探索隐性轨迹，突出解题层次感

朱亮亮

[摘  要] 解析几何试题因条件繁多、计算复杂而成为各类考试的分水岭，文章对非明确指出求轨迹方程的"隐性"考查进行探索，突出解题层次感，锻炼学生的逻辑思维能力.

[关键词] 隐性轨迹;隐性圆;层次

引例：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-4，0），B（0，4），从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________.

通过适当分析，部分学生可得到以下思路：

①A为定点，M为动点;②寻找M的来源，得到点M因点P“动”而“动”;③设点P（a，a+4），通过两直线PO与CD（关于a的形式）得交点M（关于a的形式）;④建立AM关于a的函数关系式，即AM=f（a），求函数f（a）的最大值即可.

到现在为止，本题似乎很平淡，“数”的特性也很突出. 但是如果此时我们将点M看成是某个轨迹，就可以利用“形”这个几何意义来解决AM了，当然我们希望这个轨迹是我们熟悉的.不妨一试，如图1.

设点P（a，a+4），易得lOP：（a+4）x-ay=0，lCD：ax+（a+4）y-4=0.

（关于直线CD的方程，大家可以试着构造一些熟悉的轨迹，而求得，此处略过.）

联立方程组（a+4）x-ay=0，ax+（a+4）y-4=0.接下来是解出点M还是得到轨迹方程，这是个问题！我们试着来消a看看能得到什么，x+■■+y-■■=■，原来点M的轨迹是我们非常熟悉的圆！从数到形的转化，只是因为一个熟悉的圆方程，思维上的突破是关键.

事实上，从表面上看求解过程似乎与求轨迹方程一点关系都没有，但稍加辨识，我们把一些“数”的问题转化为“形”的问题，便能化繁为简地解决类似问题. 这类问题具有一定的隐蔽性，解题方向不易把握，有时解题会陷入困境.

本文试图通过近年来在各大模考和高考中出现的类似题型来探讨解题过程中如何合理寻找隐性轨迹，并突出解决此类题的层次感.

隐性轨迹是指，在一些较复杂的试题中，一些未知点虽然不确定，但它的运动轨迹经常是确定的，比如常见的直线、圆、椭圆等. 上述引例中M点轨迹即是一个圆，有了这个轨迹，就给我们在解题中回避较复杂的代数运算、灵活运用数形结合提供了可能.

解题层次感是指，试题条件较多、思维较复杂，此时将题设合理地分解成几个梯度适中的基础题，各个击破，最后形成一个完整的解题网络，这样可以完成解题目标，经过长期训练还可以培养学生较缜密的逻辑思维.

下面我们主要通过对隐性圆的探索来谈谈关于解题层次感的体会.

例1：（2018南京、盐城高三期末卷第12题）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x-3■）上存在一点P，圆x2+（y-1）2=1存在一点Q，满足■=3■，则实数k的最小值为________.

先来确定本题的解题层次：

①点P在直线上，直线不定;

②点Q在圆上，圆确定;

③■=3■，可以建立怎么样的联系？

不区分层次，将①②③杂糅在一起，是很多考生的思维过程，如果先跳出①的思维，只考虑②和③，是不是就可以得到P点的运动轨迹呢？

这个思考很关键，令P（x，y），Q（x1，y1）易得x=3x1，y=3y1，即x1=■x，y1=■y.代入圆方程化解得x2+（y-3）2=9. 原来点P除了满足直线，本身还在一个圆上运动，那点P存在的意义即是直线y=k（x-3■）和x2+（y-3）2=9有交点.

有的考生在解题过程中容易陷入①的思维中，把点P代入过于繁杂的求k运算中，这样解题不仅笨重，而且容易丢掉点P隐含的几何意义，使得解题思维混乱，计算量大大增加，这样不利于良好的思维品质的养成.

事实上，很多隐性圆还是有迹可循的，比如：三角形顶角为直角的隐性圆;阿波罗尼斯圆;距离平方和为定值的隐性圆;向量积为定值的隐性圆等. 有的时候在解题过程中能看到类似的形式有助于我们进行外形联想，迅速打开思维，起到事半功倍的效果.

例2：已知△ABC中，AB=AC=■，△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2=3PA2=3，则△ABC面积的最大值为__.

我们继续分析，确定解题层次.

①△ABC为等腰三角形，本题要求三角形面积的最值，而△ABC的底边和高容易得到等量关系，如图2，于是我们尝试用S=■BC·h来解题.

令底边长为2t（t>0），则高为■，故S=■·2t·■= t·■.

那么要求最值，t的取值范围怎么办？

②P既满足PB2+PC2=3，P又满足PA2=1，想到了什么？

③由②中的外形联想到了圆，接下来该建系了.

如图3，令P（x，y），B（-t，0），C（t，0），则A（0，■）.

P满足PB2+PC2=3可得（x+t）2+y2+（x-t）2+y2=3，化简得：x2+y2=■-t2（1）……⊙C1.

P滿足PA2=1可得x2+（y-■）2=1（2）.

⊙C2存在点P，即可以把P看成两个圆的交点，利用几何特征.

问题转化为：1-■≤C1C2≤1+■，即1-■≤■≤1+■，两边平方求解得t2≤■;而S=■·2t·■=t·■=■，易得S最大值为■.

通过对隐性圆的探索，我们发现解题的层次感变得非常鲜明，思路清晰了，解题效率自然就提高了，其实在隐性轨迹的探索中除了隐性圆比较常见之外，构造隐性直线或其他轨迹有时也较常见. 在教学过程中尤其在起始年级，适当突出此类教学，培养学生的探索兴趣，对锻炼学生的逻辑思维能力、提高思维灵活性有一定的帮助.