概念课教学如何“玩转概念”

罗毅 陈方玉

[摘  要] 数学概念是数学的灵魂，概念课是高中数学教学中的一类重要课型. 概念课的教学不能简单地采用“读概念，举例子”的方式进行，而是需要教师充分认识到数学概念的重要性，激发学生的研究欲望，引导学生思考，体现概念的形成过程，鼓励类比学习，以旧促新，使学生既学到知识，又学到研究方法.

[关键词] 概念课;教学;向量

问题提出

数学概念常常因为其理论背景深刻，具有高度抽象性，导致学生的学习兴趣不浓厚. 通常涉及数学概念的课堂都略显枯燥，因此，概念课教学在数学类型课教学中是比较难以把握的. 在常规课堂中，很多教师采用“读概念，举例子”的教学，强调概念如何应用于解题，“以解题教学代替概念教学”[1]. 教师对概念的解读常常采用“‘一个定义，几项注意的方式”[1]，不注意引导学生理解概念，导致学生囫囵吞枣地学习数学概念，无法从根本上理解和掌握由此展开的数学知识、方法，更无法养成数学素养. 结果是培养了很多“解题高手”，而能够把握本质，会思考的学生却寥寥无几. 那么，教师应当怎样认知概念课，怎样实施概念课教学呢？

不久前，笔者在参加我校组织的名师精品课活动中，讲授了一节课，课题为“平面向量”的第一节“向量”，授课对象为高一年级某班全体学生. 这是一堂典型的概念课，在对课题进行“准备——讲授——反思”的过程中，笔者对概念课教学形成了一些体会，现将教学实录及笔者关于本课的体会与广大同行共享.

课堂实录

1. 创设情境，引入概念

老师：请看一段文言文：“古者，秀才赴试入京，向路人问：何以京师. 路人曰：京师去此三百里. ”你觉得秀才听完之后知道怎么去京城吗？

学生1：不一定知道.

老师：说说你的理由.

学生1：路人只给出京城离此地的距离，但没有告知京城所在的方向，所以秀才不一定能找到去京城的路.

老师：所以要想确定京城的位置，还需要告知方向，借用物理学中的概念，即此地到京城的——

学生1：位移.

2. 数学抽象，形成概念

老师：在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量抽象出来，称之为向量. 而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.

（板书：（1）概念：大小、方向）

老师：大家还能找出具有这样特征的量吗？

学生：力、速度、加速度……

老师：看来在我们的生活情境中，存在大量的“向量”，那么我们不妨就来一起探究一下“向量”. 通常在形成一个数学概念后，我们需要对它进行表示，进而研究它的性质，那么你认为可以怎么表示向量呢？

（学生讨论）

学生2：可以用有向线段表示向量，用有向线段的长度表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向.

老师：非常好，这样像用数轴上的点表示数一样，我们也找到了向量的几何表示（板书：（2）表示）. 我们在有向线段的终点画上箭头表示它的方向，以A为起点，B为终点，这个有向线段我们记作■，也可以用小写字母■表示向量（板书：■或■）. 同时，我们也要注意，书上的印刷用的是黑体a，而我们在书写时字母a上面的箭头必不可少. 另外，我们还用符号■或■表示向量的大小（板书：■或■），称之为向量的长度，或称之为向量的模.

3. 多维探究，完善概念

老师：既然向量有大小和方向这两个要素，那么我们研究向量自然也可以从这两个方面着手，接下来我们不妨先研究向量的大小. 请说出图1中各向量的模.

学生答（略）.

老师：有没有哪些具有特殊长度的向量呢？

学生3：我认为向量■的长度很特殊，其长度為1，而1是单位长度.

老师：很好，我们称长度为1个单位长度的向量为单位向量. 那图1中还有单位向量吗？

学生3：■也是单位向量.

老师：由于我们现在只关心向量的长度，所以单位向量在方向上是不唯一的，在平面上每个方向都有单位向量. 除了单位向量，还有没有一些长度特殊的向量呢？

学生4：长度为零的向量.

