探究圆锥曲线中定点与面积问题的一般解法

何定杰

摘 要：圆锥曲线是高中数学解析几何的一个重难点知识，通常会结合其他版块的知识进行考查，比如直线与圆锥曲线的位置关系，定点问题和构成图形面积问题是其典型代表。以2019年全国Ⅲ卷（理科数学）中的10题、21题为例，解析高考真题，以求分离出解题过程中的数学思想及思维，从而总结类型问题的一般解法，让难点变成可攻克的一般问题。

关键词：圆锥曲线 解析几何 定点 面积 数学思想及思维

新课标2017版将高中数学划分为五大主题，而圆锥曲线是几何与代数主题下的一个重难点，直线与圆锥曲线的位置关系更是考查的重中之重，这样一来就要求学生具备足够的数形结合的思想以及构造函数（或方程）的解题思维，同时还对学生翻译与转化的能力、运算能力有着较高的要求。

下面就以2019年高考全国Ⅲ卷（理科数学）10题、21题为例，对这类型的问题进行解析。

总结：本题考查了圆锥曲线中的定点问题以及圆锥曲线与定直线的四边形的面积问题，考查的知识面广，计算复杂，包括函数、导数、圆锥曲线、四边形的内容，难度较大，是这张试卷的压轴题之一。从函数角度入手，结合抛物线的一些性质，数形结合，利用弦长公式联系二次函数与圆锥曲线的方程，巧妙将四边形切割成两个三角形，从而将求四边形的面积转化成求两个三角形的面积之和的问题，提高运算的效率。

二、类型总结

1.定点问题

定点问题是圆锥曲线考查的难点和热点问题，对所学知识的综合考查力度是比较强的，对学生的计算能力、逻辑推理的能力要求都是较高的。涉及这类型的题目常常令学生望而却步，那么下面介绍两种这类题常用的解题方法。

（1）参数法

参数法是高考解题中很常见的方法，函数、解三角形、数列、几何等等类型的题都可以运用参数法求解，其核心思想就是引进参数将题设中的条件联系起来，从而达到求解的目的。那么下面我们就圆锥曲线的定点问题总结参数法的一般步骤：

设参：根据题设条件引进参数;一般引进的参数都是点的坐标或者直线的斜率

列式：根据题设列出关系式;题中条件一般都能指引我们表示出对应的动态直线或者曲线的方程

转化：根据题设探求直线过某一定点;一般的，将表示出来的动态直线转化成的形式，这样就能找到直线恒过某一定点;若设立的是动态曲线的方程，就要将其转化成的形式，从而找到直线恒过的定点。

本题既然是探究以MN为直径的圆过不过定点，就需要将圆的方程表示出来，由题设，不难发现将M、N两点的坐标求出来是首要的。我们直接设出P点的坐标，利用两个参量表示出其他量，从而结合题设达到消参的目的，求出定点;本题还有另一种解法，可以通过引入参量k，设立直线PQ的方程，再通过解方程组求出各个量，找到定点（参考例3自行探究）。

通过探究，可以发现，第一种方法比第二种的运算少，计算相对容易。从而我们可以得到一个启示：只有合理的选择参数，才能有效地减少运算量。

（2）由特殊到一般法

当题设没有给出定点，但要求解决这个定点问题，我们就可以从题设中寻找特殊情况以确定这个定点，找到目标之后再进行一般情况下的推理。

解题步骤：

研究特殊情况;从题设的特殊情况入手，得到目标关系索要探求的定点。一般的特殊情况有：直线斜率不存在、直线过原点等。

探究一般情况;从得到的定点入手，探究一般情况下，是否会经过这个点，从而判定我们得到的点是否是正解。

得出结论;综合上述得出结论。

有关方法二需要大家自主训练，对于圆锥曲线的定点问题，计算量大，式子复杂，但只要运用好这两种方法，认真、仔细的演算，基本没有问题。

2.面积问题

圆锥曲线中的面积问题往往是几个知识面的交汇考查，如例1综合考查了三角形的性质和双曲线的内容，又如例2（2）考查了函数、圆和抛物线的内容，是高考的一大难题。这类问题一般考查的面积计算无非是三角形与四边形，也可以总结出一些解题的规律。

（1）熟练寻找三角形的底和高：

如例1，分析题设条件我们很容易能找到底边OF是最合适的突破口，从而结合三角形的性质我们很快就求出答案。

实际上，求三角形的面积离不开底和高，由此至少需要两条线段的长度，而为了简便运算，我们通常会选择能以坐标直接表示的线段作为底或高。

（2）熟悉特殊类型的三角形：焦点弦三角形

定义：过有心圆锥曲线一个焦点弦的两个端点与另一个焦点构成的三角形称为有心圆锥曲线的焦点弦三角形[1]

这类最值问题， 通常动直线是过定点斜率不定或截距变化斜率不变，如定点在x轴（y轴） 且在椭圆内（外），不管哪一种类型，都要恰当选择直线点斜式方程避免分类讨论， 并合理选择三角形面积公式进行割补等简化运算， 此外还要求熟练掌握换元法和配凑法等策略。[2]

三、思考启示

圆锥曲线是高考重难点，考题综合性强，常考题目交汇内容多，是一个需要大量练习与記忆的内容。有关其中的定点问题以及面积问题都能总结出比较常见的模型，在练习时，联合曲线、直线构建合理的解题模型能起到事半功倍的效果。需要注意的是，有的题不止一种解法（如例3），不同解法的计算量和复杂程度也有可能不一样，所以解题时需要分析清楚适合的解法，提高解题效率。

参考文献

[1]张超.焦点弦三角形的面积表示及应用[J].中国数学教学参考.2019（7）：56

[2]黄伟才.圆锥曲线最值问题处理策略[J].中学数学研究.2019（4）：43