程x2+y2=■，■+y2=1，可解得x=1，y=■，所以点P的坐标为1，■.

（2）该问的核心条件是∠AOB为锐角，需要将该几何条件转化为相应的代数关系，可以采用如下解题策略：根据题设条件，结合几何特性与向量之间的关联进行转化破解，具体如下.

分析可知直线为x=0时不满足题设要求，可设直线l的方程为y=kx+2，点A和B的坐标分别为（x■，y■），（x■，y■）.

若∠AOB为锐角，则等价于■·■>0，有x■x■+y■y■>0，点A和B均满足直线l的方程，故y■y■=（kx■+2） （kx■+2）=k2x■x■+2k（x■+x■）+4，所以x■x■+y■y■=（k2+1）x■x■+2k（x■+x■）+4>0①.

联立直线l与椭圆C的方程，整理可得（4k2+1）x2+16kx+12=0，由韦达定理可得x■+x■=-■，x■x■=■，由Δ>0可得k2>■②. 将根与系数的关系代入①中，整理可得x■x■+y■y■=■>0，解得 -■

问题评析，解后思考

上述对一道圆锥曲线综合题进行了方法剖析、思路突破. 问题涉及向量数量积的相关知识，其中求点坐标和斜率k的取值范围属于圆锥曲线的典型问题，下面对其进一步思考.

1. 问题突破的关键

考题以椭圆与直线相交为背景，融合了向量数量积相关条件，是圆锥曲线与向量融合的代表. 第（1）问求解满足向量数量积条件的点P坐标，实则设定了点P与焦点之间的数量及位置关系，突破的关键是通过向量数量积的坐标运算来构建方程;而第（2）问探讨直线与椭圆相交形成几何角为锐角时的斜率取值，属于几何与函数的综合问题，突破的关键是把握锐角与函数之间的关联，实现形与数的转化. 把握突破关键、合理转化问题是破解综合性问题的基本策略.

2. 解法突破的剖析

深入剖析圆锥曲线典型问题的解法可以深入认识考题，提升学生的解题能力. 上述考题的第（1）问采用的是向量数量积的坐标运算法，将点坐标问题转化为相应的方程问题，该方式适用于曲线与直线的相交问题. 第（2）问考查常用的代数转化法，即把握两线相交成锐角与向量数量积的关系，从几何特性出发来构建数式，该方法适用于数形关系明确的问题，同时该问题可以从两线斜率角度来构建方程.

问题延伸，解法拓展

第（2）问考查圆锥曲线中的取值范围题，在求解时采用了根据题设条件，结合几何特性与向量之间的关联进行转化的策略. 圆锥曲线中的取值范围问题类型较为多样，解析方法不一，除了上述方法外，还有如下两种常用策略，下面结合实例具体剖析.

策略1：建立目标问题表达式，结合参数或几何性质求取值范围

例1：已知椭圆C的解析式为■+■=1，点A和B为其左、右顶点，点F为其右焦点. 点P是圆x2+y2=4上的一个动点（异于点A和B），直线PA与椭圆C交于点Q，则■的取值范围为__________.

解析：该问题为直线与曲线相交的斜率比取值问题，求解目标明确，需要联合直线与曲线的方程来构建斜率比的表达式，故可以采用“建立目标问题表达式，结合参数或几何性质求取值范围”的策略.

根据题意可知A（-2，0），B（2，0），F（1，0），PA⊥PB. 设点Q的坐标为（x■，y■），则k■·k■=■·■= =■，所以■=-■=■=■1+■，其中x■∈（-2，2），且x■≠1，所以■1+■<0或者0<■1+■<1，则■的取值范围为（-∞，0）∪（0，1）.

策略2：利用判别式或韦达定理建立不等式求取值范围

例2：已知直线l的表达式为x-my+m=0，圆C的解析式为（x-1）2+y2=1，若直线l与圆C的两个交点均位于坐标平面的不同象限上，则m的取值范围为________.

解析：本题目求直线参数m的取值范围，设定了直线与圆两个交点的位置关系，不需要对目标问题进行转化，只需根据限制条件来分析即可，故可以采用“利用判别式或韦达定理建立不等式求取值范围”的策略.

联立圆C与直线l的解析式，整理可得（1+m2）y2-2m（m+1）y+m2+2m=0，由直线与圆有两个交点可知Δ>0，则有Δ=-8m>0，解得m<0. 若要使圆C与直线l的交点位于两个不同的象限，则需确保交点的纵坐标符号相反，即交点分别在第一和第四象限，则有y■y■<0，联系上述方程可得y■y■=■<0，可解得 -2

上述對圆锥曲线中常用的两种方法策略进行了举例探析，所选策略是由条件特征和目标问题共同决定的. 总体而言，圆锥曲线问题有几何法和代数法两种，对于条件与结论显现几何特性的问题可考虑采用几何法求解，而对于条件与结论具有某种函数关系的问题则可以采用代数法.

教学反思，学习建议

圆锥曲线中的求点和取值范围是高中的典型问题，上述对其解析方法和思路进行了深入探究，同时对取值范围问题的解题策略加以拓展，下面对其开展教学反思，提出相应的学习建议.

1. 把握问题特征，合理构建思路

圆锥曲线问题的突破过程需要经历问题分析和思路构建两个过程，其中分析过程中需要把握问题特征，条件特性，这是思路构建的基础. 如上述考题第（1）问直线与椭圆相交中，给出了向量数量积的条件，该条件设定了相交直线的位置关系及数量关系. 又如第（2）问求夹角为锐角时直线斜率的取值，条件具有鲜明的几何特征，而目标问题显然需从“数”的角度探究. 问题的这些特征可为解题策略的确定提供参考. 在教学中，需要引导学生深入读题，把握问题特征，挖掘问题本质，辨析解析方法，帮助学生形成解题策略.

2. 开展专题探究，总结归纳解法

高中数学含有众多的经典问题，例如上述的交点问题、取值范围问题、向量数量积问题等，开展类型问题探究有助于整合问题，归纳解法. 例如上述对取值范围问题的几种常用策略进行了归纳总结，在举例探究中形成了“特性决定方法，策略反馈问题”的解题方针. 因此在复习教学阶段，应将教学重点转移到专题探究中，通过对典型问题的整合、常用方法的归纳来提升学生的解题能力，在整合归纳过程中还应侧重对关联知识的巩固，完善知识体系，形成系统的方法策略.

3. 关注解题思想，发展数学思维

发展学生的数学思维可从根本上提升学生的解题能力，同时发展学生思维是高中教学的核心任务，而在实际教学中应从思想方法入手，即通过解题思想的渗透传达来逐步完成. 例如上述圆锥曲线问题的探究中，应渗透方程思想、化归转化思想，引导学生基于问题条件来构建方程，或结合相应的解题策略来转化问题，另外还可以引入问题图像，指导学生通过数形结合来简化问题. 总之，学生的思维发展应落实到具体的教学中，需要教师引导学生感悟数学的思想内涵，培养学生的核心素养.