关注数列学习中学生的综合能力培养

唐俊

[摘  要] 文章从实践出发，探讨了在高中数学的数列教学过程中，教师要有策略地培养学生的合情推理能力和创新意识，还要关注学生推理论证能力的发展，并且要提升他们应用数学知识的能力.

[关键词] 数列;学习能力;培养策略

在数列教学过程中，教师要从数列的知识特点出发，结合学生的实际需要，对学生的综合能力进行针对性培养.

关注学生合情推理能力与创新意识培养

正如牛顿所言：“离开了大胆的猜想，也就没有伟大的科学发现.”人们在探索自然界的奥秘时，往往会从一些事物的共同属性出发展开探索，因为这些属性大多由事物的本质所决定，围绕相关内容展开探索，并进行推测和判断，进而对一类事物的某种属性进行归纳，这就是所谓的“猜想”，这种猜想以合情推理作为基础，但是其正确性却需要进行严谨的论证.上述操作其实所使用的是一种由特殊到一般的研究顺序，特殊而具体的事物，人们研究其特点时，难度相对较低，而一般化的事物相对较为抽象，人们不可能全面进行研究和探索，尤其是针对一个无限集合，所以合情推理也就成了我们进行推理的一个非常重要的手段.在推理进行的过程中，学生大胆的猜想也是不可或缺的，甚至从某种程度来讲，正是猜想才为进一步的探索铺平了道路，这其实也是创新意识的一种体现.

在大力倡导创新精神的当下，教师应该关注学生相关素质的培养，尤其需要注意的是，创新其实也是核心素养的重要组成，发展学生的核心素养就必然要对学生的创新意识进行有意识的培养.高中数学教师应该是课堂的引导者和组织者，因此课堂上的一切教学活动都应该为核心素养的发展服务，在教学过程中教师要关注学生的学习行为，要为学生的独立思考提供空间和时间，让学生围绕问题能够展开自己富有个性化的探索和研究，并在必要的时候进行恰当的猜想.这一点在数列的学习中显得尤为明显，很多数列的问题都需要学生对有限的元素进行分析和探索，并围绕相关内容作出猜测，然后再对结论进行论证.在数列问题的研究过程中，教师要鼓励学生积极展开思考，对学生进行各种猜想时，教师也要恰当地引导，毕竟猜想不是胡思乱想，合情推理应该是一种科学而注重逻辑的推测，学生要在现有的条件和基础上做出有效且科学的判断.

例1：在等差数列{an}中，若a10=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n<19，且n∈N*）成立. 类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9=1，则存在的等式为__________.

上述问题需要采用类比推理来处理，结合相关特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn=b1b2…b17-n（n<17，且n∈N*）.

关注学生推理论证能力的培养

新的课程标准指出，高中数学教学必须要关注学生推理论证能力的培养.结合新课程理念，高中数学教师在组织各项教学活动时，要对合情推理与演绎推理的教学做好统筹规划、有效安排，让学生大力发展创新意识的同时，也要积极训练自己思维的逻辑性与严谨性.王元先生曾经有言：“善于进行数学逻辑推导，能够判定定理证明过程中的对错，这是数学系学生的第一关. ”高中生虽然不等同于数学专业的学生，但研究数学就应该有着相应的态度，数学教师也应该铭记先生的教诲，并在教学实践中将相关内容落实到位，通过课堂教学的优化来为学生的发展提供助力.

在进行教学之前，数学教师就要对教学内容进行深度的分析和解剖，自主咀嚼相关内容.不少有多年教学工作的教师往往不屑这一步操作，他们认为多年的教学经验已经可以替代一切，这种观点显然是错误的. 时代在发展，我们的学生在变化，教师切不可以不变应万变，尤其是新课程改革的大背景下，随着核心素养理论的引入，我们的很多教学内容也要做出相应的调整，所以数学教师都要以一种刚刚入职的心态来处理工作，并对教学中的相关内容进行细节加持处理，只有这样我们才能将知识以学生最需要的形态呈现在他们的面前.