老师：称长度为零的向量叫作零向量. 再从方向的关系上看，图中这些向量中，有没有两个向量存在特殊位置的关系呢？

学生5：我认为向量■，■和■是平行关系.

老师：那你觉得平行向量该如何定义？

学生5：因为向量只关注大小和方向，而从方向上看，它们的方向相同或者相反.

老师：非常好，我们把方向相同或者相反的非零向量称为平行向量，并规定零向量平行于任意向量. 继续观察这三个平行的向量，是否存在更特殊的关系？

学生6：■和■这两个向量不仅方向相同，而且大小也相等.

老师：那你觉得可以如何“称呼”它们呢？

学生6：可以称它们为相等向量.

老师：和它们的位置有关吗？

学生6：和位置无关，因为向量只关心大小和方向.

老师：可不可以用平面上两个大小相等、方向相同的线段表示同一个向量呢？

学生6：可以.

老师：如果我们在图形中任作一条与■所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出■=■，■=■，那么■和■这两个向量还能叫作平行向量吗？

学生7：不行，这两个向量出现在了同一条直线上，叫作共线向量更合理一些.

学生8：可以，根据我们对平行向量的定义，方向相同或相反的向量都可以叫做平行向量，我们不需要关心它们的具体位置，所以它们是平行向量.

老师：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量. 那这时我们也不难发现向量平行的概念和直线平行的概念是有区别的.

4.立足实例，巩固概念

（略）

5. 小结提炼，升华概念

老师：今天我们在实际情境中，归纳、抽象出了向量的概念，探索了向量的表示方法，并从大小和方向两个方面探究了特殊向量及向量间的特殊关系. 这样的探究实际上就是一个新的数学概念的建立过程，即“归纳抽象——数形表示——认识特殊——研究一般……”. 而当我们形成了一个数学概念，并能够用符号语言进行表示之后，还应该探究并界定什么，从而完备这个体系呢？同学们不妨课后交流.

教学思考

1. 教师只有正确认识数学概念的重要性，才能重视概念课教学

教师采用什么方式教授概念课，取决于他怎样看待数学概念. 正如笔者在本文开始时提出的，如果教师认为向量的概念教学仅仅是一句话、几个例题，把课堂重心由概念的形成和理解转向“用概念解题”的教学，或者对概念进行“一个定义、三个注意”式的模式化教学，甚至出现把本节课内容与“向量的加减法”合二为一，都体现出教师本身就不重视概念，没有认真思考向量概念在这个知识体系中的重要作用;更谈不上揭示数学概念的发展过程，使得“生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋中”[2]. 让学生学好“向量”，从何谈起？

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标（2017年版）》）指出，高中数学课程应该“努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”[3]. 我们知道，数学概念不仅仅是一个孤立的定义，还涉及与之相关的后续知识的产生依据和解决方法. “数学概念是组成数学命题的基本单元，是揭示数学对象的内涵或外延的逻辑方法”[4]. 本课中，向量的概念指出了向量的两个核心特征——大小、方向，从全章的知识框架来看，这两个特征不仅是向量运算的基础，是判断向量关系的依据，也是所有后续相关数学应用（如正弦定理、余弦定理的向量法推导，解析几何中的向量工具，等等）的起点.

李邦河院士认为“数学根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也”[5]. 也就是说，只有当学生对基本概念具有了清晰的认识，才能真正把握住知识的内核，一些技巧也就自然形成了. 教师应该正确认识数学概念的重要性，重视概念课的教学方式. 上好一堂概念课，特别是新知识内容起始章节的概念课，不仅有利于学生清晰地理解概念本身，也有利于学生建构整个知识体系的框架，为后续学习打下坚实的理论基础. 可见，概念课教学不仅不能马虎应对、一笔带过，反而应该花大力气，好好研究.

