构造突破，借“导”探析
2020-11-06董海峰
董海峰
[摘 要] 以函数为背景的不等式问题是高中数学的重点问题，其中涉及函数、导数、不等式、方程等知识，对于学生的解题思维有着较高的要求. 解题时采用构造函数法可以把握问题本质，打开突破口. 文章深入剖析构造函数的方法策略，结合实例加以探究，并开展教学反思，提出相应的建议.
[关键词] 不等式;导数;构造;函数;单调性
问题综述
在近几年的模考和高考中出现了一类较为特殊的不等式问题，融合抽象函数、导数、不等式等知识，具有较强的综合性. 同时由于抽象函数的出现，对于学生的解析突破造成了一定的思维障碍，学生难以选择突破口，不能合理解析不等式问题. 实际上，由于该类不等式问题常以函数为背景，解析时需联想导函数的分析优势，构造合适的辅助函数，然后利用导函数的性质来简化求解. 具体思路是把握不等式的结构特征，结合所求问题构造相应的新函数，然后利用导函数的奇偶性、单调性来解析.
构造探究
“构造函数，借导探析”是突破函数背景下不等式问题的有效策略，而其中关键的一步是构造辅助函数. 构造函数的方法有多种，所构函数的特征也不尽相同，掌握构造函数的方法十分重要. 高中阶段常用的构建法有很多，大多基于代数运算来构造，如和差、积商，所构函数的形式也较为多样，如构造具体函数、构造抽象函数、构造“本性”函数，下面结合实例讲解问题的构造策略.
1. 构造具体函数
构造具体函数是解析函数不等式的常用方法，“具体函数”，既包括传统意义上的一次函数、二次函数、指数函数、反比例函数等常规函数，又包括广义上的有具体形式、确定内容的固定函数. 解析时需要对不等式问题进行恒等变形，从中提取核心内容来构造.
例1：设函数f（x）=2xex+a，g（x）=ex+ax，其中a<1，如若存在唯一的整数x■，使得f（x■） 解析：题干给出了函数f（x）和g（x），并以此为基础构建了不等式f（x■） 将函数代入不等式f（x） 解法指点：对于函数形式确定的不等式问题，可以先通过和差、积商转化来对不等式恒等变形，然后直接提取不等式内容来构造函数，最后利用导函数的性质来打开解题突破口. 必要时可以借助函数的图像，使问题变得简单、直观，利用数形结合的思想方法解析问题. 而对于较为复杂的复合函数不等式问题，则可以采用先还原、再构造的策略求解. 2. 构造抽象函数 抽象函数是相对于具体函数的一种函数形式，而构造的抽象函数是对原函数不等式性质特征的高度集合. 往往新函数综合了目标函数的关键特点，其中可能含有一些复合函数，可借助所构函数的导数性质开展问题分析. 例2：已知定义在R上的函数f（x）满足e4（x+1）f（x+2）=f（-x），设f′（x）为函数f（x）的导函数，若对于任意的x≥1均有f′（x）+2f（x）>0，则下列选项一定正确的是（ ） A. e4f（2）>f（0） B. e3f（3）>f（2） C. e6f（3）>f（-1）？摇？摇 D. e10f（3）>f（-2） 解析：题干给出了函数f（x）所满足的条件，以及与其导函数f′（x）之间的不等关系，可以从四个选项中提取、归纳共性，构建相应的特征函数，然后利用对应的导函数来确定函数性质，进而分析选项正误. 根据选项所涉不等式的特征，设新函数F（x）=e2x·f（x），导函数F′（x）=2e2xf（x）+e2xf′（x）=e2x[2f（x）+f′（x）]. 因为对于任意的x≥1均有f′（x）+2f（x）>0，显然F′（x）>0，即函数F（x）在[1，+∞）上单调递增，则有F（x+2）=e2（x+2）·f（x+2），F（-x）=e-2x·f（-x）. 因为e4（x+1）f（x+2）=f（-x），则e2x+4·f（x+2）=e-2x·f（-x），所以F（x+2）=F（-x），则函数F（x）关于x=1对称，可知F（-2）=F（4）. 