圆锥曲线专题（一）

马文政

第一类问题 与垂直有关的過定点问题（斜率之积）

1.椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），P（x0，y0）为椭圆上的任意一点，且PA⊥PB，A，B两点均在椭圆上，则直线AB恒过定点c2x0a2+b2，-c2y0a2+b2.

2.已知P（x0，y0）为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的任意一点，且PA⊥PB，A，B两点均在双曲线上.

（1）当a≠b时，则直线AB恒过定点c2x0a2-b2，-c2y0a2-b2.

（2）当a=b时，kAB=-y0x0.

3.y2=2px（p>0）上的任意不同三点A，B，M（x0，y0），若MA⊥MB，则AB直线恒过定点（2p+x0，-y0）.

推广到一般情况：

椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的任意三点A，B，M（x0，y0），若kMA·kMB=1t.

（1）当a2-b2t≠0时，则AB直线恒过定点a2+b2ta2-b2tx0，-a2+b2ta2-b2ty0.

（2）当a2-b2t=0时，kAB=-y0x0.

（3）当t=-1时，AB恒过定点c2x0a2+b2，-c2y0a2+b2.

双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的任意三点A，B，M（x0，y0），若kMA·kMB=1t.

（1）当a2+b2t≠0时，则AB直线恒过定点a2-b2ta2+b2tx0，-a2-b2ta2+b2ty0.

（2）当a2+b2t≠0时，kAB=-y0x0（这里x0，y0讨论省去了）.

其中t=-1时，当a≠b时，则直线AB恒过定点c2x0a2-b2，-c2y0a2-b2.

当a=b时，kAB=-y0x0.

抛物线y2=2px（p>0）上的任意三点A，B，M（x0，y0），若kMA·kMB=1t，则AB直线恒过定点（-2pt+x0，-y0）.

当t=-1时，则AB直线恒过定点（2p+x0，-y0）.

第二类问题 斜率之和

椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（x0，y0）在椭圆上且

（1）kMB+kMA=1t，t≠0，则直线AB恒过定点-2ty0+x0，-2tb2a2x0-y0.

（2）当kMB+kMA=0时，kOM·kAB=b2a2.

练习：x22+y2=1上有一点M（0，1）若kMB+kMA=4则AB恒过-12，-1.

双曲线：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），M（x0，y0）在双曲线上且

（1）kMB+kMA=1t，t≠0，则直线AB恒过定点-2ty0+x0，2tb2a2x0-y0.

（2）当kMB+kMA=0时，kOM·kAB=-b2a2.

抛物线：y2=2px，P>0，

（1）kMB+kMA=0，则kAB=-Py0.

（2）当kMB+kMA=1t（t≠0）时，AB恒过定点（x0-2y0t，-y0+2Pt）.endprint