很多数列问题的分析和研究都需要学生的推理和论证能力，因此数列的教学本身也是对学生相关素养培养的关键节点.高中数学教师要注意学生审题习惯的培养，同时还要指导学生认真地搜集相关素材，对教材上的一些典型例题进行有效研读，分析其中推理论证的基本步骤.在问题探究的过程中，教师要引导学生关注过程学习，且一定要注意经验的总结和过程的反思，要善于联系自己探索过程的成败得失来形成富有个性化的问题处理经验.此外，因材施教也是相当重要的，面对不同层次的学生，教师要善于调整教学方案，让每一个学生都能在研究和探索中一展所长，并得到充分的发展和提升.

例2：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S5=30.

（1）求an;

（2）设数列■前n项和为Tn，当Tn=■时，求n的值.

上述问题的分析需要学生按照严谨的思路进行分析探索，可以说每一步都要有所依据，具体分析如下：

（1）设等差数列{an}的公差为d，

因为a2=4，S5=30，

所以a1+d=4，5a1+■·d=30，

解得a1=d=2.

所以an=2+2（n-1）=2n.

（2）由（1）可得Sn=■=n（n+1）？圯■=■-■.

数列■前n项和为Tn=1-■+■-■+…+■-■=1-■.

当Tn=■时，1-■=■，所以n=2019.

关注数学应用能力的培养

让学生在学习过程中认清数学知识的价值，增强其数学探索意识，这是新课标对我们的要求，只有这样学生才能主动地将数学知识和数学研究方法带到生活中，用理性思维来研究生活，用理性视角来指导生活，这其实也正是核心素养的重要标志.

综观整个高中数学的知识体系，我们发现数列是数学与生活衔接得最紧密的一个点，很多高考的考题就是以现实生活为背景，引导学生运用数列来进行分析和处理. 在实际教学过程中，教师要注意数列和生活的衔接，由此来培养学生应用数学知识的基本意识，同时也让学生意识到学习数学的价值所在.

指导学生运用数列来分析和处理实际问题，其实也正是一种建模能力的培养.无论是在新课教学，还是习题练习的过程中，教师都不应该空洞地讲解理论和方法，而应该联系现实生活中的场景来建立情境，让学生从较为真实的情境中提炼信息，并由此来建立有关数列的模型.如果教师能够在日常教学中坚持下去，我们的学生就能够在循序渐进中建立相应的意识，这种意识显然不是通过习题演练就能形成的.所以，笔者认为数列问题的研究，建模意识的培养以及相关能力的训练显然要超过单一化的运算，教师在教学过程中可以适当降低对计算的要求，将重心放在学生体验方法、感悟研究思想等方面.

例3：红星林场原有木材的存量为a，现在每年的增长率等于25%，由于生产建设的需要，每年年底要砍伐出售的木材量为b，设an为n年后林场木材的存量.

（1）求an的表达式;

（2）为保护生态，防止水土流失，监测部门指出该林场每年的木材存量不得少于■a，否则就有水土流失的风险，如果b=■，该林场所在地今后会发生水土流失吗？如果会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）

上述问题的处理就需要学生进行建模处理，并采用数列的方法来进行解决，基本分析如下：

（1）设第一年的林场木材存量为a1，第n年后木材存量为an，则

a1=a1+■-b=■a-b，

a2=■a1-b=■■a-■+1b，

a3=■a2-b=■■a-■■+■+1b，

…

an=■na-■■+■■+…+1b=■na-4■n-1b（n∈N*）.

（2）当b=■a时，由an<■a得■na-4■n-1×■a<■a，即■n>5.

所以，n>■=■≈7.2.

所以，经过8年后该地区就将发生水土流失.

综上所述，在数列的教学过程中，教師不是单纯地教授知识和概念，更要引导学生关注知识和方法的形成过程，有效发展学生的综合能力.