2. 概念课教学应努力激发学生的研究欲望，引导学生思考，体现“概念的形成过程”

《课标（2017年版）》要求教师在帮助学生学习数学概念的同时，还要“使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹”[3]. 高中学生并不缺乏对实际生活中“既有大小，又有方向的量”的模糊认知，高一物理中的“力学”已经提出过“矢量”的概念，但矢量并不完全等同于数学意义上的向量，如何从实际情境中抽象出一个更具普遍性的数学概念，并对这个概念进行初步的研究，是本节课的教学目标和难点.

一个新的数学概念要在短时间被学生自觉认知和接受非常困难. 数学概念的高度抽象特征“决定了对它的认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升，在已有基础上再概括的过程”[6]. 受此启发，笔者从数学发展史看到，向量这一数学分支也是从应用角度出发，由定义到性质、运算的. 可不可以让学生也来走一走这个过程，体会数学家是怎样建立一个数学知识体系的？在笔者的教学设计中，就借助了“位移”等物理量引导学生，使学生感到“向量”不是一个崭新的知识体系，它来源于生活实际，具有研究价值. 鼓励学生，让学生对“向量还有什么可以研究的”产生了兴趣，学生产生了这样的感觉——数学体系的建立不困难、不高深、不神秘，它是大家都能够想到的. 从而激发了所有学生强烈的研究欲望，开始围绕“向量”大胆进行讨论，探索建立向量体系的其他必要条件，把“数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”[3]. 这正体现了新课程改革的基本理念之一：倡导积极主动、勇于探索的学习方式，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.

3.概念课教学应鼓励类比学习，以旧促新，使学生既学到知识，又学到研究方法

在以教师为中心的讲授式课堂中，学生的数学学习活动常常只限于接受、记忆、模仿和练习，教师直接将数学概念、性质介绍给学生，省时省力，显然不利于學生数学思维能力的培养，更无法体现数学的文化价值. 因此，关于特殊长度的向量及两个向量平行、相等等概念的探究成为本节课另外一个难点.

在教学过程中，笔者发现，在抽象出向量概念之后，无人想到接下来可以研究什么，这显然是受到长期被动学习“熏陶”的后果. 笔者在授课过程中，引导学生适当类比，相互交流，大胆探索，促进学生进行新知识研究学习，从而让学生在其思维就近发展区进行延伸，从而找到了研究的方向. 学生通过自主探究、合作交流，顺利地想到零向量、单位向量等特殊向量，准确对它们进行了定义，研究平行向量、相等向量等特殊关系. 更重要的是，学生还借助这个过程，体会了一个数学知识体系的建构方法，发现“除了现实需要，数学还是一种理性文化”[7]. 数学研究不再是遥不可及的海市蜃楼，而是非常自然的思维过程，极大提升学生学习数学、研究问题的信心和能力，有助于学生形成正确的数学观.

结束语

概念课教学不仅需要教师具有高超的教学技巧，“引导学生参与概念本质特征的概括过程”[1]，更需要教师具有扎实的数学专业功底，对数学概念在数学知识体系中的重要作用有正确认识. 让学生真正从概念课学习中掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，培养学生抽象概括、归纳类比等数学思维能力，激发学生学习数学的兴趣，养成数学抽象的素养，这才是概念教学的真正目标和本来面目.

参考文献：

[1]  章建跃，陶维林. 概念教学必须体现概念的形成过程——“平面向量的概念”的教学与反思[J]. 数学通报，2010，49（01）.

[2]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（实验）[S]. 北京：人民教育出版社，2003（7），第2版.

[3]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准：2017年版[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[4]  沈文选. 走进教育数学（第二版）[M].北京：科学出版社，2018.

[5]  李邦河. 数的概念的发展[J]. 数学通报，2009，48（08）.

[6]  章建跃. 中学数学课改的十个论题[J]. 中学数学教学参考，2010（03）.

[7]  刘洁民. 浅析高中数学课程中的数学文化[J]. 数学通报2010，49（09）.