根据函数F（x）的单调性可知F（3） 解法指点：上述采用的是典型的构建抽象函数的方法，从选项的函数不等式形式中提取共有特点，然后构建抽象函数. 构造函数可辅助思考问题，降低思维难度，打开解题突破口. 一般抽象函数的构建策略有两种：（1）根据导函数的“形状”，从中提取不等式的特征来构造;（2）若为函数不等式选择题，则可以总结选项中的共性特点来构造函数，如本题所示. 3. 构造“本性”函数 构造“本性”函数，即构造可以反映问题本质内容的函数，因此在构造过程中需要把握问题本质，进行等效转化，使抽象问题具体化，然后结合不等式内容来构造相应的函数. 总结构造“本性”函数的过程，可以概括为：等效探源，本质构造. 例3：定义在R上函数f（x）满足条件f（-x）=f（x），且对于任意的不等式实数x■，x■∈[0，+∞）均有■<0. 若关于x的不等式f（2mx-lnx-3）≥2f（3）-f（-2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围为____________. 解析：上述同为以函数为背景的不等式问题，根据条件“f（-x）=f（x）”可推知函数f（x）为偶函数，由条件“x■，x■∈[0，+∞）均有■<0”可推知函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减. 突破的核心是对后续不等式成立的剖析，显然不适合直接构造函数，需要对函数不等式进行等价转换，从中获得反映不等式本质的内容，然后据此构造“本性”函数. 可将f（2mx-lnx-3）≥2f（3）-f（-2mx+lnx+3）转化为f（2mx-lnx-3）≥f（3）在x∈[1，3]上恒成立，则2mx-lnx-3≤3，即0≤2mx-lnx≤6对于x∈[1，3]恒成立，进一步化简可得2m≥■且2m≤■对于x∈[1，3]恒成立. 令函数g（x）=■，则导函数g′（x）=■，分析可知g（x）在区间[1，e）上单调递增，在（e，3]上单调递减，则g（x）max=■;再令函数h（x）=■，则导函数h′（x）=■<0，所以函数h（x）在区间[1，3]上单调递减，则有h（x）min=■;所以需满足2m≥■，且2m≤■，即m∈■，1+■. 解法指点：构造“本性”函数，实则反映的是一种构造解析函数不等式的策略，即等效转换，特征构造. 与前两种构造方式最大的不同是在构造之前需对不等式问题进行“本性”挖掘. 运用该种构造方式可以抓住问题本质，化抽象为具体，达到化繁为简的解题效果. 反思建议 以函数为背景的不等式问题是高中数学的典型问题，通过构造函数，利用函数性质可以简化问题，高效求解. 上述所探讨的函数构造策略也是该类问题常用的构造方法，可以有效挖掘问题本源，降低思维难度，构建直切主体的解析思路. 下面对问题本质及构造方法进行深入反思，提出相应的学习建议. 1. 关于问題构造方法的反思 对于函数不等式问题，其核心是处理不等式关系，但解析的关键是联系函数背景来探究不等式的问题根本，因此“不等关系”是问题的表象，“函数关系”才是问题的本质核心. 在解析问题过程中需要联合函数背景来剖析不等式，结合已知条件和问题来挖掘不等式与函数的内在联系，结合构造法构造辅助函数、求解导函数，合理利用函数的单调性、奇偶性和最值来研究不等式. 上述所呈现的三种构造策略，其核心在于把握函数不等式的表象特征、共性特点、内在联系、本质根源，构造的过程不是改变问题本身，而是借助函数模型来研究性质，利用性质来推理结论. 2. 关于构造函数解题的建议 函数不等式问题具有极强的综合性，利用构造策略求解问题过程中，除了需要利用构造技巧外，还需要用到函数单调性、奇偶性、不等式性质等知识，上述知识是问题突破的基础储备. 在学习过程中需要牢实基础，把握知识联系，关注函数与不等式的关联，为后续基于不等式形式构造函数做基础. 考虑到构造函数过程需要挖掘不等式问题的特征内涵，教学中建议引导学生合理联想，发散思维，提升学生的思维品质.
